【KS5U解析】吉林省長春市2020屆高三質(zhì)量監(jiān)測（三）（三?？荚嚕?shù)學(xué)（理）試題 Word版含解析

1、長春市2020屆高三質(zhì)量監(jiān)測（三）理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合， ，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)集合的交運算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】故可得故選：d.【點睛】本題考查集合的交運算，屬基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)的實部為3，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算化簡復(fù)數(shù)，由其實部即可求得參數(shù).【詳解】，.故選：a.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)乘法運算，實部和虛部的辨識，屬基礎(chǔ)題.3.已知向量，若向量與向量共線，則實數(shù)（ ）a. b

2、. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)向量的加法運算，求得的坐標(biāo)，由向量共線的坐標(biāo)公式，即可容易求得結(jié)果.【詳解】因為，又與向量共線故可得，解得.故選：b.【點睛】本題考查向量共線的坐標(biāo)公式，涉及向量的坐標(biāo)運算，屬基礎(chǔ)題.4.已知函數(shù)的圖象為c，為了得到關(guān)于原點對稱的圖象，只要把c上所有的點（ ）a. 向左平移個單位b. 向左平移個單位c. 向右平移個單位d. 向右平移個單位【答案】a【解析】【分析】利用輔助角公式化簡，再根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性，即可求得結(jié)果.【詳解】由為奇函數(shù)，得當(dāng)時，.故為得到關(guān)于原點對稱的圖像，只要把向左平移個單位即可.故選：a【點睛】本題考查輔助角公式，函數(shù)圖像的

3、平移，以及余弦型函數(shù)的奇偶性，屬綜合中檔題.5.函數(shù)的圖象大致為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)解析式求得函數(shù)奇偶性，以及即可容易求得結(jié)果.【詳解】因為的定義域為，且，故為偶函數(shù)，排除c，d，驗算特值，排除a,故選：b【點睛】本題考查函數(shù)圖像的辨識，涉及函數(shù)奇偶性的判斷和指數(shù)運算，屬基礎(chǔ)題.6.在的展開式中，一定含有（ ）a. 常數(shù)項b. 項c. 項d. 項【答案】c【解析】【分析】利用二項式的通項公式，即可容易求得結(jié)果.【詳解】由通項公式代入驗證，當(dāng)時，可得其含有項；當(dāng)，可得其含有項；當(dāng)時，可得其含有項；故選：c.【點睛】本題考查二項式的通項公式，屬基礎(chǔ)題.7.已

4、知直線和平面，有如下四個命題：若，則；若，則；若，則；若，則.其中真命題的個數(shù)是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)面面垂直，線面垂直以及線面平行的判定，即可容易判斷.【詳解】若，則一定有，故正確；若，則，又因為，故可得，故正確；若，故可得/，又因為，故可得，故正確；若，則或，故錯誤；綜上所述，正確的有.故選：c【點睛】本題考查線面垂直，面面垂直的判定以及線面平行的判定，屬綜合基礎(chǔ)題.8.風(fēng)雨橋是侗族最具特色的建筑之一，風(fēng)雨橋由橋、塔、亭組成，其塔俯視圖通常是正方形、正六邊形和正八邊形.下圖是風(fēng)雨橋中塔的俯視圖.該塔共5層，若，則五層正六邊形的周長和為（ ）a. b.

5、c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造等差數(shù)列，即可由等差數(shù)列的前項和進行求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)正六邊形的中心為，容易知均為等邊三角形，故長度構(gòu)成依次為的等差數(shù)列周長總和為，故選：c【點睛】本題考查等差數(shù)列的前項和的求解，屬基礎(chǔ)題.9.已知圓的圓心在軸上，且與圓的公共弦所在直線的方程為，則圓的方程為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)圓心的連線與公共弦所在直線垂直，即可求得圓心；再結(jié)合弦長公式，即可容易求得半徑.【詳解】兩圓圓心連線與公共弦垂直，不妨設(shè)所求圓心的坐標(biāo)為，又圓的圓心為，半徑為1，故，解得.故所求圓心為.直線截得所成弦長，圓心到直線的距離為

