【KS5U解析】北京市清華附中2019-2020學(xué)年高一新生分班考試數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

1、高一新生分班考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1. 化簡（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化即可求解.【詳解】.故選：b【點睛】本題考查了根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化，考查了基本運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2. 分式的值為0，則的值為（ ）a. 或2b. 2c. d. 【答案】b【解析】【分析】將該分式化為，求解即可.【詳解】，解得故選：b【點睛】本題主要考查了分式方程的解法，涉及了一元二次方程的解法，屬于基礎(chǔ)題.3. 如圖，在四邊形中，、分別是、的中點.若，則等于（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】連接，是的中位線可得的長，根據(jù)邊長判斷可得答案.

2、【詳解】連接，因為、分別是、的中點，所以是的中位線，所以，所以，故選：a.【點睛】本題考查了中位線、三角函數(shù)求值問題，屬于基礎(chǔ)題.4. 如圖，、是切線，、為切點，是直徑，則（ ）a. 40°b. 80°c. 20°d. 10°【答案】c【解析】【分析】由為等腰三角形求出，再證明，最后由得出答案.【詳解】為等腰三角形，且是切線，為切點，是直徑即故選：c【點睛】本題主要考查了圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5. 在兩個袋內(nèi)，分別裝著寫有1、2、3、4四個數(shù)字的4張卡片，今從每個袋中各任取一張卡片，則所取兩卡片上數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是（ ）a. b. c. d. 【

3、答案】d【解析】【分析】確定抽取兩張卡片的情況一共有16種，列舉法求出兩張卡片之積為偶數(shù)的情況共有12種，代入古典概型概率公式求解即可.【詳解】抽取兩張卡片的情況一共有16種，其中兩張卡片之積為偶數(shù)的情況有以下幾種：，共12種，故所取兩卡片上數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是.故選：d【點睛】本題考查列舉法求古典概型問題的概率，屬于基礎(chǔ)題.6. 如圖，矩形紙片abcd中，已知ad =8，折疊紙片使ab邊與對角線ac重合，點b落在點f處，折痕為ae，且ef=3，則ab的長為 （ ）a. 6b. 4c. 5d. 3【答案】a【解析】【分析】先根據(jù)矩形的特點求出的長，再由翻折變換的性質(zhì)得出是直角三角形，利用勾股

4、定理即可得出的長，再在中利用勾股定理即可得出的長.【詳解】因為四邊形是矩形，是翻折而成，所以，是直角三角形，在中，設(shè)，在中，即，解得，所以.故選：a.【點睛】本題主要考查了翻折變換及勾股定理，熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變.屬于較易題.7. 如圖，正方形abcd的邊長為4，p為正方形邊上一動點，運動路線是adcba，設(shè)p點經(jīng)過的路程為x，以點a、p、d為頂點的三角形的面積是y.則下列圖象能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)動點從點d出發(fā)，首先向點c運動，此時y隨x的增加而增大，當點p在dc上運動時，y隨著

5、x的增大而增大，當點p在cb上運動時，y不變，當點p在ab上運動時，y隨著x的增大而減小，據(jù)此作出選擇即可【詳解】當點p由點a向點d運動，即0x4時，y的值為0；當點p在dc上運動，即4x8時，y隨著x的增大而增大；當點p在cb上運動，即8x12時，y不變；當點p在ba上運動，即12x16時，y隨x的增大而減小故選：b【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解決動點問題的函數(shù)圖象問題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)y隨x的變化而變化的趨勢，屬于基礎(chǔ)題8. 若直角坐標系內(nèi)兩點p、q滿足條件p、q都在函數(shù)y的圖象上，p、q關(guān)于原點對稱，則稱點對（p，q）是函數(shù)y的一個“友好點對”（點對（p，q）與（q，p）看作同一個“友

6、好點對”）.已知函數(shù)，則函數(shù)y的“友好點對”有（ ）個a. 0b. 1c. 2d. 3【答案】c【解析】【分析】根據(jù)“友好點對”的概念知，函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)即為函數(shù)y的“友好點對”個數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象分析即可.【詳解】根據(jù)“友好點對”的概念知，作出函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱的圖象與函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知它們的交點有兩個，所以函數(shù)y的“友好點對”有2對.故選：c【點睛】本題考查函數(shù)的圖象，理解新定義的概念是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題9. 已知、是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值等于_【答案】【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】根據(jù)根

