醫(yī)用物理學：靜電場6(15)1

1、靜電場靜電場REN R2015-4-13電勢的計算電勢的計算方法方法（2） 已知電荷分布已知電荷分布 Qrqu04d （1） 已知場強分布已知場強分布 0dpplEu典型場電典型場電勢的計算勢的計算 面對稱分布的帶電面體面對稱分布的帶電面體點電荷點電荷球對稱分布的帶電體球對稱分布的帶電體軸對稱分布的帶電體軸對稱分布的帶電體帶電體間的相互作用電勢能帶電體間的相互作用電勢能qUwwdd電勢與電場強度的微分關系電勢與電場強度的微分關系)grad()(ukzujyuixuE靜電場與物質的相互作用靜電場與物質的相互作用 靜電場中的物質按電性質分為靜電場中的物質按電性質分為: : 導體導體電解質（絕緣體）

2、電解質（絕緣體）半導體半導體超導體超導體EndEndEnd三、電勢計算的兩類問題三、電勢計算的兩類問題 1. 已知場強，計算電勢已知場強，計算電勢 PPuE dr 從場點從場點 P0P到電勢零點到電勢零點 選取任意方便的路徑進行積分選取任意方便的路徑進行積分 例例1： 求半徑為求半徑為 R、均勻帶電、均勻帶電 q 的細圓環(huán)軸線上任一點的電勢？的細圓環(huán)軸線上任一點的電勢？ 解：解： 已知軸線上任一點的場強已知軸線上任一點的場強 xRqPo3/22204qxEiRxdxxRqxuP/P232204212204/)xR(q 討論：討論： 當當 0 xRqUO04當當 Rx xqUP04E = 0U

3、0取無窮遠為電勢零點，則取無窮遠為電勢零點，則 EndEndEnd如圖所示如圖所示, ,計算均勻帶電球面的電勢分布計算均勻帶電球面的電勢分布 PlEud200dd4RrRQlrr均勻帶電球面電場的分布為均勻帶電球面電場的分布為0204 rrQERrP解：解：Rr RQ04Rr rrQurd420rQ04r球面內是一球面內是一等勢空間等勢空間與電量集中在與電量集中在球心的點電荷球心的點電荷的電勢分布同的電勢分布同0 ERr電勢的分布為電勢的分布為例例o R ru電勢分布曲線電勢分布曲線rERo電場分布曲線電場分布曲線RQoEndEndEnd求求電荷線密度為電荷線密度為 的無限長帶電直線空間中的電

4、勢分布的無限長帶電直線空間中的電勢分布解解 取無窮遠為勢能零點取無窮遠為勢能零點例例xE02 PplEudxxpxd 20)ln(ln20px取取a點為電勢零點點為電勢零點,a點距離直線為點距離直線為xa)()(dapplEuxxapxxd 20)ln(ln20paxx 0ln 1aax,x取場中任意一點場中任意一點P的電勢表達式最簡捷的電勢表達式最簡捷xupln20XO P離帶電直線的距離離帶電直線的距離xp axaEndEndEnd)(220RrrRE例例 半徑為半徑為R的的“無限長無限長”圓柱體內圓柱體內 均均 勻勻 帶電，電荷體密度為帶電，電荷體密度為 。 試求它所產生的電場和電勢試求

5、它所產生的電場和電勢.其電勢分布為其電勢分布為(取軸線為零電勢點取軸線為零電勢點)02004d2rrrruRrRrrrrRu0020d2d2rRRRln240202Rr Rr Rr)(20RrrE解解)(202RrhrrhEEndEndEnd2 利用電勢疊加法，計算電勢利用電勢疊加法，計算電勢 QQPPrdqduu04iiPiPrquu04 點電荷系統(tǒng)點電荷系統(tǒng) 電荷連續(xù)分布電荷連續(xù)分布例例 一均勻帶電圓盤，求軸線上任一點一均勻帶電圓盤，求軸線上任一點 P 的電勢。的電勢。qdlxRrPodrq解：解： 212204/P)xR(qu一帶電圓環(huán)在軸線上所產生的電勢一帶電圓環(huán)在軸線上所產生的電勢2

