A全等三角形之手拉手模型、倍長(zhǎng)中線截長(zhǎng)補(bǔ)短法

1、手拉手模型要點(diǎn)一：手拉手模型特點(diǎn)：由兩個(gè)等頂角的等腰三角形所組成，并且頂角的頂點(diǎn)為公共頂點(diǎn)結(jié)論：（ 1） ABD AEC （ 2） + BOC=180°（ 3）OA平分 BOC變形：例 1. 如圖在直線ABC 的同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形ABD 與BCE ，連結(jié) AE 與 CD ，證明（ 1） ABEDBC(2) AE DC(3) AE 與 DC 之間的夾角為 60(4) AGBDFB(5) EGBCFB(6) BH 平分 AHC(7) GF / AC變式精練1：如圖兩個(gè)等邊三角形ABD 與BCE ，連結(jié) AE 與CD ，證明（ 1）ABEDBC（ 2） AE DC（ 3） AE 與 D

2、C 之間的夾角為 60（4） AE 與 DC 的交點(diǎn)設(shè)為H , BH 平分AHC變式精練2：如圖兩個(gè)等邊三角形ABD 與BCE ，連結(jié) AE 與 CD ，證明（ 1）ABEDBC(2） AEDC(3 ） AE 與 DC 之間的夾角為60(4 ） AE 與 DC 的交點(diǎn)設(shè)為H , BH 平分AHC例 2：如圖，兩個(gè)正方形ABCD 與 DEFG , 連結(jié) AG,CE , 二者相交于點(diǎn)H問(wèn)：（ 1）ADGCDE 是否成立？（ 2） AG 是否與 CE 相等？（ 3） AG 與 CE 之間的夾角為多少度？（4） HD 是否平分AHE ？例 3：如圖兩個(gè)等腰直角三角形ADC 與 EDG ，連結(jié) AG,

3、CE , 二者相交于點(diǎn)H問(wèn)：（ 1）ADGCDE 是否成立？（ 2） AG 是否與 CE 相等？（ 3） AG 與 CE 之間的夾角為多少度？（4） HD 是否平分AHE ？例 4：兩個(gè)等腰三角形ABD 與BCE ，其中 ABBD , CBEB,ABDCBE, 連結(jié) AE 與 CD ，問(wèn)：（ 1）ABEDBC 是否成立？（ 2） AE 是否與 CD 相等？（ 3） AE 與 CD 之間的夾角為多少度？（4） HB 是否平分AHC ？例 5：如圖，點(diǎn) A. B.連接 AE、DC， AE與論。C在同一條直線上， 分別以 AB、BC為邊在直線 AC的同側(cè)作等邊三角形 ABD、BCE. DC所在直線相

4、交于 F，連接 FB. 判斷線段 FB、 FE 與 FC 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)【練 1】如圖，三角形ABC和三角形CDE都是等邊三角形，點(diǎn)A,E,D, 同在一條直線上，且角EBD=62°，求角 AEB的度數(shù)倍長(zhǎng)與中點(diǎn)有關(guān)的線段倍長(zhǎng)中線類? 考點(diǎn)說(shuō)明：凡是出現(xiàn)中線或類似中線的線段，都可以考慮倍長(zhǎng)中線，倍長(zhǎng)中線的目的是可以旋轉(zhuǎn)等長(zhǎng)度的線段，從而達(dá)到將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目的：將題中已知和未知條件集中在一對(duì)三角形中、構(gòu)造全等三角形、平移線段。【方法精講 】常用輔助線添加方法倍長(zhǎng)中線AA ABC中方式 1： 延長(zhǎng) AD到 E，AD 是 BC邊中線使 DE=AD，BCBC連接 BEDDE方式

