橢圓雙曲線知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)

1、橢圓知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)1】橢圓的概念：橢圓的第一定義 在平面內(nèi)到兩定點(diǎn) Fi、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|FiF2|）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓. 這兩定點(diǎn)叫做 橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距當(dāng)動(dòng)點(diǎn)設(shè)為M時(shí)，橢圓即為點(diǎn)集 P =訕| MFJ - |MF2 =2a 注意：若（PFi |+|PF2 =FiF2），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線段F1F2 ；若（Ph |+|pf2 |<:卩汗2 ），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡無(wú)圖形。橢圓的第二定義：在平面內(nèi)，滿足到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比是等于一個(gè)常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。其中這個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，這條定直線叫做相應(yīng)于該焦點(diǎn)的準(zhǔn)線。注：定義中的定點(diǎn)不在定直線上。如果將

2、橢圓的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，焦點(diǎn)放在X軸上，準(zhǔn)線方程是：焦點(diǎn)放在Y軸上，準(zhǔn)線方程是：【知識(shí)點(diǎn)2】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2 2焦點(diǎn)在X軸上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：x?=1 a b 0，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0）， （ - c, 0）a b2 2焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：冷厶=1 a b 0焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c，）（0，-c）b a【知識(shí)點(diǎn)3】橢圓的幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程2 2+ 爲(wèi)=1 (a Ab >0 ) a b2 2+厶=1 (a Ab>0 ) b a圖形ji.-A性 質(zhì)范圍a乞x蘭ab蘭y蘭b對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A( - a,0)， A a, 0)B(0，- b)，B(0，b)A(0

3、，- a)，A(0，a)B( - b,0)，BKb,0)軸長(zhǎng)軸AA的長(zhǎng)為2a；短軸 BR的長(zhǎng)為2b焦距1 F1F2 |=2c離心率ce二一 (0,1)aa，b，c的關(guān)系2 2 . 2 c = a - b規(guī)律：（1丄橢圓焦點(diǎn)位置與. x2, y2系數(shù)間的關(guān)系：焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案（2）橢圓上任意一點(diǎn)_ M到焦點(diǎn).F的所有距離中，長(zhǎng)軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離分別為最大距離和最小距離，且最大距離 為a+ c,最小距離為 a c.在橢圓中，離心率e詣=、；1 - ：（4）橢圓的離心率e越接近1橢圓越扁；e越接近于0,橢圓就接近于圓；橢圓典型例題、已知橢圓焦點(diǎn)的位置，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例1:已知橢

4、圓的焦點(diǎn)是 Fi（0， 1）、F2（0,1） , P是橢圓上一點(diǎn)，并且 PF+ PF2= 2F1F2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：由 PF+ PF2= 2RF2= 2X 2= 4,得 2a= 4.又 c= 1,所以 b2 = 3.222 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為 解：由橢圓定義知 c= 1,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是4+彳=1.b 1 =24. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 2x y25+ 24F（ 1,0） , F2（1,0），且2a= 10,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.、未知橢圓焦點(diǎn)的位置，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例：1.橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為 A 2,0，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：（1）當(dāng)A 2,0為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，

5、a=2 , b=1,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:（2）當(dāng)A 2,為短軸端點(diǎn)時(shí)，b = 2 , a = 4,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:2 2x_丄416=1三、橢圓的焦點(diǎn)位置由其它方程間接給出，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。2 2求過(guò)點(diǎn)（一3,2）且與橢圓希+ £ = 1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.例.解:x2 y294因?yàn)閏2= 9-4 = 5,所以設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為孑+斗=1.由點(diǎn)（-3,2）在橢圓上知孑+斗=1,所以a22215.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為X5+0= 1.四、求橢圓的離心率問(wèn)題。例1 一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率.2解：；2 c1 2 22 3c =a341 43:.

