(完整word版)二次根式復習專題講義(補課用)詳解

1、次根式復習專題講義次根式的概念:1. 二次根式：形如4a （a>0）的式子叫做二次根式，稱為二次根號。 .式子中，被開方數(shù)（式）必須大于等于零。 .逅（a > 0）是一個非負數(shù)。.(罷)2 = a (a>0); 7a2 =a (a>0)2. 二次根式的乘:.般的，有 4a 7b = Tab . (a>0, b >0).反過來，有yOb = Va x7b（ a0, b0 ）3. 二次根式的除:.一般地，對二次根式的除法規(guī)定:護忑（a0，b>0），.反過來，卜書（a0，b>0）4. 二次根式的加減法則:二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式

2、，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并。典型例題分析: 例1.下列式子，哪些是二次根式， 哪些不是二次根式:72、V3、丄、仮(x>0)、70、VJ、-72、-、Jx y (x0,xx y例2.當x是多少時，72C +&在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?變式題1:當x是多少時，亦7在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?變式題2:.當x是多少時，返口+X2在實數(shù)范圍內(nèi)有x變式題：計算意義?例3.已知y=Q+x/rP+5，求-的值.y.若 41+sll =0，求 a2004+b2004 的值.已知仮1+Jx 3=0，求 Xy 的值.例4.計算1.2. (375) 23.5. 計算1.(X>0)2. ua2)23

3、.(7a2 2a 1 ) 24. ( J4x2 12x 9) 21. (-3 點)2若-3 < x< 2時，試化簡X-2+ J(x 3)2 + Jx2 10x 25。例6.在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式(1) x2-3(2) x4-4 2x2-3變式題1:若直角三角形兩條直角邊的邊長分別為715 cm例7.化簡(1)血(2)斤47(3) 725(4)例8.填空：當 a > 0時，倚=;當a<0時，,?并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題.(1)若77=a，貝y a可以是什么數(shù)?(2)若倚二-a，貝y a可以是什么數(shù)?(3) 佇"，貝y a可以是什么數(shù)?例 9.當 x>2

4、，化簡 J(x 2)2 - 7(1 2x)2 .例10.先化簡再求值：當 a=9時，求a+7i2a a2的值，甲乙兩人的解答如下:甲的解答為:原式 =a+V(1=a+ (1-a ) =1;乙的解答為:原式 =a+=a+ (a-1 ) =2a-1=1 7.兩種解答中，的解答是錯誤的，錯誤的原因是變式題1 .若 I 1995-a I +Ja 2000 =a，求 a- 19952 的值.(提示：先由a-200 0> 0,判斷1995-a ?的值是正數(shù)還是負數(shù)，去掉絕對值)例11.計算(1)/5X77(2)£ X79(3)79X727(4)分析：直接利用Ta yfb = Tab （ a

5、> 0, b > 0）計算即可.解：(1)亦 X 77 = 735（2）g心=嚇屈(3) 79 X 727 = J9 27 s/g2 3=943(4) £ X例12 .化簡(1)/9 16(3)/81 100(5) 754例13 .判斷下列各式是否正確， 不正確的請予以改正:(1) 74)(_9)/9(2)X 725=4 X 思 X 725 =4 聽 X 725 =4竝=8 73和 晁cm , ?那么此直角三角形斜邊長是（).變式題2:化簡a雋的結(jié)果是（）.變式題3: 71014 =變式題4:個底面為30cm X 30cm長方體玻璃容器中裝滿水，？現(xiàn)將一部分水例入一個底面

