六年級(jí)數(shù)學(xué)工程問(wèn)題(附例題答案)

1、第七講工程問(wèn)題一、知識(shí)要點(diǎn)在日常生活中，做某一件事，制造某種產(chǎn)品，完成某項(xiàng)任務(wù)，完成某項(xiàng)工程等等，都要涉及到工作總量、工作效率、工作時(shí)間這三個(gè)量，它們之間的根本數(shù)量關(guān)系是工作總量=工作效率X工作時(shí)間在小學(xué)數(shù)學(xué)中，探討這三個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的應(yīng)用題，我們都叫做“工程問(wèn)題舉一個(gè)簡(jiǎn)單例子：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.問(wèn)兩人合作幾天可以完成？一件工作看成1個(gè)整體，因此可以把工作量算作1.所謂工作效率，就是單位時(shí)間內(nèi)完成的工作量，我們用11的時(shí)間單位是“天 ，1天就是一個(gè)單位，因此甲的工作效率是，乙的工作效率是，我們想求兩人合10151 1作所需時(shí)間，就要先求兩人合作的工作效率，再根據(jù)根本

2、數(shù)量關(guān)系式，得到所需時(shí)間=工作量十工1015作效率=1-丄+丄10 15=6 天.兩人合作需要6天.這是工程問(wèn)題中最根本的問(wèn)題，這一講介紹的許多例子都是從這一問(wèn)題開(kāi)展產(chǎn)生的為了計(jì)算整數(shù)化盡可能用整數(shù)進(jìn)行計(jì)算，可把工作量多設(shè)份額.如上題，10與15的最小公倍數(shù)是30.設(shè)全部工作量為30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩人合作所需天數(shù)是30+ 3+ 2 = 6 天一 1 1實(shí)際上我們把1 -這個(gè)算式，先用30乘了一下，都變成整數(shù)計(jì)算，就方便些.10151 110天與15天，表達(dá)了甲、乙兩人工作效率之間比例關(guān)系:3: 2 .或者說(shuō)“工作量固定，工作效10 15率與時(shí)間成反比例.甲、乙工作效率

3、的比是 15 : 10=3 : 2.當(dāng)知道了兩者工作效率之比，從比例角度考慮問(wèn)333題，也是非常實(shí)用的.根據(jù)3: 2 ,兩人合作時(shí)，甲應(yīng)完成全部工作的=-,所需時(shí)間是10 3 =6 天.3 + 2 55因此，在下面例題的講述中， 我們可以采用“把工作量設(shè)為整體 1 的做法，也可以“整數(shù)化或“從 比例角度出發(fā)、“列方程等，這樣會(huì)使我們的解題思路更靈活一些二、典型例題例1. 一件工作，甲做9天可以完成，乙做 6天可以完成.現(xiàn)在甲先做了 3天，余下的工作由乙繼續(xù)完成 .乙 需要做幾天可以完成全部工作？解析：甲的工效：1 +9 = 1/9乙的工效：1 +5 = 1/6 甲三天做了的：1/9 X 3 =

4、 1/3余下的工作：1 1/3 = 2/3乙需做的天數(shù)：2/3 + 1/6 = 4 天例2.有一工程，甲隊(duì)單獨(dú)做 24天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做 30天完成，甲、乙兩隊(duì)合做 8天后，余下的由丙隊(duì) 做，又做了 6天才完成。這個(gè)工程由丙隊(duì)單獨(dú)做需幾天完成？解析：1- 1/24+1/30 X8=2/56 +2/5=15 天例3.某工程先由甲單獨(dú)做 63天，再由乙單獨(dú)做 28天即可完成，假設(shè)由甲乙兩人合作，需48天完成，現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，然后由乙來(lái)單獨(dú)完成，那么還需要多少天？解析：某工程先由甲單獨(dú)做63天，再由乙單獨(dú)做 28天可以完成，可看成甲乙合作 28天，甲再另外做了35天所以甲的工效為(1-28/4

5、8)/35=1/84 ，乙的工效為1/48-1/84=1/112甲先單獨(dú)做42天，然后由乙接著做，還需(1-42*1/84)/(1/112)=56 天另一個(gè)方法：令甲每天做工程的百分比為x,乙每天做工程的百分比為y那么63x+28y=148(x+y)=1求得x=1/84y=1/112假設(shè)甲獨(dú)做42天，那么完成工程的 42/84 ,即1/2 ,剩下1/2由乙完成，需要1/2 -1/112=56天1例4. 一項(xiàng)工程，甲乙兩人合作4天后，再由乙單獨(dú)做5天完成，甲比乙每天多完成這項(xiàng)工程的,30甲乙單獨(dú)做這項(xiàng)工程各需要多少天？甲單獨(dú)做需 X天，乙單獨(dú)做需y天4*(1/X + 1/Y)+5/Y=1 1/x