6、，所以直線截得所求圓的弦長，解得.故圓心坐標(biāo)為，半徑為，故選：c.【點睛】本題考查圓方程的求解，涉及兩圓位置關(guān)系，屬綜合基礎(chǔ)題.10.某項針對我國義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的研究中，列出各個學(xué)段每個主題所包含的條目數(shù)（如下表），下圖是統(tǒng)計表的條目數(shù)轉(zhuǎn)化為百分比，按各學(xué)段繪制的等高條形圖，由圖表分析得出以下四個結(jié)論，其中錯誤的是（ ）a. 除了“綜合實踐”外，其它三個領(lǐng)域的條目數(shù)都隨著學(xué)段的升高而增加，尤其“圖象幾何” 在第三學(xué)段增加較多，約是第二學(xué)段的倍.b. 所有主題中，三個學(xué)段的總和“圖形幾何”條目數(shù)最多，占50%，綜合實踐最少，約占4% .c. 第一、二學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”條目數(shù)最多，第三學(xué)段“圖

7、形幾何”條目數(shù)最多.d. “數(shù)與代數(shù)”條目數(shù)雖然隨著學(xué)段的增長而增長，而其百分比卻一直在減少.“圖形幾何”條目數(shù)，百分比都隨學(xué)段的增長而增長.【答案】d【解析】【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖表，結(jié)合每個選項即可容易求得結(jié)果.【詳解】結(jié)合統(tǒng)計圖表可知，除了“綜合實踐”外，其它三個領(lǐng)域的條目數(shù)都隨著學(xué)段的升高而增加，尤其“圖象幾何” 在第三學(xué)段增加較多，約是第二學(xué)段倍，故正確；所有主題中，三個學(xué)段的總和“圖形幾何”條目數(shù)最多，占50%，綜合實踐最少，約占4% ，故正確；第一、二學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”條目數(shù)最多，第三學(xué)段“圖形幾何”條目數(shù)最多，故正確；對中，顯然“數(shù)與代數(shù)”條目數(shù)雖然隨著學(xué)段的增長而增長，而其百分比卻

8、一直在減少；而“圖形幾何”條目數(shù)，百分比隨著學(xué)段數(shù)先減后增，故錯誤；故選：d【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表的辨識和應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.11.已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和滿足，設(shè)，為數(shù)列的前項和，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用之間的關(guān)系，即可容易求得，則得解，再用并項求和法即可求得結(jié)果.【詳解】由得，作差可得：，又得，則所以，所以.故選：d.【點睛】本題考查利用的關(guān)系求數(shù)列的通項公式，涉及等差數(shù)列前項和的求解，屬綜合中檔題.12.設(shè)橢圓的左右焦點為，焦距為，過點的直線與橢圓交于點，若，且，則橢圓的離心率為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)題意，

9、求得，結(jié)合余弦定理，即可求得的齊次式，據(jù)此即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：由得， ，由即，整理得，則，得故選：c.【點睛】本題考查橢圓離心率的求解，涉及橢圓的定義，屬中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分.13.一名信息員維護甲乙兩公司的5g網(wǎng)絡(luò)，一天內(nèi)甲公司需要維護和乙公司需要維護相互獨立，它們需要維護的概率分別為0.4和0.3，則至少有一個公司不需要維護的概率為_【答案】0.88【解析】【分析】根據(jù)相互獨立事件概率計算公式和對立事件的概率計算公式直接求解即可【詳解】至少有一個公司不需要維護的對立事件是兩公司都需要維護，所以至少有一個公司不需要維護的概率為，故答案為0.88【

10、點睛】本題主要考查概率的求法以及相互獨立事件概率計算公式和對立事件的概率計算公式的應(yīng)用14.等差數(shù)列中，公差，且，則實數(shù)的最大值為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量，用表示出，分離參數(shù)求得函數(shù)的值域，即可容易求得結(jié)果.【詳解】由得，整理得，又，故.故實數(shù)的最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的求解，涉及分式函數(shù)值域的求解，屬綜合中檔題.15.若是函數(shù)的兩個極值點，則_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】分析】根據(jù)極值點的定義，即可由方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，即可求得以及，再結(jié)合對數(shù)運算即可容易求得結(jié)果.【詳解】，.故答案為：；.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函