7、與系數(shù)的關(guān)系得則故答案為：【點睛】本題主要考查了由一元二次方程的根求值，屬于基礎(chǔ)題.10. 有一個六個面分別標上數(shù)字1、2、3、4、5、6的正方體，甲、乙、丙三位同學(xué)從不同的角度觀察的結(jié)果如圖所示.如果記2的對面的數(shù)字為，3的對面的數(shù)字為，則方程的解滿足，為整數(shù)，則_【答案】0【解析】【分析】由甲、乙、丙的圖看出，2和6,1,3,2都相鄰，可得出2的對面的數(shù)字和3的對面的數(shù)字，然后解方程即可.【詳解】由圖知，2和6,1,3,2都相鄰，所以2的對面的數(shù)字為4，即=4，3的對面的數(shù)字為6，=6，所以方程即為， 解得， 即，因為滿足，為整數(shù)，所以0故答案為：0【點睛】本題主要考查正方體相對面問題以及

8、指數(shù)方程的解法，還空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.11. 如圖，直角梯形紙片中，折疊紙片使經(jīng)過點，點落在點處，是折痕，且，則的長為_【答案】6【解析】【分析】先判斷出，然后在中求出的長度，繼而在中求出【詳解】，（折疊的性質(zhì)），在中，在中，故答案為：6【點睛】本題考查了翻折變換的知識，涉及了解直角三角形的相關(guān)知識，解答本題的關(guān)鍵是判斷出為直角，難度一般12. 記函數(shù)在處的值為（如函數(shù)也可記為，當時的函數(shù)值可記為）.已知，若且，則的所有可能值為_【答案】1或【解析】【分析】根據(jù)題意得，或，進而得的所有可能值為1或.【詳解】解：因且，所以，或，當，時，當，時，.故答案為：1或【點睛】本題考查函

9、數(shù)值得求解，解題的關(guān)鍵在于由已知得，或，是基礎(chǔ)題.13. 有一塔形幾何體由若干個正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點.已知最底層正方體的棱長為2，且該塔形的表面積（含最底層正方體的底面面積）超過39，則該塔形中正方體的個數(shù)至少是_【答案】6【解析】【分析】分析各正方體的邊長，利用等比數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】底層正方體的表面積為，第層正方體的棱長為，每個面的面積為，第層正方體的棱長為，每個面的面積為，第層正方體的棱長為，每個面的面積為，則該幾何體為層，則它的表面積為 ，解得，該塔形中正方體的個數(shù)至少是6.故答案為：6【點睛】本題考查了等比

10、數(shù)列的前項和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.14. 如圖，三棱柱中，底面，三個側(cè)面都是矩形，為線段上的一動點，則當最小時，_【答案】1【解析】【分析】將三棱柱的側(cè)面和側(cè)面剪開在同一平面內(nèi)，連接，此時最小，再利用三角形相似求解.【詳解】將三棱柱的側(cè)面和側(cè)面剪開在同一平面內(nèi)，如圖所示：連接與交于點m時， 最小，因為，所以，所以，即，解得故答案為：1【點睛】本題主要考查立體圖形的展開圖形和兩點間距離最短問題以及相似三角形的應(yīng)用，還考查轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.15. 如圖，是半圓的直徑，四邊形和都是正方形，其中，在上，在半圓上.若，則正方形的面積與正方形的面積之和是_【答案】25【解

11、析】【分析】連接，設(shè)，由勾股定理得，兩式相減得，從而可求得【詳解】連接，設(shè)，則，兩式相減得：，即，故故答案為：25【點睛】本題考查勾股定理，正方形的性質(zhì)，題中證明是解題關(guān)鍵16. 如圖，為直角斜邊上的高，長度為1，設(shè)，的周長分別是，當取最大值時，_【答案】2【解析】【分析】易證，令，即可求得，根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求得答案.【詳解】因為，所以易得，令，則，于是由二次函數(shù)性質(zhì)知，當，即時，取最大值時，因為，所以故答案為：2【點睛】本題考查了相似三角形對應(yīng)邊比值相等性質(zhì)，考查了相似三角形的證明，本題中求一元二次方程的最大值時的取值是解題的關(guān)鍵17. 如圖放置的等腰直角薄片（，）沿軸滾動，點的運動軌

