全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬題

1、I EDCB A全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題(2第 一 試一、選擇題(本題滿分42分,每小題7分 1.若952055x y -=-,且x 、y 為有理數(shù),則x 2+y 2= ( .(A 45 (B 41 (C 34 (D 1 2.若關(guān)于x 的方程|x 2-5|=2x+k 有四個不相等的實數(shù)根,則k 的范圍為( . (A25k > (B6k < (C256k << (D 256k -<< 3.設(shè)x 表示x 的整數(shù)部分,x 表示x 的小數(shù)部分,則方程23x x x +=的解有( . (A 5個 (B 4個 (C 3個 (D 2個 4.如圖,Rt ABC 中,A=90

2、°,I 為ABC 的內(nèi)心, BI 交AC 于點D ,CI 交AB 于點E ,若AB=6,AE=2, 則BI 的長為( . (A 5 (B112(C27 (D315.若n 1,n 2,n m 是m 個互不相等的正整數(shù),且12222mn n n + =2006,則n 1+n 2+n m = ( .(A 55 (B 47 (C 43 (D 356.將橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點.若直線2y x k =+(k 為整數(shù)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形內(nèi)的整點(含周界有100個,則k 等于( . (A11 (B18 (C19 (D22 二、填空題(本題滿分28分,每小題7分7.設(shè)2222111120

3、061200622006200520062006m =+,則2006m 的整數(shù)部分為 .8.若關(guān)于x 的方程(x 2-6(x 2-4=k 有四個非零實根,且它們在數(shù)軸上對應(yīng)的四個點等距排列,則k= . 9.若點P (x ,y 在拋物線223y x x =-+上, 則x+y 的最大值為 .10.如圖,三個圓兩兩相切,并且與O 都內(nèi)切,若O 的半徑為R ,O 1的半徑為2r ,O 2、O 3的半徑都為r ,則rR= .O 3O 2O 1O第 二 試三、解答題(本題滿分40分,第12題10分,第11、13題各15分11.已知關(guān)于x 的方程22413(1(2042a x a x a -+-=的根為有理

4、數(shù),且a 為整數(shù),求方程的根.12.如圖,PA 、PB 為O 的兩條切線,A 、B 為切點,過P 作PO 的垂線MN ,Q 為MN 上的一個動點,過Q 作O 的兩條切線QR 、QS ,試證明:無論Q 點在MN 上什么位置,直線AB 、PO 、RS 必交于一點.13.設(shè)a 、b 都是正整數(shù),a >b ,且3a+3b+ab-1能被3ab 整除.(1求證:(3a-1(3b-1(ab-1也能被3ab 整除; (2求出所有滿足條件的a 、b 的值.N M OS RB A PQ全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題(2參 考 答 案一、選擇題(本題滿分48分,每小題8分 1.若952055x y -=-,且x 、

5、y 為有理數(shù),則x 2+y 2= ( B .(A 45 (B 41 (C 34 (D 1 解:952055x y -=-,9520(525x y xy -=+-x 、y 為有理數(shù),920x y xy +=,x 2+y 2=(x+y 2-2xy=41,故選(b.2.若關(guān)于x 的方程|x 2-5|=2x+k 有四個不相等的實數(shù)根,則k 的范圍為( D .(A25k > (B6k < (C256k -<< (D 256k <<解:令252y x y x k=-=+,即兩個函數(shù)圖象有四個不同的交點,如圖:直線2y x k =+經(jīng)過(-5,0,此時25k =, 直線2

6、y x k =+與拋物線25y x =-+相切,此時k=6, k 的范圍為256k <<,故選(D.3.設(shè)x 表示x 的整數(shù)部分,x 表示x 的小數(shù)部分,則方程23x x x +=的解有( D . (A 5個 (B 4個 (C 3個 (D 2個 解:x x x =-,原方程可化為:2(3x x x x +-=,35x x =, 315x x x -<,502x <,x=0或1或2. 當(dāng)x=0時,x=0;當(dāng)x=1時,x=53;當(dāng)x=2時,x=103(不合題意,舍去;方程23x x x +=的解有2個,故選(D.4.如圖,Rt ABC 中,A=90°,I 為ABC

7、 的內(nèi)心,BI 交AC 于點D , CI 交AB 于點E ,若AB=6,AE=2,則BI 的長為( . (A5 (B26 (C25 (D32 解:連結(jié)AI ,I 為Rt ABC 的內(nèi)心,BAI=45°,BIC=135°,BIE=BAI ,ABI=IBE ,BEI BIA ,BI 2=BE ·BA=24,BI=26,故選(B.I EDCBA5.若n 1,n 2,n m 是m 個互不相等的正整數(shù),且12222mn n n + =2006,則n 1+n 2+n m = ( .(A 55 (B 47 (C 43 (D 35 解:2006=1024+512+256+128+

8、64+16+4+2=210+29+28+27+26+24+22+21,n 1+n 2+n m =10+9+8+7+6+4+2+1=47.6.將橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點.若直線2y x k =+(k 為整數(shù)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形內(nèi)的整點(含周界有100個,則k 等于( B . (A11 (B18 (C19 (D22 解:(1當(dāng)k 為奇數(shù)時,整點個數(shù)為:(k+1+(k-1+(k-3+4+2=(1(34k k +,即(1(34k k +=100,此時無解;(2當(dāng)k 為偶數(shù)時,整點個數(shù)為:(k+1+(k-1+(k-3+3+1=2(24k +,即2(24k +=100,k=18,故選(B. 二