5、 2：間接倍長(zhǎng)AA作 CF AD于 F，延長(zhǎng) MD到 N，F(xiàn)作 BE AD的延長(zhǎng)線于 EM使 DN=MD，B連接 BE連接 CDDCBDCEN【例 1】 已知：ABC 中， AM 是中線求證：1AM(AB AC) 2ABMC【練 1】在 ABC 中， AB5 ，AC9 ，則 BC 邊上的中線AD 的長(zhǎng)的取值范圍是什么？【練 2】如圖所示，在ABC 的 AB 邊上取兩點(diǎn)E 、F ，使 AEBF ，連接 CE 、CF ，求證：ACBCECFC CAEFB【練 3】如圖，在等腰三角形ABC中， AB=AC，D是交 BC于 E求證： DE=EF(倍長(zhǎng)中線、截長(zhǎng)補(bǔ)短)AB上一點(diǎn)，F(xiàn) 是AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)

6、，且BD=CF，連結(jié)DF【例 2】 如圖，已知在ABC 中， AD 是 BC 邊上的中線， E 是 AD 上一點(diǎn)， 延長(zhǎng) BE 交 AC 于 F ， AFEF ，求證： ACBE AEFBDC【練 1】如圖，已知在 ABC 中， AD 是 BC 邊上的中線， E 是 AD 上一點(diǎn)，且 BE AC ，延長(zhǎng) BE 交 AC 于 F ，求證： AF EFCDFEAB【練 2】如圖，在 ABC中， AB>AC， E 為 BC 邊的中點(diǎn)， AD 為 BAC的平分線，過(guò)E 作 AD的平行線，交AB于 F，交 CA的延長(zhǎng)線于 G. 求證： BF=CG.【練 3】如圖，在ABC 中， AD 交 BC 于

7、點(diǎn) D ，點(diǎn) E 是 BC 中點(diǎn)， EF AD 交 CA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G，若BGCF ，求證： AD 為ABC 的角平分線CDEAGBF【練 4】如圖所示，已知ABC 中， AD 平分BAC， E、F 分別在 BD、 AD上 DECD，EF AC求證： EF ABAFBEDC【例 3】已知 AM 為ABC 的中線，AMB ，AMC 的平分線分別交AB 于 E 、交 AC 于 F 求證：BECFEFCFMAEB【練 BE1】在 RtABC 中， F 是斜邊 AB 的中點(diǎn)，4 ，則線段 DE 的長(zhǎng)度為 _D、E分別在邊CA 、 CB 上，滿足DFE90 若AD3 ，ADFCEB【練

8、2】如圖， ABC中， AB=2AC， AD平分 BC且 AD AC，則 BAC=_.【練 3】在ABC 中，點(diǎn) D 為 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn)M 、 N 分別為 AB 、 AC 上的點(diǎn)，且MDND （ 1）若 A 90 ，以線段 BM 、 MN 、 CN 為邊能否構(gòu)成一個(gè)三角形？若能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？（ 2）如果 BM 2CN 2DM 2DN 2 ，求證 AD2 1AB 2AC2 4AMNBCD【例 4】如圖，等腰直角ABC 與等腰直角BDE ， P 為 CE 中點(diǎn)，連接PA 、 PD .探究 PA 、 PD 的關(guān)系 . （證角相等方法）【練 1】如圖，兩個(gè)正方形AB

9、DE 和 ACGF ，點(diǎn) P 為 BC 的中點(diǎn)，連接PA交 EF 于點(diǎn) Q .探究 AP 與 EF 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系. （證角相等方法）【練 2】如圖，在ABC 中， CDAB ，BADBDA ， AE 是 BD 邊的中線 . 求證： AC2 AE【例 5】如圖所示， 在 ABC 中， AB AC ，延長(zhǎng) AB 到 D ，使 BD AB ， E 為 AB 的中點(diǎn)， 連接 CE 、 CD ，求證 CD 2EC AEBCAC ， BD 為 AB 的延長(zhǎng)線，且 BDAB，CE 為D【練 1】已知 ABC 中， ABABC 的 AB 邊上的中線求證： CD 2CECAEBD【練 2】如圖 ,CB、

