【KS5U解析】名校聯(lián)盟2020屆高三聯(lián)考評(píng)估卷（八）數(shù)學(xué)（理）試題 Word版含解析

1、名校聯(lián)盟2020屆高三聯(lián)考評(píng)估卷（八）數(shù)學(xué)（理科）第卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.把正確的答案填在答題卡相應(yīng)的位置上.）1.設(shè)集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】分別求出集合和，再求并集即可.【詳解】解不等式得，即；由得，即；所以.故選a【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的并集運(yùn)算，熟記概念即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.2.若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)（ ）a b. c. 4d. 5【答案】d【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則先求出復(fù)數(shù)z，再計(jì)算它的模長(zhǎng)【詳解】解：

2、復(fù)數(shù)za+bi，a、br；2z，2（a+bi）（abi），即，解得a3，b4，z3+4i，|z|故選d【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算問題，要求熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)長(zhǎng)度的計(jì)算公式，是基礎(chǔ)題3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等差數(shù)列公差（）a. 2b. c. 3d. 4【答案】c【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出【詳解】a1=12，s5=90，5×12+ d=90，解得d=3故選c【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題4.某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對(duì)2019年這一年的收支情況，下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）a.

3、 月收入的極差為60b. 7月份的利潤(rùn)最大c. 這12個(gè)月利潤(rùn)的中位數(shù)與眾數(shù)均為30d. 這一年的總利潤(rùn)超過400萬元【答案】d【解析】【分析】直接根據(jù)折線圖依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為，故選項(xiàng)a正確；1至12月份的利潤(rùn)分別為20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利潤(rùn)最高，故選項(xiàng)b正確；易求得總利潤(rùn)為380萬元，眾數(shù)為30，中位數(shù)為30，故選項(xiàng)c正確，選項(xiàng)d錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了折線圖，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.5.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析

4、】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性可得，又由，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則，有，又由在上單調(diào)遞增，則有，故選c.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注意函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題6.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)，則的值為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到，故，再利用和差公式得到答案.【詳解】角的終邊過點(diǎn)，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)定義，和差公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.7.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰長(zhǎng)為3，則該幾何

5、體表面積為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長(zhǎng)為3，底面半徑為1，計(jì)算得到答案.【詳解】幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成，其中半球半徑為1，圓錐的母線長(zhǎng)為3，底面半徑為1，故幾何體的表面積為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.8.展開式中x2的系數(shù)為( )a. 1280b. 4864c. 4864d. 1280【答案】a【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的公式得到具體為：化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式的展開式得到可以第一個(gè)括號(hào)里出項(xiàng)，第二個(gè)括號(hào)里出項(xiàng)，或者第一個(gè)括號(hào)里

6、出，第二個(gè)括號(hào)里出，具體為： 化簡(jiǎn)得到-1280 x2故得到答案為：a.【點(diǎn)睛】求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).9.若函數(shù)（其中，圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，其相鄰一條對(duì)稱軸方程為，該對(duì)稱軸處所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，為了得到的圖象，則只要將的圖象( )a. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度b. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度c. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度d. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】b【解析】【分析】由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出a，由周期求出，由

7、五點(diǎn)法作圖求出的值，可得的解析式，再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，誘導(dǎo)公式，得出結(jié)論【詳解】根據(jù)已知函數(shù)其中，的圖象過點(diǎn)，可得，解得：再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得，可得：，可得函數(shù)解析式為：故把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象，故選b【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出a，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題10.已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，分別為拋物線與圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用拋物線的定義，求得p的值，由利用兩點(diǎn)間距離公式求得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，由取得

8、最小值為，求得結(jié)果.【詳解】由拋物線焦點(diǎn)在軸上，準(zhǔn)線方程，則點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則，所以拋物線方程：，設(shè)，圓，圓心為，半徑為1，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，故選d.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)距離的最小值問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的定義，點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑，二次函數(shù)的最小值，屬于中檔題目.11.已知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，的最大值是（ ）a. 8b. 9c. 10d. 11【答案】b【解析】【分析】根據(jù)題意計(jì)算，解不等式得到答案.【詳解】是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，.是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列

