淺談微積分初等化與職業(yè)學校高等數(shù)學的教學改革

1、淺談微積分初等化與職業(yè)學校高等數(shù)學的教學改革 煙臺魯東大學數(shù)學與信息學院 唐瑞娜本人三十多年來一直在魯東大學教書，不曾在高職高專任過教，只是在04年主編了兩套21世紀高職高專理工類和經(jīng)管類高等數(shù)學的規(guī)劃教材，并在教材編寫之前，對高職高專的高等數(shù)學教材及教學情況做過一定范圍的調查，所以對職業(yè)學校高等數(shù)學的教學改革應該是沒有太多的發(fā)言權的，有點認識也是粗淺的，因此對微積分初等化與職業(yè)學校高等數(shù)學的教學改革的問題的探討，只能是淺談了，不當之處，敬請大家批評、指正。怎樣將微積分的初等化與職業(yè)學校高等數(shù)學的教學改革聯(lián)系起來呢？首先讓我們來一、淺析（一下）職業(yè)學校高等數(shù)學教學的現(xiàn)狀高職、高專教育是我國高等

2、教育的重要組成部分，它的根本任務是培養(yǎng)生產(chǎn)、建設、管理和服務第一線需要的德智體美全面發(fā)展的高等技術應用型專門人才，所培養(yǎng)的學生應重點掌握從事本專業(yè)領域實際工作的基本知識和職業(yè)技能。要達到這個目的，就要掌握相應的專業(yè)知識，而高等數(shù)學就是服務于各類專業(yè)的一門重要的先修課和必須的基礎課?；A不牢，難有深造。微積分是高等數(shù)學的主要內容，是現(xiàn)代工程技術和科學管理的主要數(shù)學支撐，也是高職、高專各類專業(yè)學習高等數(shù)學的首選。要進行高職高專的高等數(shù)學的教學改革，對微積分的教學的研究當然就應該列在首位了。怎樣改革微積分的教學？首先應是教材問題。過去?？平虒W往往用的都是本科教材。到了九十年代初，國內開始有了?？茖哟?/p>

3、的高等數(shù)學教材，但從本質上講，仍舊是本科的壓縮。在我當時的調查中，就發(fā)現(xiàn)有的職業(yè)學校的高等數(shù)學教材很不實用，有些比某些本科院校的高數(shù)教材內容都難、都全。進入二十一世紀后，教育部先后召開了三次全國高等職業(yè)教育產(chǎn)學研經(jīng)驗交流會，明確了高等職業(yè)教育要“以服務為宗旨，以就業(yè)為導向，走產(chǎn)學研結合的發(fā)展的道路”，這為高職辦學指明了方向，也為高職高專數(shù)學教育的改革指明了方向。在教育部的指導下，成立了“21世紀高職高專教育教材研究與編審委員會”，推出了一系列的各類高職高專教材，其中也包括了各種各樣的高職高專的高等數(shù)學教材?，F(xiàn)在的高職高專的高等數(shù)學教材都注重了教材的定位與實用性。從許多申報高職高專高等數(shù)學優(yōu)質課

4、的材料中可以看出，多數(shù)學校在高等數(shù)學課程體系的構建中，一般都采用了模塊式的分層次教學，選用了相應的適用的教材。在我們編寫的高職高專教材中，就特別注意了教材的針對性及定位的準確性以高職高專院校的培養(yǎng)目標為依據(jù)，以適用、夠用、好用為指導思想，在體現(xiàn)數(shù)學思想為主的前提下刪繁就簡，深入淺出，做到既注重高等數(shù)學的基礎性，適當保持其學科的科學性與系統(tǒng)性，同時更突出它的工具性；另外注意教材編排模塊化，為方便分層次、選擇性教學服務。在高等數(shù)學的教學上，現(xiàn)在的高職高專院校都基本改變了過去重理論輕應用的思想和現(xiàn)象，確立了數(shù)學為專業(yè)服務的教學理念，強調理論聯(lián)系實際，突出了“應用”的主旨；增加了數(shù)學實驗內容，提高了學