6、 -1/y=1/30 X=10Y=15甲單獨(dú)做需10天，乙單獨(dú)做需15天設(shè)甲單獨(dú)做需 X天，那么甲平均每天完成工程的1/X ；因?yàn)榧妆纫颐刻於嗤瓿蛇@項(xiàng)工程的30分之一，就是說(shuō)，乙平均每天完成1/X-1/30 ;按照條件，甲乙合作 4天，4/X+4*(1/x-1/30),隨后，乙單獨(dú)做了5天，5*(1/x-1/30),加在一起，完成了這項(xiàng)工程，即，4/X+4*(1/x-1/30) + 5*(1/x-1/30) =1x=10乙每天完成 1/10-1/30=1/15 ，即，乙單獨(dú)做需15天例5. 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做20天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成現(xiàn)在他們兩隊(duì)一起做，其間甲隊(duì)休息了3天，乙隊(duì)休息了假

7、設(shè)干天從開(kāi)始到完成共用了16天問(wèn)乙隊(duì)休息了多少天？16天中甲實(shí)際休息了16-3=13天甲完成了 13/20乙完成了 1-13/20=7/20需要時(shí)間：7/20寧1/30=10.5 天所以乙休息了 16-10.5=5.5 天例 6. 有甲、乙兩項(xiàng)工作，張單獨(dú)完成甲工作要 10 天，單獨(dú)完成乙工作要 15 天；李單獨(dú)完成甲工作要 8 天，單獨(dú)完成乙工作要 20 天.如果每項(xiàng)工作都可以由兩人合作，那么這兩項(xiàng)工作都完成最少需要多少天？ 解析 1 ：先讓張某單獨(dú)完成乙，李某單獨(dú)完成甲。乙還剩 1-8/15=7/15兩人合作時(shí)間為：7/15/(1/15+1/20)=4所以至少要工作： 8+4=12 (天)

8、解析 2 ：小李做甲工效高小李先做甲 ,小張先做乙 , 小李完成甲以后再和小張一起做乙至少需要：(1-8/15)訊1/15+1/20)+8=12 天例 7. 甲、乙合做一件工作要 15 天才能完成，現(xiàn)在甲、乙合做 10 天后，再由乙獨(dú)做 6 天，還剩下這件工 作的 1 /1 0，甲單獨(dú)完成這件工作要多少天？解析：甲乙合作10天，完成了：10 X1/15 = 2/3乙獨(dú)做6天完成了： 1 2/3 1/10 = 7/30乙每天完成：7/30 弋=7/180 甲獨(dú)做需要：1 -(1/15 7/180 )= 36 (天)例 8. 一項(xiàng)工程甲隊(duì)單獨(dú)做 15 天可以完成，乙隊(duì)獨(dú)坐 10天可以完成。現(xiàn)在開(kāi)始

9、兩隊(duì)合作，但中間乙隊(duì)因 另有任務(wù)調(diào)走，從開(kāi)始到完成任務(wù)，甲隊(duì)工作了 9天，乙隊(duì)比甲隊(duì)少工作了多少天？解析：甲獨(dú)做一天的工效為 1/15，乙獨(dú)做一天的工效為 1/10。合做分想：這項(xiàng)工程甲做了 9 天，剩下的都是由乙隊(duì)完成的?？梢杂霉ぷ骺偭繙p去甲隊(duì) 9 天的工作量，求出乙隊(duì)工作量，再根據(jù)乙隊(duì)的工作量和工效求出乙隊(duì)的工作時(shí)間：(1 1/15 9)-1/10 = 4 (天)。所以乙隊(duì)比甲隊(duì)少工作天數(shù)為：9 4 = 5例 9. 甲、乙合做一件工作，合作 8天后，乙又獨(dú)做 5天，還剩下這件工作的 1/6。乙單獨(dú)完成這件工 作要 30 天，那么甲單獨(dú)完成這件工作要多少天？解析： 1-1/30(8+5) -