9、，.，解得.則當(dāng)時(shí)，的最大值是9.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列，f分組求和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用.12.已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn) （其中），則 的值為( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】令，構(gòu)造，要使函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)（其中），則方程需要有兩個(gè)不同的根，則，解得或，結(jié)合的圖象，并分，兩個(gè)情況分類討論，可求出的值.【詳解】令，構(gòu)造，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，時(shí)，可畫出函數(shù)圖象（見下圖），要使函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)（其中），則方程需要有兩個(gè)不同的根（其中），則，解得或，且，若，即，則，則，且，故，若，即，由于，故

10、，故不符合題意，舍去. 故選a. 【點(diǎn)睛】解決函數(shù)零點(diǎn)問題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.第卷（非選擇題共90分）二、填空題（本小題共4題，每小題5分，共20分.）13.平面向量與的夾角為，則_【答案】【解析】【分析】由平面向量模的計(jì)算公式，直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄颗c的夾角為，所以，所以;故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量模的計(jì)算，只需先求出向量的數(shù)量積，進(jìn)而即可求出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題型.14.已知x，y滿足約束條件，則的最小值為_【答案】【解析】【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再由表示直線在y軸上的截距最大即可得解.【詳解】x，y滿足約束條件，畫出可行域如圖所示.目標(biāo)函數(shù)

11、，即.平移直線，截距最大時(shí)即為所求.點(diǎn)a（，），z在點(diǎn)a處有最小值：z2，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決此類問題的基本方法15.已知為雙曲線：的左焦點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，若點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，則雙曲線的離心率為_【答案】【解析】【分析】由點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，得到直線的斜率，再根據(jù)直線過點(diǎn)，可求出直線方程，又，中點(diǎn)在直線上，代入直線的方程，化簡(jiǎn)整理，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉殡p曲線：的左焦點(diǎn)，所以，又點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，所以可得直線的方程為，又，中點(diǎn)在直線上，所以，整理得，又，所以，故，解得，因，所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性

12、質(zhì)，先由兩點(diǎn)對(duì)稱，求出直線斜率，再由焦點(diǎn)坐標(biāo)求出直線方程，根據(jù)中點(diǎn)在直線上，即可求出結(jié)果，屬于?？碱}型.16.九章算術(shù)中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖，在鱉臑中，平面，且，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，則三棱錐的體積的最大值為_【答案】【解析】【分析】由已知可得aef、pef均為直角三角形，且af2，由基本不等式可得當(dāng)aeef2時(shí)，aef的面積最大，然后由棱錐體積公式可求得體積最大值【詳解】由pa平面abc，得pabc，又abbc，且paaba，bc平面pab，則bcae，又pbae，則ae平面pbc，于是aeef，且aepc，結(jié)合條件afpc，得pc平面aef，aef、pef均

13、為直角三角形，由已知得af2，而saef（ae2+ef2）af22，當(dāng)且僅當(dāng)aeef=2時(shí)，取“”，此時(shí)aef的面積最大，三棱錐paef的體積的最大值為：vpaef故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面垂直的判定，基本不等式的應(yīng)用，同時(shí)考查了空間想象能力、計(jì)算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題（共60分）17.已知在中，分別為角a,b,c的對(duì)應(yīng)邊，點(diǎn)d為bc邊的中點(diǎn)，的面積為.(1)求的值；(2)若，求【答案】（1）； （2）.【解析】【

14、分析】(1)先由的面積為且d為bc的中點(diǎn)，得到的面積；再由三角形的面積公式和正弦定理即可求出結(jié)果；(2)根據(jù)(1)的結(jié)果和，可求出和；再由余弦定理，即可求出結(jié)果.【詳解】(1)由的面積為且d為bc的中點(diǎn)可知:的面積為,由三角形的面積公式可知:,由正弦定理可得:,所以, (2) ,又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以,即,在中由正弦定理可得,所以由（1）可知所以, 在直角中,所以.,在中用余弦定理，可得.【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理和余弦定理以及面積公式，即可求解，屬于?？碱}型.18.黃岡市有很多名優(yōu)土特產(chǎn)，黃岡市的蘄春縣就有聞名于世的“蘄春四寶”（蘄竹，蘄艾，蘄蛇，蘄龜），很多人慕名而來旅游，通過

