二次函數(shù)重點(diǎn)難點(diǎn)總結(jié)上課講義

1、資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除初中二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念： 一般地，形如2（，c是常數(shù)，a 0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這y ax bx c a ，b里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a0 ，而 b ，c 可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)2. 二次函數(shù) y ax2 bx c 的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x 的二次式， x 的最高次數(shù)是 2 a ，b ，c 是常數(shù)， a 是二次項(xiàng)系數(shù)， b 是一次項(xiàng)系數(shù)， c 是常數(shù)項(xiàng)二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：yax2 的性質(zhì)：a 的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。a 的符號(hào)開口方

2、向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a0向上0 ，0y 軸x0 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； x 0 時(shí)， y 隨x 的增大而減??； x 0 時(shí)， y 有最小值 0 a0向下0 ，0y 軸x0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減?。?x 0 時(shí)， y 隨x 的增大而增大； x 0 時(shí)， y 有最大值 0 2.y2c 的性質(zhì)：ax上加下減。a 的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a0向上0 ，cy 軸x0 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； x 0 時(shí)， y 隨x 的增大而減??； x 0 時(shí)， y 有最小值 c a0向下0 ，cy 軸x0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減?。?x 0 時(shí)， y 隨x 的增大而增大； x 0

3、 時(shí)， y 有最大值 c 3.ya x2的性質(zhì)：h左加右減。a 的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a0向上h ，0X=hxh 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； x h 時(shí)， y 隨x 的增大而減小； x h 時(shí)， y 有最小值 0 a0向下h ，0X=hxh 時(shí)， y 隨 x 的增大而減?。?x h 時(shí)， y 隨x 的增大而增大； x h 時(shí)， y 有最大值 0 word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除4. y a x2k 的性質(zhì)：ha 的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a0h ，kxh 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；x h 時(shí)， y 隨向上X=hx 的增大而減小；x h 時(shí)， y

4、 有最小值 k a0h ，kxh 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??；x h 時(shí)， y 隨向下X=hx 的增大而增大；x h 時(shí)， y 有最大值 k 三、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng) a x h2h ，k；k ，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo) 保持拋物線 y ax2 的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h，k處，具體平移方法如下：2. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h 值正右移，負(fù)左移；k 值正上移，負(fù)下移”概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”方法二： yax 2bxc 沿 y 軸平移 :向上（下）平移m 個(gè)單位， yax 2bxc 變成yax 2bxcm （或 yax 2bxcm

5、） yax 2bxc 沿軸平移：向左（右）平移m 個(gè)單位， yax 2bxc 變成ya( xm)2b(xm)c （或 ya(xm) 2b( xm)c ）四、二次函數(shù) ya x2k 與 y ax2bxc 的比較h從解析式上看，ya xh2ax2bxc是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前k 與 yb24acb2b ，k4ac b2者，即 y a x，其中 h2a4a2a4a五、二次函數(shù) y ax2bx c 圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)yax2bxc 化為頂點(diǎn)式 y a(xh) 2k ， 確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖 . 一般我們選取的

6、五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與 y 軸的交點(diǎn) 0，c 、以及0 ，c 關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)2h，c 、與 x 軸的交點(diǎn)x1 ，0 ， x2，0 （若與 x 軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x 軸的交點(diǎn)，與y 軸的交點(diǎn) .word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除六、二次函數(shù)yax2bxc 的性質(zhì)1. 當(dāng) a0 時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為xb，頂點(diǎn)坐標(biāo)為b ，4ac b22a2a4a當(dāng) xb時(shí)， y 隨 x 的增大而減小；當(dāng)xb時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；當(dāng)xb時(shí)， y 有最小2a2a2a值 4ac b24a2. 當(dāng) a0 時(shí)，拋物線

7、開口向下， 對(duì)稱軸為 xb，頂點(diǎn)坐標(biāo)為b ，4acb 2當(dāng) xb 時(shí)， y 隨2a2a4a2ax 的增大而增大；當(dāng) xb 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??；當(dāng) xb時(shí)， y 有最大值 4acb22a2a4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式：yax2bx c （ a ， b ， c 為常數(shù)， a0 ）；2.頂點(diǎn)式：ya(xh)2k （ a ， h ， k 為常數(shù)， a0 ）；3.兩根式：ya(xx1 )( xx2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是拋物線與 x 軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)） .注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與 x