11、數(shù)的極值點，涉及對數(shù)運算，屬綜合基礎(chǔ)題.16.現(xiàn)有一批大小不同的球體原材料，某工廠要加工出一個四棱錐零件，要求零件底面為正方形， ，側(cè)面為等邊三角形，線段的中點為，若.則所需球體原材料的最小體積為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，討論球體體積最小時的狀態(tài)，求得此時的球半徑，則問題得解.【詳解】根據(jù)題意，取中點為，連接，取中點為，連接，如下所示：因為為邊長為2的等邊三角形，故可得，又因為，滿足勾股定理，故可得，則為直角三角形，則.若要滿足題意，只需滿足abcd在球大圓上時，點p在球內(nèi)部即可，此時球半徑最小為 ，體積為.故答案為：.【點睛】本題考查棱錐外接球問題，涉及棱錐體積的求解，屬綜合中檔

12、題.三、解答題：共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第 1721 題為必考 題，每個試題考生都必須作答.第 2223 題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共 60分.17.筆、墨、紙、硯是中國獨有的文書工具，即“文房四寶”.筆、墨、紙、硯之名，起源于南北朝時期，其中的“紙”指的是宣紙，宣紙“始于唐代，產(chǎn)于涇縣”，而唐代涇縣隸屬于宣州府管轄，故因地而得名“宣紙”，宣紙按質(zhì)量等級，可分為正牌和副牌（優(yōu)等品和合格品），某公司年產(chǎn)宣紙10000刀（每刀100張），公司按照某種質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)值給宣紙確定質(zhì)量等級，如下表所示：公式在所生產(chǎn)的宣紙中隨機抽取了一刀（100張）進行檢驗，得到

13、頻率分布直方圖如圖所示，已知每張正牌紙的利潤是10元，副牌紙的利潤是5元，廢品虧損10元.（1）估計該公式生產(chǎn)宣紙的年利潤（單位：萬元）；（2）該公司預(yù)備購買一種售價為100萬元的機器改進生產(chǎn)工藝，這種機器的使用壽命是一年，只能提高宣紙的質(zhì)量，不影響產(chǎn)量，這種機器生產(chǎn)的宣紙的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)值的頻率，如下表所示：其中為改進工藝前質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)值的平均值，改進工藝后，每張正牌和副牌宣紙的利潤都下降2元，請判斷該公司是否應(yīng)該購買這種機器，并說明理由.【答案】（1）400萬元；（2）應(yīng)該購買，理由見解析【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖求得張宣紙中各類宣紙的數(shù)量，結(jié)合每種宣紙的盈虧即可容易求得結(jié)果；（2）由頻

14、率分布直方圖求得，即可求得各區(qū)間的頻率分布，據(jù)此即可求得結(jié)果.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，一刀（100張）宣紙中有正牌宣紙100×0.1×4=40張，有副牌宣紙100×0.05×4×2=40張，有廢品100×0.025×4×2=20張，所以該公司一刀宣紙的年利潤為40×10+40×5+20×（-10）=400元，所以估計該公式生產(chǎn)宣紙的年利潤為400萬元; (2) 由頻率分布直方圖可得這種機器生產(chǎn)的宣紙質(zhì)量指標(biāo)的頻率如下表所示：則一刀宣紙中正牌的張數(shù)為100×0.68

15、26=68.26張，副牌的張數(shù)約為100×（0.95440.6826）=27.18張，廢品的張數(shù)約為100×（10.9544）=4.56張，估計一刀宣紙的利潤為：68.26×（102）+27.18×（52）+4.56×9（10）=582.02，因此改進工藝后生產(chǎn)宣紙的利潤為582.02100=482.02元，因482.02>400，所以該公式應(yīng)該購買這種設(shè)備.【點睛】本題考查由頻率分布直方圖計算概率以及平均數(shù)，涉及由樣本估計總體，屬綜合基礎(chǔ)題.18.在中， 角所對的邊分別為，且 .（1）求證：； （2）求的最大值.【答案】（1）證明見解析