15、隨機(jī)詢問60名不同性別的游客在購(gòu)買“蘄春四寶”時(shí)是否在來蘄春縣之前就知道“蘄春四寶”，得到如下列聯(lián)表：男女總計(jì)事先知道“蘄春四寶”8事先不知道“蘄春四寶”436總計(jì)40（1）寫出列聯(lián)表中各字母代表的數(shù)字；（2）由以上列聯(lián)表判斷，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為購(gòu)買“蘄春四寶”和是否事先知道“蘄春四寶”有關(guān)系？（3）從被詢問的名事先知道“蘄春四寶”的顧客中隨機(jī)選取2名顧客，求抽到的女顧客人數(shù)的分布列及其數(shù)學(xué)期望.附：，.0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】（1），.（2）在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為購(gòu)買“蘄春四寶”和事先知道“蘄春四

16、寶”有關(guān)系.（3）見解析，【解析】【分析】（1）直接完善列聯(lián)表得到答案.（2）計(jì)算，得到答案.（3）的可能取值為0，1，2，計(jì)算概率得到分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】（1）由列聯(lián)表能求出，.（2）由計(jì)算可得，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為購(gòu)買“蘄春四寶”和事先知道“蘄春四寶”有關(guān)系.（3）的可能取值為0，1，2.；，的分布列為：012的數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】本題考查了列聯(lián)表，獨(dú)立性檢驗(yàn)，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.19.已知四棱錐中，底面為等腰梯形，丄底面.（1）證明：平面平面；（2）過的平面交于點(diǎn)，若平面把四棱錐分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值

17、.【答案】（1）見證明；（2）【解析】【分析】（1）先證明等腰梯形中，然后證明，即可得到丄平面，從而可證明平面丄平面；（2）由，可得到，列出式子可求出，然后建立如圖的空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量為，平面的法向量為，由可得到答案【詳解】（1）證明：在等腰梯形，易得 在中，則有，故，又平面，平面，即平面，故平面丄平面.（2）在梯形中，設(shè)， ，而,即，.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖的空間坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，由得，取，得，同理可求得平面的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了兩平面垂直的判定，考查了利用空間向量的方法求

18、二面角，考查了棱錐的體積的計(jì)算，考查了空間想象能力及計(jì)算能力，屬于中檔題20.已知橢圓，點(diǎn)和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率.（1）求橢圓的方程；（2）若過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且在直線上存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）； （2）或.【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入橢圓方程，并結(jié)合，可以求出，然后將點(diǎn)代入橢圓方程即可求出，即可得到答案；（2）將直線與橢圓聯(lián)立，可以得到兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，設(shè)，則，由題意，即，從而可以建立等式關(guān)系：，可以整理為關(guān)于的一元二次方程，令即可求出的取值范圍【詳解】（1）由題設(shè)知，.由點(diǎn)在橢圓上，得.解得，又點(diǎn)在橢圓上，.即，解得所以橢圓

19、的方程是.（2）設(shè)、，由得，設(shè)，則依題意，得即有解化簡(jiǎn)得，或【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的綜合問題，涉及橢圓方程的求法，橢圓的離心率，一元二次方程根的特點(diǎn)，直角三角形的幾何關(guān)系的利用，屬于難題21.已知函數(shù)（1）若，證明：；（2）若只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】（1）將代入，可得等價(jià)于，即，令，求出，可得的最小值，可得證；（2）分，三種情況討論，分別對(duì)求導(dǎo)，其中又分若三種情況，利用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理可得a的取值范圍.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即；設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增故為的最小值，而，故，即（2），設(shè)函數(shù) ，則；（i）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，又，取b滿足且，則，故在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，時(shí)，由于，所以是的唯一極值點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；（iii）當(dāng)時(shí)，若時(shí)，；若時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增故為的最小值，若時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)，所以時(shí)，因此在上單調(diào)遞增，故不存在極值；若時(shí)，由于，即，所以，因此在上單調(diào)遞增，故不存在極值；若時(shí)，即又，且，而由（1）知，所以，取c滿足，則故在有唯一一個(gè)零點(diǎn)，在有唯一一個(gè)零點(diǎn)；且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由于，故在處取得極小值，在處取得極大值，即在上有兩個(gè)極值點(diǎn)綜上，只有一個(gè)極值點(diǎn)