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文檔簡介

1、歐拉公式的證明著名的歐拉公式e(i)=cos+isin是人 們公認的優(yōu)美公式。原因是指數函數和三角函數在實數域中幾乎沒有什么聯系， 而在復數域中卻發(fā)現了他們可以相互轉化，式聯系在一起。 特別是當 = 時，歐拉公式便寫成了 e(i )+1=0, 色的五個數 0 ，1， i , e , 絕 妙,地聯系在一起并被一個非常簡單的關系就這個等式將數中最富有特方法一：用冪級數展開形式證明，但這只是形式證明（嚴格的說，在實函數域帶著 i 只是形式上的）再抄一遍：設 z = x+iy這樣 ez = e(x+iy)=ex*e(iy),就是 ez/ex= e(iy)用牛頓冪級數展開式ex = 1+x+x2/2!+

2、x3/3!+.+xn/n!+.把 e(iy)展開，就得到ez/ex = e(iy)=1+iy-y2/2!-iy3/3!+y4/4!+iy5/5!-y6/6!-.=(1-y2/2!+y4/4!-y6/6!+.)+i(y-y3/3!+y5/5!-.)由于 cosy = 1-y2/2!+y4/4!-y6/6!+.,siny = y-y3/3!+y5/5!-.所以 e(x+iy)=ex*e(iy)=ex*(cosy+isiny)即 e(iy) = (cosy+isiny)方法二：見復變函數第2 章，在整個負數域內重新定義了sinz cosz而后根據關系推導出了歐拉公式。著個才是根基。由來緣于此。方法一

3、是不嚴格的。再 請看這2 個積分 sqrt(x2-1)dx=x*sqrt(x2-1)/2-ln(2*sqrt(x2-1)+2x)/2 sqrt(1-x2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x2)/2;上式左邊相當于下式左邊乘以i于是上式右邊相當于下式右邊乘以i然后化簡就得到歐拉公式這個證明方法不太嚴密但很有啟發(fā)性歷史上先是有人用上述方法得到了對數函數和反三角函數的關系然后被歐拉看到了,才得到了歐拉公式設a t ?R, ?R+,a(it)?z 有 :a(it)= (cos +isin ) 1因共軛解適合方程,用 -i替換 i 有:a(-it)= (cos-isin ) 2由 1,2 得 =1, 點 Pa(it) 在單位圓上 ,a(it) 可表達為 :a(it)=cos +isin 3設 t=u( 對 ), 3 微商有 :a(it)*(lna)*u'(-sin )*i=+icos 整 理a(it)*(lna)*u'(有 : )*i=(cos +isinu'( )=logae 4 )(cos 約去 a(it)/2+isin有: /2)4 取積分有 :T=(logae)* + 50時,t=limt=帶 , 入3 有:a(i )=1 即 : =066代入 5有:T=(logae)* 77代入 3有:a(

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