8、 軸有交點(diǎn)，即 b24ac 0 時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化 .八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項(xiàng)系數(shù) a二次函數(shù)yax2bxc 中， a 作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a0 當(dāng) a0 時(shí)，拋物線開口向上，a 的值越大，開口越小，反之a(chǎn) 的值越小，開口越大； 當(dāng) a0 時(shí)，拋物線開口向下，a 的值越小，開口越小，反之a(chǎn) 的值越大，開口越大總結(jié)起來，a 決定了拋物線開口的大小和方向，a 的正負(fù)決定開口方向，a 的大小決定開口的大小2. 一次項(xiàng)系數(shù) b在二次項(xiàng)系數(shù)a 確定的前提下，b 決定了拋物線的對(duì)稱軸 在 a0 的前提下，當(dāng) b0時(shí)，b0 ，即拋

9、物線的對(duì)稱軸在y 軸左側(cè)；2aword 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除當(dāng) b0時(shí)，b0 ，即拋物線的對(duì)稱軸就是y 軸；2a當(dāng) b0時(shí)，b0 ，即拋物線對(duì)稱軸在y 軸的右側(cè)2a 在 a0 的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng) b0時(shí)，b0 ，即拋物線的對(duì)稱軸在y 軸右側(cè)；2a當(dāng) b0時(shí)，b0 ，即拋物線的對(duì)稱軸就是y 軸；2a當(dāng) b 0時(shí)，b0 ，即拋物線對(duì)稱軸在 y 軸的左側(cè)2a總結(jié)起來，在 a 確定的前提下，b 決定了拋物線對(duì)稱軸的位置ab 的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸 xb0 ，在 y 軸的右側(cè)則 ab0 ，概括的說就是在 y 軸左邊則 ab2a“左同右異”總結(jié)：3. 常數(shù)項(xiàng) c 當(dāng)

10、c0 時(shí)，拋物線與 y 軸的交點(diǎn)在x 軸上方，即拋物線與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng) c0時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0 ； 當(dāng) c0 時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn)在 x 軸下方，即拋物線與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)總結(jié)起來，c 決定了拋物線與y 軸交點(diǎn)的位置總之，只要a ，b ，c 都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡(jiǎn)便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)?/p>

11、稱軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1. 關(guān)于 x 軸對(duì)稱y2b x 關(guān)c于 x 軸對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc ；a xya x2ya xh2hk 關(guān)于 x 軸對(duì)稱后，得到的解析式是k ；2. 關(guān)于 y 軸對(duì)稱y2b xcyax2bxca x；關(guān)于 y 軸對(duì)稱后，得到的解析式是ya x2k 關(guān)于 y 軸對(duì)稱后，得到的解析式是ya xh2k ；h

12、3. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱y2b x關(guān)c于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc ；a xya x2關(guān)k于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yaxh2hk ；4. 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°）y2b xc2b2a xyaxbxc；關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是2aya x2k 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yaxh2hk 5. 關(guān)于點(diǎn) m，n 對(duì)稱2k 關(guān)于點(diǎn)22n ky a x hm，n 對(duì)稱后，得到的解析式是 y a x h 2m根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此a 永遠(yuǎn)不變求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選

13、擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式十、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x 軸交點(diǎn)情況）：一元二次方程ax2bx c0 是二次函數(shù) y ax2bxc 當(dāng)函數(shù)值 y0時(shí)的特殊情況 .圖象與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： 當(dāng)24ac0 時(shí)，圖象與 x 軸交于兩點(diǎn) A x1 ，0 ，B x2 ，0( x1x2 ) ，其中的 x1 ，x2 是一元二次b方程 ax2bx c0 a0 的兩根這兩點(diǎn)間的距離AB x2 x1b24ac .a 當(dāng)0 時(shí)，圖象與 x 軸只

14、有一個(gè)交點(diǎn)；word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 當(dāng)0時(shí)，圖象與 x 軸沒有交點(diǎn) .1'當(dāng) a0 時(shí)，圖象落在x 軸的上方，無論x 為任何實(shí)數(shù)，都有y0 ；2'當(dāng) a0 時(shí)，圖象落在x 軸的下方，無論x 為任何實(shí)數(shù)，都有y0 2. 拋物線 yax2bx c 的圖象與y 軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0 ， c) ；3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yax2bxc 中 a ， b ， c 的符號(hào)，或由二次函數(shù)中a ， b ， c 的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x 軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo). 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式ax2bxc(a0) 本身就是所含字母x 的二次函數(shù)；下面以 a0 時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：0拋物線與x 軸有二次三項(xiàng)式的值可正、一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根兩個(gè)交點(diǎn)可零、可負(fù)0拋物線與x 軸只二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相