10、1/6=12/30=2/5 2/5 -8=1/20 所以需要 20天例 10. 甲、乙合做一件工作，每天能完成全部工作的 1/12，甲單獨(dú)做 6天，乙又單獨(dú)做 10天后，還剩下 全部工作的 11/30沒(méi)有完成，甲單獨(dú)完成全部工作要多少天？解析： 6*1/12=1/21-11/30-1/2=2/15(2/15)/(10-6)=1/301/(1/12-1/30)=20例 11.一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成需12天，乙單獨(dú)完成需 9天。假設(shè)甲先做假設(shè)干天后乙接著做，共用 10 天完成，問(wèn)甲做了幾天？解析1 :當(dāng)做雞兔同籠問(wèn)題處理，如果10天都是乙做，能完成：1/9 0=10/9 ,超出了： 10/9-1=1

11、/9，每天，甲比乙少做： 1/9-1/12=1/36，甲做了： 1/9 寧1/36=4 天解析 2 :設(shè)甲做了 X 天 X X1/12 + (10-X) X1/9 = 1,得出 X = 4甲做了 4 天例 12. 一件工作,甲獨(dú)做要 12 天,乙獨(dú)做要 18天,丙獨(dú)做要 24天.這件工作由甲先做了假設(shè)干天,然后由 乙接著做,乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的 3倍,再由丙接著做,丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的 2倍,終于做完 了這件工作 .問(wèn)總共用了多少天？解析：設(shè)甲做了 x 天,那么乙做了 3x 天,丙做了 6x 天,所以 x/12+3x/18+6x/24=1, x/2=1x=2 ,所以總共用了 2+3*2

12、+6*2=20 天例 13. 一份稿件,甲、乙、丙三人單獨(dú)打字需要的時(shí)間分別是 20小時(shí)、 24小時(shí)、 30小時(shí),現(xiàn)在三人合打, 但甲因中途另有任務(wù)提前撤出,結(jié)果用 12小時(shí)完成,甲只打了多少小時(shí)？解析 1 ：甲、乙、丙每小時(shí)單獨(dú)打出稿件的 1/20,1/24,1/30 ,打了 12 小時(shí),那么乙和丙分別打了全部稿件的12/24,12/30 , 12/24+12/30=9/10 ,那么甲打了稿件的十分之一, (1/10) 除以( 1/20)=2甲打了 2 小時(shí)解析2 :方程法：設(shè)甲打 x小時(shí)。那么：x/20+12* ( 1/24+1/30 ) =1，可解出X=2例 14. 一項(xiàng)工程甲單獨(dú)完成要

13、 30 天,乙單獨(dú)完成要 45天,丙單獨(dú)完成要 90 天?，F(xiàn)在由甲、乙、丙合作 完成此工程,在工作過(guò)程中甲休息了 2 天,乙休息了 3 天,丙沒(méi)有休息,最后把工程完成了,問(wèn)完成這項(xiàng) 工程前后一共用了多少天？解析 1 ：方程法設(shè)是第 x 天完成的, (x-2)/30 +(x-3)/45 +x/90=1 整理,得 x=17解析 2： (1+2/30+3/45)/(1/30+1/45+1/90)=17( 天)解釋?zhuān)杭偌僭O(shè)甲、乙沒(méi)休息,那么應(yīng)該完成總工程的 1+2/30 +3/45例 15. 一項(xiàng)工程,甲、乙兩人合做 4 天后,再由甲單獨(dú)做 6天才完成全部任務(wù)。甲比乙每天多完成這 項(xiàng)工程的 1/80,

14、那么甲、乙單獨(dú)完成各需多少天？解析 1 ：思路同第四題,設(shè)乙每天完成的工作占整個(gè)工作的 x, 4(x+x+1/80)+6(x+1/80)=1x=1/16 , x+1/80=3/40 ,所以甲 40/3 天完成,乙 16 天完成解析2 :甲比乙多完成全部任務(wù)的：1/80* 4 + 6= 1/8 4 + 6表示甲一共做了 10天1-1/8 = 7/8 相當(dāng)于兩人均以乙的工效完成的工作量4 + 4 + 6 = 14 天乙每天完成：7/8勻4 = 1/16，甲每天完成：1/16+ 1/80 = 3/40，單獨(dú)完成甲要：1 -K3/40 = 13 又 1/3 天例16. 一件工作，甲、乙兩人合作36天完

15、成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成.問(wèn)甲一人獨(dú)做需要多少天完成？解析：甲乙合作的效率 =1 6=1/36，乙丙合作的效率=1韶5=1/45，甲丙合作的效率 =1弋0=1/60，甲乙丙三人合作的效率 =1/36+1/45+1/60 吃=1/30甲工作的效率 =1/30-1/45=1/90三、練習(xí)題1. 某工程甲單獨(dú)干10天完成，乙單獨(dú)干15天完成，他們合干多少天才可完成工程的一半？1 1 1 解:=3 天210152. 某工程甲隊(duì)單獨(dú)做需 48天，乙隊(duì)單獨(dú)做需36天。甲隊(duì)先干了 6天后轉(zhuǎn)交給乙隊(duì)干，后來(lái)甲隊(duì)重新回來(lái) 與乙隊(duì)一起干了 10天，將工程做完。求乙隊(duì)在中間單獨(dú)工作的