6、122042/P)xr(rdrdu一圓環(huán)帶在軸線上產生的電勢一圓環(huán)帶在軸線上產生的電勢 利用電勢疊加原理利用電勢疊加原理EndEndEndRr/P)xr(rdru2122042xxR2202 討論討論： 當當 0 x020RuO當當 Rx xquP04點電荷電勢點電荷電勢例例兩球面同心放置，半徑分別為兩球面同心放置，半徑分別為所帶電量為所帶電量為1R2R，求其電勢分布？，求其電勢分布？1q2qo1R2R1q2q解：解： 兩球面形成三個區(qū)域。兩球面形成三個區(qū)域。1Rr 1Rr 2Rr 2Rr 球面球面1： rq0141014Rq1u球面球面2： rq0242024Rq2uEndEndEnd兩同心

7、帶電球面電場的電勢兩同心帶電球面電場的電勢電勢疊加原理電勢疊加原理 21uuurq014rq024rq0142024Rq1014Rq2024Rq2Rr 1Rr 21RrR http:/ 唐玉海唐玉海理學院理學院 EndEndEnd思考題：思考題：一帶電系統(tǒng)，如圖一帶電系統(tǒng)，如圖，qaPPu240aq220a答案：答案： ？ 問題實質問題實質 電勢零點的選取要統(tǒng)一電勢零點的選取要統(tǒng)一求求 P 點電勢？點電勢？答：不對。分別選擇了兩個不同電勢零點計算。任一點x處的場強由點電荷q及帶電大平板的場強疊加，即200142xqEx222001()42aaaPxaaPqVE dlE dxdxx00144qa

8、aoxEndEndEnd總結：總結：電勢電勢是描述電場本身特性的物理量，它是一個是描述電場本身特性的物理量，它是一個標量標量。是從是從功功的角度描述電場。的角度描述電場。電場強度電場強度也是描述電場本身特性的物理量，它是一個也是描述電場本身特性的物理量，它是一個矢量矢量。是從是從力力的角度描述電場。的角度描述電場。電勢、電場強度的積分關系電勢、電場強度的積分關系:電勢、電場強度的微分關系電勢、電場強度的微分關系:0daalEu)grad()(ukzujyuixuEEndEndEnd計算電場強度的幾種方法計算電場強度的幾種方法(1)(1)電場疊加原理電場疊加原理(2)(2)高斯定理高斯定理(3)

9、(3)電勢梯度電勢梯度熟熟練練掌掌握握計算電勢的幾種方法計算電勢的幾種方法(2)(2)電勢疊加原理電勢疊加原理(1)(1)電勢與電場強電勢與電場強 度的積分關系度的積分關系熟熟練練掌掌握握iiiiirrqEE3041iisqSdE內01uEiiiiirQuu041)0(0aaaldEqWu(4)(4)力力(5)(5)能能EndEndEnd例例1： 計算均勻帶電圓盤軸線上任一點的場強計算均勻帶電圓盤軸線上任一點的場強xPxxRu2202x)x(uEx解：解： 已知：已知：)xRx(22012qdlRoE例例2： 計算一均勻帶電直線計算一均勻帶電直線端點垂直面端點垂直面上一點的場強上一點的場強yx

10、PoLy解：解： 取一電荷元取一電荷元dqdqLxydx02204LPduu0yyLL220ln42204aLaLyuEy8.7 靜電場中的導體靜電場中的導體 電容電容一一. .導體的靜電平衡導體的靜電平衡 (electrostatic equilibrium)0E0EE 當導體內部和表面無自由當導體內部和表面無自由電荷的定向運動時，導體電荷的定向運動時，導體處于靜電平衡狀態(tài)。處于靜電平衡狀態(tài)。1. 靜電平衡靜電平衡2. 導體靜電平衡的條件導體靜電平衡的條件電場強度電場強度0內E表面E 導體表面導體表面電勢電勢0d babalEUU靜電平衡時，導體上各點電勢相等，靜電平衡時，導體上各點電勢相等

11、，即導體是等勢體，表面是等勢面。即導體是等勢體，表面是等勢面。二二. .靜電平衡時，導體的電特性靜電平衡時，導體的電特性1. 導體中的凈電荷只能分布在導體的表面導體中的凈電荷只能分布在導體的表面由靜電平衡條件和靜電場的性質，可得出導體上的電荷分布。由靜電平衡條件和靜電場的性質，可得出導體上的電荷分布。 如果有空腔如果有空腔, ,且空腔中無電荷且空腔中無電荷, , 如果有空腔如果有空腔, ,且空腔中有電荷且空腔中有電荷, ,則則電荷只能分布在外表面電荷只能分布在外表面則則在內外表面都有電荷分布在內外表面都有電荷分布0內內ESqqqSS 2.導體表面附近的電場強度與導體表面電荷密度成正比導體表面附