12、跡曲線與軸有交點，則在兩個相鄰交點間點的軌跡曲線與軸圍成圖形面積為_【答案】【解析】【分析】先根據(jù)題意畫出點的運動軌跡中相鄰兩個零點間的軌跡圖象，再根據(jù)圖象求面積即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意得點運動軌跡中相鄰兩個零點間的軌跡圖象如圖所示，其軌跡與軸圍成的圖形是由以為半徑的四分之一的圓弧，以為半徑的的圓弧以及構(gòu)成，故兩個相鄰交點間點的軌跡曲線與軸圍成圖形面積為： 故答案為：【點睛】本題考查點的運動軌跡（圓），考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.18. 如圖是一個數(shù)表，第1行依次寫著從小到大的正整數(shù)，然后把每行相鄰的兩個數(shù)的和寫在這兩數(shù)正中間的下方，得到下一行，數(shù)表從上到下與從左到右均為無限項，則這個

13、數(shù)表中的第11行第7個數(shù)為_（用具體數(shù)字作答）【答案】12288【解析】【分析】設(shè)表示第行第個數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及遞推公式求通項的方法得出，從而得出這個數(shù)表中的第11行第7個數(shù).【詳解】設(shè)表示第行的第個數(shù)由數(shù)表可知，每一行成等差數(shù)列，且第行的公差為則，則即數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列則，即即故答案為：【點睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的通項公式以及求等差數(shù)列的項，屬于中檔題.三、解答題19. 如圖，拋物線與軸交于點，過點的直線與拋物線交于另一點，過點作軸，垂足為點.（1）求直線的函數(shù)關(guān)系式；（2）動點在線段上從原點出發(fā)以每秒一個單位的速度向移動，過點作軸，交直線于點，交拋物線于點.設(shè)點移

14、動的時間為秒，的長度為個單位，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；（3）設(shè)在（2）的條件下（不考慮點與點，點重合的情況），連接，當為何值時，四邊形為平行四邊形？問對于所求的值，平行四邊形能否為菱形？請說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）或2；不是菱形；答案見解析.【解析】【分析】（1）由條件可得，可求得直線的解析式.（2）由秒時，點，所以 ，再根據(jù)得出答案.(3) 若四邊形為平行四邊形，則有，此時，有，解得，,再分別計算能否為菱形.【詳解】解：（1）拋物線與軸交于點，則.軸，垂足為點,所以設(shè)直線的解析式為則 ，解得可得直線的解析式為（2）點從點移動到點共要3秒,所以秒時，點，所以 （3）若

15、四邊形為平行四邊形，則有，此時，有，解得，所以當或2時，四邊形為平行四邊形.當時，故，又在中，故，此時四邊形為菱形當時，故，又在中，故，此時四邊形不是菱形.【點睛】本題主要考查求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的應(yīng)用以及特殊四邊形的性質(zhì)和判定，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.20. 函數(shù)，若自變量取值范圍內(nèi)存在，使成立，則稱以為坐標的點為函數(shù)圖像上的不動點. （1）若函數(shù)有兩個關(guān)于原點對稱的不動點，求，應(yīng)滿足的條件；（2）在（1）的條件下，若，直線：與軸、軸分別相交于、兩點，在的圖象上取一點（點的橫坐標大于2），過作軸，垂足是，若四邊形的面積等于2，求點的坐標（3）定義在實數(shù)集上的函數(shù)，對任意的有恒成立.下