5、生運用數(shù)學及計算機技術解決實際問題的能力，增加了數(shù)學建模的內容，引導學生去怎樣用數(shù)學。有的院校還提出了“項目法教學”，以實際項目帶動教學，讓學生在干中學，學中干等等。 事物都是一分為二的。由于強調學生應用能力的培養(yǎng)及實踐活動的增多，所以許多職校的基礎課時被普遍削減，高等數(shù)學課也不例外。理論教學被淡化，定理不用證明；許多概念被弱化；只要記住公式，會計算、會應用即可。這樣以來，就出現(xiàn)了一個問題：學生的數(shù)學思想的培養(yǎng)大打折扣了。我們知道，數(shù)學在形成人類理性思維方面起著核心的作用，許多數(shù)學系的畢業(yè)生都有這樣一個體會：在工作中真正需要用到的具體數(shù)學分支、具體的數(shù)學定理、公式和結論，其實并不很多，學校里學

6、過的一大堆數(shù)學知識很多都似乎沒有派上什么用處，但所受到的數(shù)學訓練、所領會的數(shù)學思想和精神，卻無時無刻不在發(fā)揮著積極的作用，成為取得成功的最重要的因素。因此，如果忽略了數(shù)學思想對學生的熏陶以及學生的數(shù)學素質的提高，那么學生即便記住了數(shù)學公式和定理，也難免淪為一堆僵死的教條，難以談什么靈活應用了。另外，數(shù)學概念的抽象性決定了數(shù)學應用的廣泛性，弱化了數(shù)學概念，何以談應用？何以談數(shù)學建模？要知道，要把實際問題轉化為一個數(shù)學問題，主要靠的是數(shù)學的抽象，靠的就是對數(shù)學概念的深刻理解。所以，在微積分的教學中，能盡可能多的滲透一些數(shù)學思想，讓學生盡可能多的掌握一些數(shù)學思想，應該是我們教學改革的目標之一吧。另外

7、數(shù)學是工具，是服務于社會各行各業(yè)的工具，作為工具，它的特點應該是簡單的。能把復雜問題簡單化，才應該是真數(shù)學。因此，若能在高職高專的微積分教學中，用簡單的初等的方法解決相應問題，讓學生了解同一個實際問題，可以從不同的角度、用不同的數(shù)學方法去解決，這對開闊學生的學習視野，提高學生運用數(shù)學的興趣與能力都是很有幫助的，這也應該是我們教改的又一個目標吧。而微積分初等化就可以在一定程度上實現(xiàn)上述兩個目標二、微積分初等化利弊的探討什么是微積分的初等化？所謂微積分的初等化，簡單的說就是不講極限，而直接學習導數(shù)與積分。1、利（1）符合人們的認知規(guī)律與數(shù)學的發(fā)展過程?？v觀微積分的發(fā)展史，是先有了導數(shù)和積分，后有的

8、極限理論。因為實際生活中的大量事物的變化率問題的存在，有各種各樣的求積問題的存在，才有了導數(shù)和定積分的產(chǎn)生；為使微積分理論嚴格化，才有了極限的理論。而我們現(xiàn)在向學生介紹的順序正好是倒過來了，學生往往會誤以為是先有了極限，才有的導數(shù)與積分。這與人們的認知過程是不符的。（2）順應了當前提倡的“問題驅動的數(shù)學研究”思想與方向。李大潛院士在2006年全國數(shù)理科學部科學基金項目研究成果報告會上的報告中，提出了關于大力提倡和推動以問題驅動的應用數(shù)學研究的建議。我認為，不僅數(shù)學研究應如此，數(shù)學教學也應如此。學習微積分，就是要由實際問題驅動，通過為解決實際問題而引入、建立起來的導數(shù)與積分概念的過程，使學生學會