12、近的電場強度與導體表面電荷密度成正比 P 是導體外緊靠導體表面的一點是導體外緊靠導體表面的一點,相應的電相應的電場強度為場強度為),(zyx ),(zyxE表設導體表面電荷面密度為設導體表面電荷面密度為+PnE導體表面導體表面PSn+E + En0 內ES SSEd SSSSESEdddd表0d S 0 表EnE0 表根據(jù)高斯定理根據(jù)高斯定理: :3. 導體表面電荷密度與表面曲率有關導體表面電荷密度與表面曲率有關1 S2 )(Rk由實驗可得以下由實驗可得以下定性的結論：定性的結論： 1R2R11 ,q22 ,q10114Rqu 20224Rqu 2222121144RRRR 1221RR R1

13、 4. 靜電屏蔽靜電屏蔽(腔內、腔外的場互不影響腔內、腔外的場互不影響)腔內腔內腔外腔外j內表面內表面外表面外表面導體導體在表面凸出的尖銳部分在表面凸出的尖銳部分( (曲率是正值且較大曲率是正值且較大) )電荷面密度較大，電荷面密度較大，在比較平坦部在比較平坦部分分( (曲率較小曲率較小) )電荷面密度較小電荷面密度較小，在表面凹進部分帶電面密度最小。，在表面凹進部分帶電面密度最小。導體表面的電荷面密度與曲率半徑成反比。導體表面的電荷面密度與曲率半徑成反比。但一般情況較復雜但一般情況較復雜 思考題思考題確定確定a,b,c 三點三點cba電荷面密度的關系電荷面密度的關系bca尖端放電尖端放電腔外

14、帶電體腔外帶電體EndEndEnd靜電屏蔽靜電屏蔽( (腔內、腔外的場互不影響腔內、腔外的場互不影響) )靜電屏蔽靜電屏蔽:(1) 空腔導體不論接地與否，其內部電場不受空腔外電荷空腔導體不論接地與否，其內部電場不受空腔外電荷 的影響。空腔內的電場是由空腔內電荷及內壁上電荷的影響?？涨粌鹊碾妶鍪怯煽涨粌入姾杉皟缺谏想姾?決定。決定。腔內腔內腔外腔外內表面內表面外表面外表面導體導體EndEndEnd(2) 接地的空腔導體外部的電場不受空腔內電荷的影響，接地的空腔導體外部的電場不受空腔內電荷的影響， 而只由空腔導體外壁及外部的電荷決定。而只由空腔導體外壁及外部的電荷決定。 EndEndEndAAq討

15、論題討論題 PEBBq1.帶電導體帶電導體A附近附近0 EP點點移近帶電體移近帶電體B問問:P點點E是否改變是否改變?0 E是否仍成立是否仍成立?改變改變! !成立！成立！不過不過 E 隨隨 變變EndEndEnd21，P021022202010211212解解: : 設金屬板面電荷密度設金屬板面電荷密度1由電荷守恒由電荷守恒導體體內任一點導體體內任一點P P場強為零場強為零2E0E2E10210EEExiEiEiE022011002;2;2 其中其中例例 在無限大帶電平面的電場中在無限大帶電平面的電場中, ,平行放置平行放置 一無限大金屬平板一無限大金屬平板 , ,設帶電平面的面密設帶電平面

16、的面密 度為度為 . .求：金屬板兩面電荷面密度求：金屬板兩面電荷面密度. .EndEndEnd例例 金屬球金屬球A A與金屬球殼與金屬球殼B B同心放置同心放置. . 已知：球已知：球 A A 半徑為半徑為 R R0 0帶電為帶電為 q ,求求:(1):(1)電量分布電量分布ABoqQ(3)(3)球球A A和殼和殼B B的電勢的電勢R0R1R2 球球 A A: :根據(jù)對稱性根據(jù)對稱性, ,電量電量均勻分布在球面上均勻分布在球面上, ,電量為電量為q q . . 根據(jù)電荷守恒根據(jù)電荷守恒, ,球殼外表面電量為球殼外表面電量為: :Q Q + +q q ( (均均勻分布勻分布) )結論結論: :