6、e =V33x2例2已知橢圓k +8=1的離心率9解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在 x軸上時(shí)，a2=k，8 ,，得c2=k-1 .由e =，得k=4 .22 2 2當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在 y軸上時(shí)，a =9 , b =k8，得c =1-k .,1 m 1 k 1 刖 5由e ，得，即k =9445滿足條件的k = 4或k =4雙曲線知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)1】雙曲線的概念：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn) Fi、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù) （小于|FiF2|）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線. 這兩定點(diǎn)叫做橢圓 的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距當(dāng)動(dòng)點(diǎn)設(shè)為M時(shí)，橢圓即為點(diǎn)集 PJ.MIMF|MF2 =2a?注意：若（|MFi| MF? = Fi F2 ）

7、，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為兩條射線;若（|MFi MF? >|FiF2 ），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡無(wú)圖形?！局R(shí)點(diǎn)2】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程2 2焦點(diǎn)在x軸上雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：二占=1 a0,b0，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c, 0） , （-c, 0） a b2 2焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：占=1 a 0,b 0焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0, c,）（0，-c）b a【知識(shí)點(diǎn)3】雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程22x y.a £= 1( a>0, b>0)2 2習(xí)=1(a>0, b>0)圖形yi性 質(zhì)范圍x>a 或 xw a, y Rx R, yw a 或 y >a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱

8、中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A( a,0), A(a,0)A(0， a) , Aa(0 , a)漸近線by =± _ xaay=± Lx離心率c1e = -, e(1 ,+s )，其中 c= a2 + b2 a實(shí)虛軸線段AA叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng) |AA| = 2a； 線段BB叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng) |BB| = 2b； a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)a、b、c的關(guān)系c2= a2+ b2(c> a> 0, c> b> 0)實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案規(guī)律：1. 雙曲線為等軸雙曲線 ？雙曲線的離心率 e= 2?雙曲線的兩條漸近線互相垂直 (位置關(guān)系).2. 區(qū)分

9、雙曲線中的a, b， c大小關(guān)系與橢圓a，b， c關(guān)系，在橢圓中a2 = b2 + c2，而在雙曲線中c2= a2 + b2. (2)雙.曲線的離心率大于.1，而橢圓的離心率.e£ (0,1)在雙曲線中，離心率a；2b =:廠, 雙曲線的離心率 e越大,開(kāi)口越闊.雙曲線典型例題一、根據(jù)雙曲線的定義求其標(biāo)準(zhǔn)方程。例 已知兩點(diǎn)F1 -5,0、F2 5,0，求與它們的距離差的絕對(duì)值是6的點(diǎn)的軌跡.解：根據(jù)雙曲線定義，可知所求點(diǎn)的軌跡是雙曲線.:c = 5， a = 32 2 2 2 2 2b c a 5 - -34162 2.所求方程 D1為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，且軌跡是雙曲線.916x2P是雙

10、曲線642_L _1上一占I L-八、：36F1、F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且 PR =17，求PF2的值.2 2解：在雙曲線-y 1中，a=8，b=6，故c=10 .6436由P是雙曲線上一點(diǎn)，得PF|PF2 =16. PF2| =1 或 PF2 =33 .又 PF2 _c-a =2，得 PF2 =33.、根據(jù)已知條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。例2根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程."15、16(1)過(guò)點(diǎn)P 3,15 I，Q -16，i且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.I 4丿 I 3丿(2) C= .6，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一5，2)，焦點(diǎn)在x軸上.2 2(3)與雙曲線 -=1有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) (3丿2,2)1

11、642 2解：(1)設(shè)雙曲線方程為 =1P、Q兩點(diǎn)在雙曲線上,m = -16 n =99225,+=1 m 16n25625,+=1 _9m n2 2所求雙曲線方程為y 1169說(shuō)明：采取以上“巧設(shè)”可以避免分兩種情況討論，得“巧求”的目的.（2）V焦點(diǎn)在x軸上，c = . 6 ,設(shè)所求雙曲線方程為:=1 （其中 0： 6）雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一5,2）,二空丄=16 -=5或，=30（舍去）所求雙曲線方程是t1說(shuō)明：以上簡(jiǎn)單易行的方法給我們以明快、簡(jiǎn)捷的感覺(jué).2 2（3）設(shè)所求雙曲線方程為：X一 - =1 0： 1616 - k 4 + &雙曲線過(guò)點(diǎn) 3 2,2=116 丸 4 +丸，=