16、天數(shù)。解：+ 件帶-10 = 14 天o3. 一條水渠，甲、乙兩隊(duì)合挖需 30天完工?，F(xiàn)在合挖12天后，剩下的乙隊(duì)單獨(dú)又挖了 24天挖完。這條 水渠由甲隊(duì)單獨(dú)挖需多少天？解乙隊(duì)的工作奴率為1存 74 誌，甲隊(duì)單獨(dú)挖需1亠 = 20 天、4. 單獨(dú)干某項(xiàng)工程，甲隊(duì)需 100天完成，乙隊(duì)需150天完成。甲、乙兩隊(duì)合干 50天后，剩下的工程乙隊(duì) 干還需多少天？分析與解：以全部工程量為單位 1。甲隊(duì)單獨(dú)干需100天，甲的工作效率是拓；同理，乙隊(duì)的工作效率是呂。兩隊(duì)合干的工作效率是鳥(niǎo)+舟100150100150由工作量二工住效率x工作時(shí)間J冗天的工作量是+ X 50 = 100150-236剰下的工作量

17、是1-|0由工作時(shí)間=工作量十工作數(shù)率：剩下的工 作量由乙隊(duì)干還需SC天5. 某項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需 36天完成，乙單獨(dú)做需 45天完成。如果開(kāi)工時(shí)甲、乙兩隊(duì)合做，中途甲隊(duì)退出 轉(zhuǎn)做新的工程，那么乙隊(duì)又做了18天才完成任務(wù)。問(wèn)：甲隊(duì)干了多少天？分析：將題目的條件倒過(guò)來(lái)想， 變?yōu)椤耙谊?duì)先干18天，后面的工作甲、乙兩隊(duì)合干需多少天?這樣一來(lái)，問(wèn)題就簡(jiǎn)單多了。213=1 -y = - x 20 = 12 天答：甲隊(duì)干了 12天。6. 制作一批零件，甲車(chē)間要 10天完成，如果甲車(chē)間與乙車(chē)間一起做只要 6天就能完成乙車(chē)間與丙車(chē)間一 起做，需要8天才能完成現(xiàn)在三個(gè)車(chē)間一起做，完成后發(fā)現(xiàn)甲車(chē)間比乙車(chē)間多制作零

18、件 2400個(gè)侗丙車(chē)間 制作了多少個(gè)零件？解一：仍設(shè)總工作量為1.甲每天完成缶乙每天完成卜存右,丙每天完成$右=舟三個(gè)車(chē)間做，憲成這批零件的制作，需要_1140 十、e込+g= T 天_甲每天比乙多完成j_ j_= j_W-!? 30因此這批零件的總數(shù)是402400 = 16200 個(gè)930丙車(chē)間制作的零件數(shù)目是74016200 X 一 X= 200 個(gè)1209答：丙車(chē)間制作了 4200個(gè)零件.解二：10與6最小公倍數(shù)是30.設(shè)制作零件全部工作量為30份.甲每天完成3份，甲、乙一起每天完成 5份，由此得出乙每天完成 2份.乙、丙一起，8天完成.乙完成8 X 2=16 份，丙完成30-16=14 份，就知乙、丙工作效率之比是 16 : 14=8 : 7.甲、乙工作效率之比是 3 : 2= 12 : 8.綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是12 : 8 : 7.當(dāng)三個(gè)車(chē)間一起做時(shí)，丙制作的零件個(gè)數(shù)是2400- 12- 8 X 7= 4200 個(gè).7. 搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物，甲需要 10小時(shí)，乙需要12小時(shí)，丙需要15小時(shí).有同樣的倉(cāng)庫(kù)A和B,甲在A倉(cāng)庫(kù)、乙在 B倉(cāng)庫(kù)同時(shí)開(kāi)始搬運(yùn)貨物，丙開(kāi)始幫助甲搬運(yùn)，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運(yùn)最后兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)貨物同時(shí)搬完問(wèn)丙幫助甲、乙各多少時(shí)間？解：設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物的工作量是1現(xiàn)在相當(dāng)于三人共同完成工作量2,所需時(shí)間是甲呂小時(shí)能完成話，尚需曼丙幫助