9、數(shù)學地處理實際問題的思想與方法，提高他們舉一反三用數(shù)學知識去解決實際問題的能力。按傳統(tǒng)的微積分內容的教學處理，數(shù)學的這種強烈的應用性被滯后了，因為它要先講極限理論，而在初等化的微積分中，上來就從實際問題入手，撇開了極限講導數(shù)、講積分，正好順應了用“問題驅動數(shù)學的研究、學習數(shù)學”的時代潮流。（3）有利于培養(yǎng)、提高學生的公理化的數(shù)學思想我們一直強調要對學生進行數(shù)學素質的培養(yǎng)，其中重要的是對學生數(shù)學思想的培養(yǎng)。數(shù)學思想包括兩個部分：論證的思想和公理化的思想。論證的思想和公理化的思想是數(shù)學最重要的特點之一。論證的思想學生在中學時就已經(jīng)接觸到了，也比較熟悉了。在傳統(tǒng)的微積分教學里，也不乏論證的思想。而對

10、公理化的數(shù)學思想，學生雖然在學習平面幾何時有所認識，但總的說來，對于公理化體系的如何建立還是比較是陌生的。什么是公理化的思想呢？公理化思想是對一些在實踐或理論中得到的零散、不系統(tǒng)的知識和方法進行分析，找出一些不證自明的前提（公理），從這些前提出發(fā)，進行邏輯地論證，形成嚴密的體系。 這種思維模式不僅對于數(shù)學的發(fā)展，而且對于科學的發(fā)展和人類思想的進步都起了重要的作用。在西方，公理化的數(shù)學思想已經(jīng)融入到了文化傳統(tǒng)中了。西方的科學家和思想家常常以這種思維模式來思考和研究科學、社會、經(jīng)濟以至政治問題。例如，牛頓從他著名的三定律出發(fā)，演繹出了經(jīng)典力學系統(tǒng)；美國的獨立宣言的作者也試圖借助公理化的模式使人們對

11、其確實性深信不疑；馬克思從商品出發(fā)，一步步演繹出資本主義經(jīng)濟發(fā)展的過程和重要結論，這個過程也受到了公理化思想的影響， 但對這么重要的公理化的數(shù)學思想，在我們高職高專乃至在許多本科院校非數(shù)學專業(yè)的數(shù)學教學中是接觸不到的。因此，若能在微積分教學中，進行公理化數(shù)學思想的教育與滲透是件十分有益的事情。這一點，在初等化的微積分中就可以得到了實現(xiàn)。在初等化的微積分中,積分概念就是建立在公理化的體系之上的.由積分學的建立,學生可以了解數(shù)學的公理化體系的建立過程，學習公理化方法的本質，學習如何用分析的方法，從紛繁的事實中找出基本出發(fā)點，用講道理的邏輯的方式將其它事實演繹地陳述出來,這對學生將來用數(shù)學是大有益處

12、的，也為將來進一步學習打下了基礎。（4）有利于培養(yǎng)學生的發(fā)散思維及探索精神在初等微積分中，通過對實際問題的分析引入了強可導函數(shù)的概念，使學生清楚的看到，問題是怎樣提出的，數(shù)學概念是如何形成的。類比中學已經(jīng)接觸到的用導數(shù)描述曲線切線斜率的問題，使學生了解到同一個實際問題可以用不同的數(shù)學方式去解決的事實，從而可以有效的培養(yǎng)學生的發(fā)散思維及探索精神。（5）有利于掌握用已知的簡單的知識去解決新問題的方法在高職高專的高等數(shù)學教學中，極限的講述是描述性的，是不用語言的，這就使學生減少了一個培養(yǎng)邏輯推理、論證思想的機會，而在初等微積分中，導數(shù)的概念完全用學生已經(jīng)熟悉的不等式和絕對值的知識來嚴格定義的，與理論

