34定積分與微積分基本定理

1、3.4定積分與微積分基本定理一、選擇題1與定積分301 cosx x 相等的是()d3x3 xA.2 0sin 2dxB. 20sin 2 dx3sinxdx以上結(jié)論都不對(duì)C.202D1 cosx2sin2x31 cosxdx解析2， 03xx3xx02|sin2|d20|sin2|d.答案B2.已知 f(x)為偶函數(shù)，且6f(x)d ，則6 6f(x)d()x8x0A0Bd4C8D16解析626f(x)d × 6f(x)xx28 16.0答案 D3以初速度 40 m/s 豎直向上拋一物體， t 秒時(shí)刻的速度v4010t 2，則此物體達(dá)到最高時(shí)的高度為 () 16080A. 3 mB

2、. 3 m4020C. 3 mD. 3 m解析 v 2 ， 2t2t 1032 × 10t ，t)d40t t0×8401002 (4010340 230160 3 (m) 答案 A4一物體以 v9.8t6.5( 單位： m/ s) 的速度自由下落，則下落后第二個(gè)4 s內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程是 ()A260 mB258 mC259 mD261.2 m8 (9.8t 6.5) dt (4.9t2 6.5t)8解析4.9 ×646.5 ×84.9 ×16446.5 ×4 313.6 52 78.4 26261.2.答案 D5由曲線 yx，直線 yx

3、2 及 y 軸所圍成的圖形的面積為() 10A. 3B416C. 3D6解析由 y x及yx2可得，x ，所以由 yx及 yx2及 y 軸所圍成4的封閉圖形面積為4x x 2)dx231216(x x 2x | 40 3.03 22答案Cn1 i2，n*，b1 2x，則 a， b 的大小關(guān)系是已知 aNx()6i 1n nd0a babA>Ba b不確定C<D答案A7下列積分中e124x2 xdx；22x d x；0dx；1 0cos 2xx，積分值等于1的個(gè)數(shù)是()2xsinxdA1B2C3D4e 1x 1e1，解析 xdxln11 22xdx 2x2 2 20，24x2x1 1

4、2) ，d(21 40cos 2 x12 02cos xsin xdx22 0(cosxsinx)d x1x 2(sincos)| 201.答案C二、填空題8如果 10 N的力能使彈簧壓縮10 cm，為在彈性限度內(nèi)將彈簧拉長(zhǎng)6 cm，則力所做的功為 _0.06解析由 F(x)kx，得k，F(xiàn)(x) 100x，W 0d0.18(J100100x x)答案 0.18 J1x所圍成的圖形的面積為曲線 y 與直線 yx，2_9x3答案2ln 2若k2d ，則k等于 _10(2x 3x )x00解析k2dkd k2d 2k3k23 ，xxkk(2x 3x )x2x x3xx000000 k 0 或 k1.

5、答案0或1112|3 2x|d x_.13 2x3，x2，解析 |3 2x| 3x ，x ，23231(3 2x)d x3 2|3 2x|d x2(2 x 3)d x122xx2|323121( x3x)|2 22.1答案212拋物線 y x2 4x3 及其在點(diǎn) A(1,0) 和點(diǎn) B(3,0) 處的切線所圍成圖形的面積為 _解析如圖所示，因?yàn)閥 2x4，y|x 1 2， y|x3 2，兩切線方程為 y2( x1) 和 y 2( x 3) yx，x2.由 yx得所以S22(x1)(x2x3)dx32(x3)x2 x3)dx4(4122x2x1)dx3(x26x9)dx(2121x3 x2x12

6、1x3 x2x2323339 3.答案23三、解答題13如圖在區(qū)域 ( x，y)| 2 x2,0 y4 中隨機(jī)撒 900 粒豆子，如果落在每個(gè)區(qū)域的豆子數(shù)與這個(gè)區(qū)域的面積近似成正比， 試估計(jì)落在圖中陰影部分的豆子數(shù)解析區(qū)域 的面積為 S1 16.圖中陰影部分的面積x2x1323221216 x 2 3 .SS 2 d3設(shè)落在陰影部分的豆子數(shù)為m，m S2由已知條件 900S1，900S2即 m S1 600.因此落在圖中陰影部分的豆子約為600 粒14如圖所示，直線y kx 分拋物線 yxx2 與 x 軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求 k 的值解析拋物線 yxx2 與 x 軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x

7、1 ， x2 ，01所以，拋物線與x 軸所圍圖形的面積12x21x311S ( xx )d x2 306.0yxx2，又 ykx，由此可得，拋物線 y xx2 與 ykx 兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x3 0， x4 1k，所以，S1 kx2x20(x kx)d1k 2131 k2x 3x01 6(1 k) 3.1又知 S6，3 1所以 (1 k) 2，3 13于是 k 4121 2 .曲線 C： y x3x2x ，點(diǎn) P1，0，求過(guò) P 的切線 l 與 C 圍成的圖形1523212的面積解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 ( x0，y0)y 6x2 6x2，則 y|x x0 6x20 6x0 2，切線方程為 y2 x0x

8、1，(6x02)62則 y0(6 x206x0 2) x01 ， 2即 2x33x22x22)x010001 (6 x 6x02 .0x02x0 ，整理得(4x03)60解得 x0 0，則切線方程為y 2x 1.y 2x1，解方程組y2x3 3x22x 1，x ，x3，02得 y1或y 2.由yx3 x2 x1與y x1的圖象可知2322332S 20( 2x 1) (2 x3x2x 1)d x30x3x2x 272(23)d32.16. 已知二次函數(shù) f(x) 3x2 3x，直線 l 1：x 2 和 l 2： y 3tx( 其中 t 為常數(shù)，且 0<t<1) ，直線 l 2 與函

9、數(shù) f(x) 的圖象以及直線 l 1 、l 2 與函數(shù) f(x) 的圖象所圍成的封閉圖形如圖 K153，設(shè)這兩個(gè)陰影區(qū)域的面積之和為 S(t) (1) 求函數(shù) S(t) 的解析式；(2) 定義函數(shù) h(x) S(x) ，x R. 若過(guò)點(diǎn) A(1 ，m)( m4) 可作曲線 yh( x)( xR)的三條切線，求實(shí)數(shù) m的取值范圍y3x2 3x，解析 (1)由 得 x2 (t 1)x 0，y3tx所以 x1 0， x2 t 1.所以直線 l2 與 f(x)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0， t 1.因?yàn)?0<t<1 ，所以 1<t 1<2.所以 S(t) 0t 13tx (3x

10、 23x) dx2 t 1(3x 2 3x) 3tx dx23t 13x222xx0 x 2t 1 (t 1) 36t 2.(2) 依據(jù)定義， h(x) (x 1) 36x2，xR，則 h(x) 3( x1) 26.因?yàn)?m4，則點(diǎn) A(1 ，m) 不在曲線 yh( x) 上過(guò)點(diǎn) A 作曲線 yh( x) 的切線，設(shè)切點(diǎn)為M( x0，y0 ) ，x0x0 3x0 m則 3(1)2 62，6x0 1化簡(jiǎn)整理得 2x30 6x0m0，其有三個(gè)不等實(shí)根設(shè) g( x0) 2x306x0 m，則 g(x0) 6x206.由 g(x0 )>0 ，得 x0>1 或 x0< 1；由 g(x0 )<0 ，得 1<x0<1，所以 g( x0 ) 在區(qū)間 ( ， 1) ， (1 ， ) 上單調(diào)遞增，在 ( 1,1) 上單調(diào)遞減，所以當(dāng)