17、相當于在真空中的三個均勻帶電的球面相當于在真空中的三個均勻帶電的球面-qQ+q金屬殼金屬殼 B B 內外半徑分別為內外半徑分別為R R1 1 和和 R R2,2,帶電為帶電為 Q .q 殼殼 B:B:根據(jù)高斯定律根據(jù)高斯定律, ,解：解：(1)(1)電量分布電量分布: :(2)(2)電場分布電場分布球殼內表面電量為球殼內表面電量為: : - -q q ( (均均勻分布勻分布) )EndEndEnd(3)利用疊加原理利用疊加原理結論結論: :相當于在真空中的三個均勻帶電的球面相當于在真空中的三個均勻帶電的球面ABoqR0R1R2-qQ+qq(2)(2)電場分布電場分布)(000RrE)(4110

18、301RrRrrqE)(0212RrRE)(412303rRrrqQE( (無窮遠為電勢零點無窮遠為電勢零點) )201000444RqQRqRquA204RqQuB如圖所示，導體球附近有一點電荷如圖所示，導體球附近有一點電荷q 。解解接地接地 即即lq040qlRQ0UqRol由導體是個等勢體由導體是個等勢體O點的電勢為點的電勢為0, 則則接地后導體上感應電荷的電量接地后導體上感應電荷的電量設感應電量為設感應電量為Q Qq0？例例求求思考思考a導體上的感應電荷在導體上的感應電荷在 a 點點產生產生的電勢的電勢如何如何?04400lqRQQdQdR04已知導體球已知導體球A帶電量為帶電量為Q

19、，導體球，導體球B帶電量為帶電量為q (1) 將將A接地后再斷開，電荷和電勢的分布；接地后再斷開，電荷和電勢的分布；解解0AUQ0QA與地斷開后與地斷開后, qQArqUB04ArR1R2B-q電荷守恒電荷守恒(2) 再再將將B接地，電荷和電勢的分布。接地，電荷和電勢的分布。A接地時，內表面電荷為接地時，內表面電荷為-q外表面電荷設為外表面電荷設為Q設設B上的電量為上的電量為q0內EqQ內根據(jù)孤立導體電荷守恒根據(jù)孤立導體電荷守恒例例求求(1)(2)qQQ外內qqQ外rqUB04021211RRrRrRqrRq204RqqUAB球圓心處的電勢球圓心處的電勢Qqq104R104Rq204Rqq總結

20、總結(有導體存在時靜電場的計算方法有導體存在時靜電場的計算方法) 1. 靜電平衡的條件和性質靜電平衡的條件和性質: 2. 電荷守恒定律電荷守恒定律,高斯定理高斯定理3. 確定電荷分布確定電荷分布,然后求解然后求解0內EcU導體q三三. 導體的電容導體的電容(capacity) 電容器電容器(capacitor)1. 孤立導體的電容孤立導體的電容q所謂孤立導體是指在導體周圍很大所謂孤立導體是指在導體周圍很大的范圍內沒有其它物體存在的導體的范圍內沒有其它物體存在的導體 kqq kEE kuu uQ CuQ 孤立導體的電容孤立導體的電容uQC RQuo孤立導體球的電容孤立導體球的電容RQu04RC0

21、4單位單位: F(Farad )F101 . 1 , m110CRpF10nF10uF10F11296P) ,(uE) ,(kukE要使導體電容器得以應要使導體電容器得以應用，需解決兩個問題用，需解決兩個問題（1）周圍有其它物體存在時，電容維持不變）周圍有其它物體存在時，電容維持不變（2）提高電容量）提高電容量ABQ 把導體把導體B 和殼內導體和殼內導體A 構成的一對導體稱為構成的一對導體稱為電容器電容器uQC 定義定義BAuuu 電容器的電容只與兩導體的幾何因素及導體電容器的電容只與兩導體的幾何因素及導體間的介質有關，與電容器是否帶電無關。間的介質有關，與電容器是否帶電無關。BuAuuCQ