6、為正方形、高為10cm鐵桶中，當鐵桶裝滿水時，容器中的水面下降了20cm，鐵桶的底面邊長是多少厘米?變式題5：探究過程：觀察下列各式及其驗證過程.Fl二書 J(l3 2) 23加fl驗證：胡朋X存浮嚴32 11) 3/3(321)3同理可得：44幺15通過上述探究你能猜測出:a(a>0),并驗證你的結(jié)論.例14.計算:例15.化簡:（1）馬（2）律馬例16 已知軼，且X為偶數(shù)，求（1+X）X2 5x 4X21的值.變式題1.計算靈艮靈的結(jié)果是（).變式題2.閱讀下列運算過程:1胎 2252亦胎7373 3'亦75755數(shù)學上將這種把分母的根號去掉的過程稱作“分母有理化”，那么，化

7、簡令的結(jié)果是（）.變式題3.已知 x=3， y=4， z=5，那么jxy的最后結(jié)果變式題4.有一種房梁的截面積是一個矩形，且矩形的長與寬之比為43 : 1，?現(xiàn)用直徑為37T5cm的一種圓木做原料加工這種房梁，那么加工后的房染的最大截面積是多少?（T石）-捺（m>0'n>0）-3"2 r 2 序廠底（a>。）例17.把它們化成最簡二次根式:(1)3馮;(2) Jx2y4 x4y2 ； J8x2y3總結(jié)：二次根式有如下兩個特點:1 .被開方數(shù)不含分母;2 .被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.例18.如圖，

8、在 Rt ABC中，/ C=90 , AC=2.5cm，BC=6cm 求AB的長.例19.觀察下列各式，通過分母有理數(shù)，把不是最簡二 次根式的化成最簡二次根式:1= 1 (血 01=/2-1 ,暑 1(72 1)(72 1)2 1才72=才卡於72） 竽=盡血，同理可得：J廠=74-罷,J4 V32.a/¥化簡二次根式號后的結(jié)果是從計算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算(右+；?72+7+720372001)(+1)的值.練習:、選擇題1 .如果E （y>0）是二次根式，那么，化為最簡二次根式是（）.A .也(y>0) B .歷(y>0)C . Xy (y>0

9、)JyyD.以上都不對2 .把（a-1兒匚匸V a 1中根號外的（a-1 ）移入根號內(nèi)得（）.A .1B .aC . - ja 1 D . - 71 a3.在下列各式中，化簡正確的是（）A 香=3用B.仁± 2 72¥2 2C . Va4b =a2 VbD .Jx3 x2=xJx 14 .化簡竺的結(jié)果是V27()A . -B .-32C .-毎3二、填空題.化簡 Jx4 x2y2 =(x > 0)D. -42、綜合提咼題.已知a為實數(shù)，化簡： 右-a/W，閱讀下面的解答程:請判斷是否正確？若不正確，?請寫出正確的解答過.若x、y為實數(shù)，且y=am”，求療劉廠的值.例2

10、0.計算(1)逐+辰(2) J16x+j64x總結(jié)：二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，？再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并.例21.計算(1) 3V48-9£+3辰 (2) (748+J20) + (屁-75) 例 22.已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求(2z9x+y2JI)3V y-(x2£-5x 芒)的值.值.（結(jié)果精確到0.01）練習:、選擇題.以下二次根式：尿；妊：若；何中，與73是同類二次根式的是（）.A .和B .和 C .和D .和F列各式：3 73 +3=6 73 ;三、綜合提高題 .已知亦-2.236，求（倔-靈）-（尼+

11、63;需5 ）的 77 =1 ；)血+ 76 = 78=272 : 密=272，其中錯誤的有（73A . 3個 B . 2個 C . 1個 D . 0個二、填空題1.在旋、"5"、3厲、底、3皿、-2點中 與辰 是同類二次根式的有2.計算二次根式5 Ta -3 Tb -7 ya +9 vb的最后結(jié)果是2.先化簡，再求值.X持,y=27.(GxQ + TXy3) - (4x p + j36xy ),其中 V X y屮 y例23.如圖所示的 Rt ABC中，/ B=90° 點P從點B開始沿BA邊以1厘米/?秒的速度向點 A移動；同時，點Q也從點B開始沿BC邊以2厘米/