16、述命題“若函數(shù)的圖像上存在有限個不動點，則不動點有奇數(shù)個”是否正確？若正確，給予證明；若不正確，舉反例說明.【答案】（1）且；（2）；（3）正確；證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)不動點的定義，得出方程有兩個不等的實根，且互為相反數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解；（2）由（1）和，求得，設(shè)上任意一點，根據(jù)，列出方程，即可求解；（3）定義在上的奇函數(shù)必有，再設(shè)為函數(shù)圖像上的不動點，結(jié)合奇函數(shù)的定義得出也為函數(shù)圖像上的不動點，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)有兩個關(guān)于原點對稱的不動點，可得有兩個互為相反數(shù)的根即有兩個互為相反數(shù)的根，帶入得，兩式相減得，所以，方程變?yōu)椋郧?/p>

17、.（2）由（1）得，所以：，即，設(shè)上任意一點，所以又因為，所以，解得，所以點的坐標.（3）正確在，令，可得，所以，所以為函數(shù)的不動點，設(shè)為函數(shù)圖像上的不動點，則，所以，所以也為函數(shù)圖像上的不動點.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的新定義的應(yīng)用，以及函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，其中解答中正確理解函數(shù)的新定義，以及合理應(yīng)用函數(shù)的奇偶性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.21. 已知圓圓心為坐標原點，半徑為，直線：交軸負半軸于點，交軸正半軸于點（1）求（2）設(shè)圓與軸的兩交點是，若從發(fā)出的光線經(jīng)上的點反射后過點，求光線從射出經(jīng)反射到經(jīng)過的路程（3）點是軸負半軸上一點，從點發(fā)出的光線經(jīng)反射后與圓相切.若光線從

18、射出經(jīng)反射到相切經(jīng)過的路程最短，求點的坐標【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由題意得，則，得出答案.(2) 由對稱性可知，點關(guān)于對稱點在過點且傾斜角為60°的直線上, 光線從射出經(jīng)反射到經(jīng)過的路程為可得出答案.(3) 對稱性可知，點關(guān)于的對稱點在過點且傾斜角為60°的直線,上，所以路程最短即為上點到切點的切線長最短.連接，在中，只要最短，即可得答案.【詳解】解：（1）直線：交軸負半軸于點，交軸正半軸于點則由題，所以，所以（2）如圖（1）由對稱性可知，點關(guān)于的對稱點在過點且傾斜角為60°的直線上,在中，所以為直角三角形，.所以光線從射出經(jīng)反射到經(jīng)

19、過的路程為（3）如圖（2）由對稱性可知，點關(guān)于的對稱點在過點且傾斜角為60°的直線,上，所以路程最短即為上點到切點的切線長最短.連接，在中，只要最短，由幾何知識可知，應(yīng)為過原點且與垂直的直線與的交點，這一點又與點關(guān)于對稱，故點的坐標為圖（1）圖（2）【點睛】本題考查圓的性質(zhì)、切線的性質(zhì)，對稱性，光線的反射原理，考查點關(guān)于直線的對稱性以及最值問題，屬于中檔題.22. 在金融危機中，某鋼材公司積壓了部分圓鋼，經(jīng)清理知共有根.現(xiàn)將它們堆放在一起.（1）若堆放成縱斷面為正三角形(每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多根)，并使剩余的圓鋼盡可能地少，則剩余了多少根圓鋼?（2）若堆成縱斷面為等腰梯形(每一層

20、的根數(shù)比上一層根數(shù)多根)，且不少于七層，（）共有幾種不同的方案?（）已知每根圓鋼的直徑為，為考慮安全隱患，堆放高度不得高于，則選擇哪個方案，最能節(jié)省堆放場地？【答案】（1）當時，能使剩余的圓鋼盡可能地少，此時剩余56根圓鋼；（2）（）共有4中方案；（）選擇堆放41層這個方案，最能節(jié)省堆放場地.【解析】【分析】（1）n層一共放了根圓鋼，需滿足條件，求解不等式使剩余圓鋼盡可能少；（2）分析出從上到下每層圓鋼根數(shù)是以x為首項、1為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式列出圓鋼總數(shù)，根據(jù)與n的奇偶性不同來確定方案；（3）層數(shù)越多，最下層堆放得越少，占用面積也越少，所以討論當與兩種情況是否符合題意即可.【詳解】（1）由題意