12、4或，=-14 （舍）2 2所求雙曲線方程為 -y 112 8拋物線定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線1的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫 做拋物線的焦點(diǎn)，直線1叫做拋物線的準(zhǔn)線。 M |MF點(diǎn)M到直線1的距離范圍x X0, y Rx 蘭 0, y Rxe R, y 狂 0x R, y 蘭 0對(duì)稱性關(guān)于X軸對(duì)稱關(guān)于y軸對(duì)稱焦占八、八、（少0）（號(hào)0）(。鳥(niǎo))(0七)焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上頂點(diǎn)0（0,0）離心率e=1準(zhǔn)線 方程x扌x專-4準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)且到頂點(diǎn)的距離相等。頂點(diǎn)到準(zhǔn) 線的距離_P2焦點(diǎn)到準(zhǔn) 線的距離P焦半徑A(X1, y1)AF =捲 + &2AF =-為+衛(wèi)2AF =

13、力 +2AF = -y-2拋物線典型例題一、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。例1指出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程.(1)X2 =4y (2)X =ay2(a =0)解：(1)幕p =2 ,焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0, 1)，準(zhǔn)線方程是：y - -1(2)原拋物線方程為:y2,ap1 當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開(kāi)口向右，2 4a11焦點(diǎn)坐標(biāo)是(丄,0)，準(zhǔn)線方程是：x二-丄4a4a 當(dāng)a <0時(shí)，衛(wèi)1，拋物線開(kāi)口向左，2 4a1 1焦點(diǎn)坐標(biāo)是（丄,0），準(zhǔn)線方程是：X二-丄.4a4a14a2 1綜合上述，當(dāng)a=0時(shí)，拋物線x =ay的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（,0），準(zhǔn)線方程是:4a二、求直線與拋物線相結(jié)合的問(wèn)題例2若直線y =kx2與

14、拋物線y2 =8x交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,求此直線方程.y = kx_22 2解法一：設(shè) A（x-i, y1）、B（x2, y2），則由：丿 2可得：k x _（4k+8）x+4 = 0 .y =8x直線與拋物線相交，.k=0且.=0,則k -1. AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為：.冬 竺二色8 =2 ,2k解得：k =2或k 1 （舍去）.故所求直線方程為：y=2x-2 .解法二：設(shè) A（x1，y1）、B（X2, y2），則有 y18人 y 8x?.兩式作差解：(y1 -y2)(y1 - y2) -8(為-x?)，即 y y -% X2力 + yx1 x2 =4 . y1 y2 = 3 -

15、2 kx2 -2 = k(x1 x2) -4 = 4k -4 , k - 故k = 2或k - -1 (舍去).4k 4則所求直線方程為： y =2x -2 .橢圓、雙曲線、拋物線基礎(chǔ)測(cè)試題100分時(shí)間：100分鐘 滿分：一.選擇題（下列各題中只有一個(gè)正確答案，每小題 4分共24分）F1 （0, 3 ）、F2 （0,七）的距離之和等于 10的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是班級(jí)姓名成績(jī)1.到兩點(diǎn)2.3.雙曲線2 2x- 1542 24x - 3y = 12(A ) 4y 2 - 3x2 = 1222x- 1 ( c )52 20. y_2516=12 2乞丄1625=1的共軛雙曲線是(B ) 3x-4y 2

16、 = 12( C ) 3y-4x2 = 12(D ) 4x2 - 3y2= 12頂點(diǎn)在原點(diǎn)、坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（ 1, -2 ）的拋物線方程是2=4x ( B ) x2 2=4x, x = 4y ( D ) y2 = 4x,4.若橢圓22二 =1，則9等于95(A) 兩焦點(diǎn)間的距離(B)一焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸一端點(diǎn)的距離(C) 兩準(zhǔn)線間的距離(D)橢圓上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離2 2)或k < 0()35. 當(dāng)曲線 =1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線時(shí)，則(k 4 k(A ) k > 0( B ) k > 4( C ) 0 < k < 4( D ) k > 46. 雙曲線的兩條準(zhǔn)線把連接兩焦點(diǎn)的線段三等分，則雙曲線的離心率是(A ).3( B ) 3( C )仝 (D )3二. 填空題(每空4分，共24分)1. 拋物線x2 = 4y + 8的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 .2. 離心率為.2的雙曲線的漸近線的夾角等于3. 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)M(3, 0 ) 、N( 0, _2 )的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .4. 若橢圓的一焦點(diǎn)到短軸兩端點(diǎn)的連線垂直，則橢圓的離心率是5. AB是過(guò)橢圓x2 + 2y 2 = 4焦點(diǎn)Fi的弦，它與另一焦點(diǎn) F2所連成三角形的周長(zhǎng)等于 .6. 當(dāng)拋物線y2 = 4x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F和點(diǎn)A