12、秒的速度向點C移動.問: 幾秒后 PBQ的面積為 35平方厘米？ PQ的距離是多少厘米？（結(jié)果用最簡二次根式表示）例23.要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到0.1m）？例24 .若最簡根式3a 4a 3b與根式J2ab2 b3 6b2是同類二次根式，求a、b的值.（？同類二次根式就是被開方數(shù)相同 的最簡二次根式）練習:、選擇題1.已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和5,那么斜邊的長應為（）.（?結(jié)果用最簡二次根式）A . 572B .750C . 245D不對2 .小明想自己釘一個長與寬分別為30cm和20cm的長方形的木框，？為了增加其穩(wěn)定性，他沿長方形的對角線又釘上了一根

13、木條，木條的長應為（）米.（結(jié)果同最簡二次根式表示）A . 137100B.71300C . 10 辰D . 57T3、填空題.某地有一長方形魚塘，已知魚塘的長是寬的2倍，它的面積是1600m2，?魚塘的寬是m.（結(jié)果用最簡二次根式）.已知等腰直角三角形的直角邊的邊長為42 , ?那么這個等腰直角三角形的周長是.（結(jié)果用最簡二次根式）三、綜合提高題.若最簡二次根式3E與“揚口是同類二次根式，求m n的值.2 .同學們，我們以前學過完全平方公式a2± 2ab+b2=（ a± b）2,你一定熟練掌握了吧！現(xiàn)在，我們又學習了二次根式，那么所有的正數(shù)（包括 0）都可以看作是一個數(shù)的

14、平方，如 3= 03） 2, 5= （75） 2，你知道是誰的二次根式呢？下面我們觀察:(72-1 ) 2=(近)2-2 1 血+12=2-2 72+1=3-2 72反之，3-2=2-2+1=-1 ) 2 -3-2 42 = ( V2-1 ) J3 272 =72-1求：(1 ) J3 2/2 ；（3）你會算嚴12嗎？（ V-1）(4)若Ja 2血=扁Tn，則m、n與a、b的關系是什么？并說明理由.例25.計算:(1) ( 76+旋)X 73(2) (476-3 72 ) - 242例26.計算(1)(翕+6)( 3-75)(710+77) (710-77)ab化簡佇卡+仁卡，并求值。VX 1

15、 V X Vx 1 Vx例27.已知g=2-4a,其中a、b是實數(shù)，且a+b工0,練習:、選擇題(724-3 屁+2 揖.爲-3 V30B3.2730- 2 73D3近的值是（）.3 阪- /333).計算(4 + dx 1 ) (JX - Jx 1 )的值是(-當y時求1 .同類二次根式:幾個二次根式化成最簡二次根式后，它們的被開方數(shù)相同，?這些二次根式就稱為同類二次根式，A . 2 B . 3 C . 4 D . 1、填空題1-（冷哼）2. (1-2 J3) (1+273) - (273-1 ) 2 的計算結(jié)果(用最簡二次根式表示）是.若 x=J2-1，貝y x2+2x+1 =.已知 a=

16、3+272 , b=3-2 75，貝U a2b-ab 2=、綜合提咼題 化簡怖點去721 x 1 7 + x 1的值.(結(jié)果x 1 VX2 x x 1 vx2 x用最簡二次根式表示）課外知識的計算結(jié)果（用最簡根式表示）是就是本書中所講的被開方數(shù)相同的二次根式.練習：下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（）.A.亦與莎 BC. vmn 與 vn d2.互為有理化因式:?互為有理化因式是指兩個二次根式的乘積可以運用平方差公式（a+b）（ a-b）=a2-b 2，同時它們的積是有理數(shù)，不含有二次根式：如x+1- jxx與X+1+Jx2 2x就是互為有理化因式;4X與丄也是互為有理化Jx4.其它材料:如果n是任意正整數(shù)，那么