13、相比，難度大大下降，體現(xiàn)了數(shù)學的簡單美。2、弊(1)從學生畢業(yè)繼續(xù)深造角度看，高職高專中微積分完全初等化不太現(xiàn)實我國的高等教育已經(jīng)從精英化走向了大眾化，這個變化使得現(xiàn)在高校畢業(yè)生就業(yè)形勢越來越嚴峻，就業(yè)壓力越來越大，用人單位對應聘人員的學歷要求越來越高，針對這一現(xiàn)實狀況，不少的高職高專的學生畢業(yè)后還要繼續(xù)深造，可能要升本、以后還可能要讀研，這些目標的實現(xiàn)，都是需要參加考試的，所以高職高專所開設的高等數(shù)學課還要與現(xiàn)實接軌，與實現(xiàn)上述目標盡可能的掛上鉤，接上碴兒。由于微積分的初等化現(xiàn)在還只是剛剛開始、沒有普及，所以升本、考研的數(shù)學題目必然是傳統(tǒng)的內容與思想方法，如果高職高專的高等數(shù)學中的微積分的教

14、學完全初等化的話，那么勢必要影響學生的考試分數(shù)及升學率。畢竟在升學問題上，現(xiàn)在分數(shù)還是決定一切的。（2）從高職高專高等數(shù)學教學計劃課時看，微積分完全初等化也是不太現(xiàn)實的若要考慮（1）的情況，最好是既講傳統(tǒng)微積分，又能講初等化的微積分。但高職高專高等數(shù)學的教學課時比本科的要少的多，因此上要做到這一點是不大可能的。（3）從高職高專的學生數(shù)學基礎看，微積分完全初等化也是行不大通的。近幾年來，隨著國家對職業(yè)教育的重視和政策的調控以及社會對專業(yè)技術人才的需求形勢的變化，職業(yè)學校的規(guī)模得到了快速發(fā)展，招生范圍也大大擴大，同時也帶來了一個問題，就是學生的文化基礎參差不齊，有的二百來分就上了學。這些學生成績不

15、高的背后，往往反映出他們的數(shù)學思維能力低、數(shù)學思想差的特點。讓這樣的學生學習突出強調數(shù)學思想的初等微積分是比較困難的。那么，鑒于以上原因，高職高專的微積分教學怎樣與初等化聯(lián)系起來進行改革呢？對此，我談談自己的想法。三、對職業(yè)學校微積分初等化教學的設想我覺得在高職高專中微積分的教學中，一方面要滲透數(shù)學思想，同時也要兼顧學生繼續(xù)深造的實際情況。所以職業(yè)學校高等數(shù)學中微積分初等化的教學可以這樣進行：設想一：1、微分學部分采?。簜鹘y(tǒng)的“頭”初等化的“尾” 的講法即“頭”是傳統(tǒng)的，按傳統(tǒng)的方法，依次講授“極限連續(xù)導數(shù)微分微分學的應用”，其中極限理論抓住無窮小這個重點，使學生掌握將極限問題的論證化為對無窮

16、小的討論的方法；“尾” 引進強可導的概念，簡單介紹強可導函數(shù)的性質及與點態(tài)導數(shù)的關系，把“微分的初等化”作為微分學的后綴，為后面積分概念的引進及積分的計算奠定基礎，架起橋梁。此舉不僅在于使學生獲得又一種定義導數(shù)的方法，更重要的是，可以揭去數(shù)學概念神秘的面紗，開闊學生的眼界，豐富學生的數(shù)學思維，激發(fā)學生敢于思考、探索、創(chuàng)造的自信心，2、積分學部分采?。撼醯然念^傳統(tǒng)的尾的講法積分學的“頭”通過實際問題驅動，引入、建立公理化的積分概念，再利用強可導函數(shù)的相關性質推出NL公式，解決積分的計算問題。最后從求曲邊梯形面積外包、內填的幾何角度，介紹傳統(tǒng)的積分定義的思想。這樣處理的結果，不但使學生學習了積分知識，而且能夠使學生學到數(shù)學的公理化思想，學到解決實際問題的不同數(shù)學方法，對培養(yǎng)、提高學生的數(shù)學素質是大有好處的。設想二：由于導數(shù)、積分等概念只不過就是一種特殊的極限，若將極限初等化了，導數(shù)、積分等自然就可以初等化了，所以可以不改變原來的傳統(tǒng)的微積分講授順