10、 CD分別是鈍角AEC和銳角 ABC中線 , 且 AC=AB, ACB= ABC.求證 CE=2CD.【例 16】如圖，兩個(gè)正方形 ABDE 和 ACGF ，點(diǎn) P 為 BC 的中點(diǎn)，連接PA交 EF于點(diǎn) Q.探究 AP 與 EF 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系 . （倍長(zhǎng)中線與手拉手模型綜合應(yīng)用）【練 1】已知：如圖，正方形ABCD 和正方形 EBGF ，點(diǎn) M 是線段 DF 的中點(diǎn) .試說(shuō)明線段ME 與 MC 數(shù)量關(guān)系和關(guān)系 .如圖，若將上題中正方形EBGF 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度數(shù)（90 ），其他條件不變，上述結(jié)論還正確嗎？若正確，請(qǐng)你證明；若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由.全等之截長(zhǎng)補(bǔ)短： 人教八年級(jí)上冊(cè)課

11、本中，在全等三角形部分介紹了角的平分線的性質(zhì)，這一性質(zhì)在許多問(wèn)題里都有著廣泛的應(yīng)用 . 而“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”又是解決這一類問(wèn)題的一種特殊方法 ( 把長(zhǎng)邊截成兩個(gè)短邊或把兩個(gè)短邊放到一起； 出現(xiàn)角平分線進(jìn)行翻折 ；有具體角的度數(shù)說(shuō)明要求角的度數(shù)，進(jìn)而得到角相等，全等 )【例 10】如圖所示，ABC中，00C90,B45，平分BAC交BC于 。求證：。ADDAB=AC+CDACBD【練 1】如圖所示，在ABC 中，B 600，ABC 的角平分線 AD、ACE相交于點(diǎn)O。求證： AE+CD=AC。EOBDC【練 2】已知 ABC 中， A 60 ， BD 、 CE 分別平分ABC 和ACB ， BD 、

12、 CE 交于點(diǎn) O ，試判斷BE 、 CD 、 BC 的數(shù)量關(guān)系，并加以證明AEODBC【練 2】如圖 , 在四邊形ABCD中,AD BC，AE平分 BAD交 DC于點(diǎn) E，連接 BE，且 AE BE，求證： AB=AD+BC.【練 3】已知：如圖 , 在 ABC中 , A=90° ， AB=AC， BD是 ABC的平分線。求證：BC=AB+AD.【練 4】點(diǎn) M，N在等邊三角形ABC的 AB 邊上運(yùn)動(dòng)， BD=DC， BDC=120°，MDN=60°，求證 MN=MB+NCANMBCD【例 11】已知如圖所示，在 ABC中 ,AD 是角平分線 , 且 AC=AB

13、+BD,試說(shuō)明 B=2 C（不只是邊，倍角也適用）【練 1】如圖，在ABC中， ABAC， BDAC交 AC于點(diǎn) D求證： DBC 1 BAC2【 例12】如圖所示，已知 12，P 為 BN上一點(diǎn)，且PDBC 于 D， AB+BC=2BD， 求 證 ：BAPBCP 1800。MPNA1C2BDC【練 1】如圖，在四邊形ABCD中， BCBA, AD CD， BD平分ABC ，A求證：AC1800DBC【例 13】如圖所示，在 RtABC 中， AB=AC， BAC900， ABDCBD ，CE垂直于 BD的延長(zhǎng)線于E。求證： BD=2CE。AEDCB【練 1】已知：如圖示，在 Rt ABC中，

14、 A=90°， ABC=2 C， BD是 ABC的平分線求證： CD=2AD【練 2】如圖所示，在ABC 中，ABC900 ，AD為BAC 的平分線，C =30 0 ， BEAD 于 E 點(diǎn)，求證： AC-AB=2BE。AECBD【練 3】正方形 ABCD,E是 BC上一點(diǎn) ,AEEF, 交 DCH的平分線于點(diǎn)F，求證 AE=EF【練 4】已知在 ABC中， AB=AC， D在 AB上， E在 AC的延長(zhǎng)線上， DE交 BC于 F，且 DF=EF，求證： BD=CEADBCFE【例14】如圖所示，已知AB /CD ，ABC ,BCD的平分線恰好交于AD上一點(diǎn)E，求證：BC=AB+CD