22、2. 電容器的電容電容器的電容幾種典型形狀的實際電容器幾種典型形狀的實際電容器球形球形柱形柱形平行板平行板EndEndEnd靜電場靜電場REN R2013-5-14設設 QEuuQC 3.電容的計算電容的計算+ Q- Q球形電容器球形電容器R1+Q-Qu024 QEr R2204rQE )11(4d210RRQlEuba 122104RRRRuQC abEndEndEnd 電容器電容的計算電容器電容的計算 QEuuQC電容器電容的大小取決于極板的形狀、大小、相對位置以及電容器電容的大小取決于極板的形狀、大小、相對位置以及極板間介質。極板間介質。d uS+Q-QdSQEdlEuba0ddSuQC

23、0(1) 平行板電容器平行板電容器dSC0 00SQEEndEndEnd(2) 球形電容器球形電容器R1+Q-Qu024QErR2204rQE)11(4d210RRQlEuba 122104RRRRuQCab(3) 柱形電容器柱形電容器 uR1R2lh)(2210RrRlQhrhE)(2210RrRrlQEEndEndEnd靜電場靜電場Ren R2013-5-13P333340設有兩根半徑都是設有兩根半徑都是a 的平行長直導線，它們軸線之間的距離為的平行長直導線，它們軸線之間的距離為d，且，且d a .解解ABPX0EBAEEE )11(20 xdx adaxdxxd)11(20 adaBAE

24、lEuxddd2a2aadln0 )/ln(0aduCaad ln0 例例求求 單位長度平行直導線間的電容。單位長度平行直導線間的電容。2.5厘米厘米高壓電容器高壓電容器(20kV 521 F)(提高功率因數(shù)提高功率因數(shù))聚丙烯電容器聚丙烯電容器(單相電機起動和連續(xù)運轉單相電機起動和連續(xù)運轉)陶瓷電容器陶瓷電容器(20000V1000pF)滌綸電容滌綸電容(250V0.47F)電解電容器電解電容器(160V470 F)12厘米厘米2.5厘米厘米70厘米厘米平行板電容器平行板電容器d uS+Q-QdSuQC0柱形電容器柱形電容器 uR1R2l+Q-Qh122104RRRRuQC8.8 電場能量電

25、場能量一一. 帶電體間的相互作用靜電能帶電體間的相互作用靜電能兩個點電荷間的相互作用電勢能。兩個點電荷間的相互作用電勢能。1q2q12r12d12rlEqW互121201220214d4rrqqrrqq三個點電荷間的相互作用電勢能。三個點電荷間的相互作用電勢能。1q2q3q1a2a3a12r13r23r移去移去 3q 3d)(2133alEEqA 33dd2313aalEqlEq130134(rqq )42302rq 再移去再移去 2q 2d122alEqA120124rqq 23AAW 互130134(rqq )42302rq 120124rqq quWd d 電荷元與連續(xù)帶電體電荷元與連續(xù)

26、帶電體的相互作用電勢能的相互作用電勢能ef2q8.8 電場能量電場能量一一. 帶電體間的相互作用靜電能帶電體間的相互作用靜電能兩個點電荷間的兩個點電荷間的相互作用電勢能相互作用電勢能1q12r2q互Wef12drelf12d12rlEq12d12rlEq12d42021rrrqq120124rqq三個點電荷間的三個點電荷間的相互作用電勢能相互作用電勢能1q2q3q1a2a3a12r13r23r移去移去 3q3d)(2133alEEqA33dd2313aalEqlEq130134(rqq)42302rq再移去再移去 2q2d122alEqA120124rqq22uq11uq)(212211uqu

27、q23AAW互130134(rqq)42302rq120124rqq1q2q3q1a2a3a12r13r23r12102(4rqq)323rq130134rqq)(21112233uququqn個電荷間的相個電荷間的相互作用電勢能互作用電勢能niiiuqW121互其中，其中， 是除電荷是除電荷 之外所有其余電荷在電之外所有其余電荷在電荷荷 處的電勢之和。處的電勢之和。 iuiqiq求一半徑為求一半徑為R 帶電量為帶電量為Q 的均勻帶電球體的靜電的均勻帶電球體的靜電(勢勢)能。能。例例rdqdrRq方法：將球體分為很多層，并認為電荷是一層層地由外向內逐漸剝去。方法：將球體分為很多層，并認為電荷是一層層地由外向內逐漸剝去。RQ半徑為半徑為r ( r R)的球體總電量為的球體總電量為3 34rq 剝去剝去r r +dr這一層，其電量