16、；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，結(jié)合，即可容易求得；（2）根據(jù)（1）中所求得到之間關(guān)系，再將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，利用均值不等式求得函數(shù)的最值，則的最值得解.【詳解】(1)在中，由及正弦定理，得則，. （2）由（1）知，又因為，故可得，由均值不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立因此 ，即的最大值為 .【點睛】本題考查利用正弦定理解三角形，涉及均值不等式求和的最小值，以及正切的差角公式，屬綜合中檔題.19.四棱錐中，底面為直角梯形，為的中點，平面平面，為上一點，平面.（1）求證：平面平面； （2）若與底面所成的角為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1

17、）通過線面平行，推證出點的位置，再結(jié)合面面垂直，推證出平面，即可由線面垂直推證面面垂直；（2）以點為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，由線面角求得長度，進而再由向量法求得二面角的大小即可.【詳解】（1）連交于，連，如下圖所示：因為平面，平面，平面平面，所以，又為中點，所以為中點，由，為中點，且，則為平行四邊形，又平面，平面平面，平面平面，故平面，又平面，所以平面平面.即證.（2）連接，為ad的中點，又平面，平面平面，平面平面，底面，又，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，取平面的法向量，又，設(shè)平面ebf的法向量所以即可得令設(shè)二面角的平面角為，又為鈍角 ，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查由線面垂直

18、推證面面垂直，由線面角求線段長，以及用向量法求二面角的大小，屬綜合中檔題.20.已知點，點在軸負半軸上，以為邊做菱形，且菱形對角線的交點在軸上，設(shè)點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程； （2）過點，其中，作曲線的切線，設(shè)切點為，求面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求得菱形中心的坐標(biāo)，進而由中心為中點，求得點坐標(biāo)的參數(shù)形式，即可消參求得點的軌跡方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求得點處的切線方程，從而求得點坐標(biāo)，據(jù)此求得之間的關(guān)系，再結(jié)合，即可表示出面積，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域即可.【詳解】（1）設(shè)，菱形的中心設(shè)為q點，且在軸上，由題意可得則又

19、為的中點，因此點，即點的軌跡為（為參數(shù)且）化為標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點，則點的切線方程為.可得因此由，可得又則即因此令，則，故為單調(diào)增函數(shù)，故可知當(dāng)時，為關(guān)于的增函數(shù)，又當(dāng)時，；當(dāng)時，.因此的取值范圍是.【點睛】本題考查拋物線軌跡方程的求解，以及拋物線中三角形面積的范圍問題，涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬綜合中檔題.21.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性； （2）是否存在正實數(shù)，使與的圖象有唯一一條公切線，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.【答案】（1）當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；（2）存在，【解析】【分析】（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)，對參

20、數(shù)進行分類討論，即可容易求得函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在任意一點處的切線方程，求得方程組，根據(jù)方程有唯一解，利用導(dǎo)數(shù)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可求得.【詳解】(1)，當(dāng)時，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，由得，由得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增.(2)函數(shù)在點處的切線方程為，即；函數(shù)在點處的切線方程為，即由與的圖象有唯一一條公切線，由得代入消去，整理得 則此關(guān)于的方程有唯一解，令，令，由得；由得所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，（i）當(dāng)時，二次函數(shù)在上顯然有一個零點，時，由方程可得而所以則所以二次函數(shù)在上也有一個零點，不合題意.綜上，.所以存在正實數(shù)，使與的圖象有唯一一條公切線.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)對含參函數(shù)單調(diào)性進行討論，利用導(dǎo)數(shù)由方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍，涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬壓軸題.（二）選考題：共10分，請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做則按所做的第一題計分.22.以直角坐標(biāo)系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，