15、。BAECD【練 1】如圖，已知 AD BC， PAB的平分線與CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于 D求證：AD+BC=ABPCEDAB【練 2】如圖，在正方形 ABCD中， F 是 CD的中點(diǎn)， E 是 BC邊上的一點(diǎn)，且 AF平分 DAE，求證： AE=EC+CD【練 3】在 ABC中， AD是 BC邊上的高， B=2C求證： CD=AB+BD【練 4】如圖所示 , 在三角形ABC中 , ACB=90°,AC=BC,D 為三角形ABC外一點(diǎn) , 且 AD BD,DE AC交 AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E. 試探求 ED、 AE和 BC之間有何數(shù)量關(guān)系【練 5】在四邊形 ABCD中，

16、 AB DC， E 為 BC邊的中點(diǎn)， BAE= EAF， AF與 DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) F。試探究線段 AB與 AF、 CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論ADBECF【例 15】如圖在 ABC中， ABAC， 1 2， P 為 AD上任意一點(diǎn)，求證：AB-AC PB-PCA12PBCD【練 1】已知 AM 為ABC 的中線，AMB ，AMC 的平分線分別交AB 于 E 、交 AC 于 F 求證： BECFEF AEFBCM如圖， E 是 AOB 的平分線上一點(diǎn)， ECOA ，EDOB ，垂足為AC、 D。求證：（ 1） OC=OD； （ 2） DF=CF。CFEODB構(gòu)造等邊三角形1、如圖

17、, 已知 ABC中 ,AB=AC,D是 CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn) , ADB=60° ，E 是 AD上一點(diǎn)，且有 DE=DB.求證： AE=BE+BC.2、在等腰ABC 中， ABAC ，頂角A20 ，在邊 AB 上取點(diǎn) D ，使 ADBC ，求BDC .ADBC練習(xí) 1、如圖 , 在 ABC中 , ACB=90°,BE 平分 ABC,DEAB 于 D,如果 AC=3cm,那么 AE+DE等于A、 2cmB、 3cmC、 4cmD、 5cm練習(xí)2、在 ABC 和 A'B'C'中 ,AB=A'B',AC=A'C',點(diǎn)D,D

18、9; 分別是BC,B'C' 的中點(diǎn) , 且 AD=A'D', 證眀：ABCA'B'C' .AA '（倍長(zhǎng)中線）BCB 'C'D'D練習(xí) 3、如圖，在 ABC中， BE是 ABC的角平分線，AD BE，垂足為D，求證： 2=1+ C練習(xí) 4、如圖（ 1），已知 ABC中， BAC=90°， AB=AC， AE是過(guò) A 的一條直線，且B、 C在 A、 E 的異側(cè)，BD AE于 D， CE AE于 E（1）試說(shuō)明： BD=DE+CE（2）若直線AE繞 A 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（2）位置時(shí)（ BDCE），其余條件不

19、變，問(wèn)BD與 DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果；（3）若直線 AE繞 A 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（ 3）位置時(shí)（ BDCE），其余條件不變，問(wèn) BD與 DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果，不需說(shuō)明理由如圖所示，在 Rt ABC中， AB AC， BAC 90°，有過(guò) A的任一條直線 AN，BD AN于 D，CE AN于 E，求證： DE BD CE（思路：截長(zhǎng)補(bǔ)短法）如圖 , 在 ABC中 ,AB=AC,D 是三角形外一點(diǎn), 且 ABD=60°,BD+DC=AB.求證： ACD=60° . （截長(zhǎng)補(bǔ)短）1、如圖，等腰直角ABC 與等腰直角BDE ， P 為 CE 中點(diǎn)，連接 PA 、 PD .探究 PA 、 PD 的關(guān)系 . （輔助線的連法都一樣）2、已知：如圖，正方形ABCD 和正方形 EBGF ，點(diǎn) M 是線段 DF 的中點(diǎn) .試說(shuō)明線段ME 與 MC 數(shù)量關(guān)系和關(guān)系 . （輔助線的連法都一樣）如圖，若將上題中正方形EBGF 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度數(shù)（90 ），其他條件不變，上述結(jié)論還正確嗎？若正確，請(qǐng)你證明；若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由.3、已知 AM 為