9、、填空題(本題滿分32分,每小題8分7.設(shè)2222111120061200622006200520062006m =+,則2006m 的整數(shù)部分為 2005 .解22006200612007<+<,22006200622007<+<,22006200620062007<+<,200612007m <<,220062005200620062007m <<<, 2006m 的整數(shù)部分為2005.8.若關(guān)于x 的方程(x 2-6(x 2-4=k 有四個非零實根,且它們在數(shù)軸上對應(yīng)的四個點等距排列,則k= 15 .解:(x 2-6(x

10、2-4=k ,x 4-10x 2+24-k=0.方程有四個非零實根,則必有x 2=a 或x 2=10-a.不妨設(shè)a <10-a , x a =±或10x a =±-,且1010a a a a -<-<<-.這四個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的四個點等距排列,10(a a a a -=-, 即103a a -=,1a =,x=1是方程的一個根, k=(x 2-6(x 2-4=(1-6(1-4=15.9.若點P (x ,y 在拋物線223y x x =-+上,則x+y 的最大值為 214. 解:設(shè)x+y=b ,則y=-x+b ,如圖,要使b 最大,則直線y=-x+b

11、與拋物線223y x x =-+在第一象限有且只有一個交點.聯(lián)立:223y x b y x x =-+=-+,2330x x b -+-=. 94120b -+=,214b =.x+y 的最大值為214. 10.如圖,三個圓兩兩相切,并且與O 都內(nèi)切,若O 的半徑為R ,O 1的半徑為2r ,O 2、O 3的半徑都為r ,則r R= 4252- .解:4252r R -=.如圖,O 1O 2=3r ,O 2A=r ,O 1A=22r , OO 2=R-r ,O 2A=r ,222(2OA R r r R Rr =-=-. OO 1=R-2r , 22222r R Rr R r =-+-,425

12、2r R -=. 三、解答題(本題滿分40分,每小題10分11.已知關(guān)于x 的方程22413(1(2042a x a x a -+-=的根為有理數(shù),且a 為整數(shù),求方程的根.解:222419(14(2199142a a a a a =-+-=-+ ,a 2-19a +910. 又方程的根為有理數(shù),且a 為整數(shù),a 2-19a+91=k 2(k 為整數(shù),所以(a-10(a-9+1=k 2, (a-10(a-9=(k +1(k-1, k 為奇數(shù),k +1與k-1均為偶數(shù).當(dāng)a >10或a <9時,(a-10(a-9=4m(m 為整數(shù),(a-10(a-9+1=4m +1. 這時對任何a

13、都不可能為完全平方數(shù),只有a=10或a=9. (1當(dāng)a=10時,方程為x 2-27x +182=0,x 1=13,x 2=14. (2當(dāng)a=9時,方程為25752404x x -+=,即4x 2-96x +575=0, 1232x =, 2252x =. BAO 3O 2O 1O12如圖，PA、PB 為O 的兩條切線，A、B 為切點，過 P 作 PO 的垂線 MN，Q 為 MN 上的一個 動點，過 Q 作O 的兩條切線 QR、QS，試證明：無論 Q 點在 MN 上什么位置，直線 AB、 PO、RS 必交于一點. 證明：連結(jié) AB 交 PO 于點 H，連結(jié) RS 交 QO 于點 C，交 PO 于

14、點 K，連結(jié) AO PA、PB 為O 的兩條切線， AHPO，AOPA， OA =OH·OP 又QR、QS 為O 的兩條切線， RSQO，ROQR， OR =OC·OQ OCK=OPQ=90°，COK=POQ， OCKOPQ， OK·OP=OC·OQ OH·OP=OK·OP， OH=OK，即 H、K 重合， 無論 Q 點在 MN 上什么位置，直線 AB、PO、RS 必交于一點. 13設(shè) a、b 都是正整數(shù)，ab，且 3a+3b+ab-1 能被 3ab 整除. （1）求證：（3a-1）（3b-1）（ab-1）也能被 3ab 整

15、除； （2）求出所有滿足條件的 a、b 的值. 解：（1）證明：（3a-1）（3b-1）（ab-1） =（9ab-3a-3b+1）（ab-1） 2 2 2 2 =9a b -3a b-3ab +ab-9ab+3a+3b-1 =3ab（ab-a-b-3）+（ab+3a+3b-1） 3ab3ab（ab-a-b-3），3abab+3a+3b-1， 3ab3ab（ab-a-b-3）+（ab+3a+3b-1）， 3ab（3a-1）（3b-1）（ab-1）. （2）解：3abab+3a+3b-1， N 2 2 M Q A H S B C K O R P ab + 3a + 3b - 1 是整數(shù)， 3ab

16、1 1 1 1 為整數(shù). + + - a b 3 3ab 若 b2，則 ab2， 1 1 1 1 1 1 1 1 則 + + - + + - < 1 ，顯然不可能； a b 3 3ab 4 3 3 36 若 b=2，則 a2， 全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬題（2） 第 6 頁 共 2頁 1 1 1 1 1 1 1 1 5 5 = + + - 為整數(shù)， + + - = + a b 3 3ab a 2 3 6a 6 6a 5 5 5 5 5 15 5 5 a2， < + < + < ， + = 1 ，a=5； 6 6 6a 6 12 12 6 6a 若 b=1，則 a1， 1 1 1 1 1 1 1 4 2 則 + + - = +1+ - = + 為整數(shù)， a b 3 3ab a 3 3a 3 3a 4 4 2 4 1 5 4 2 a1， < + 不可能為整數(shù)； < + = ， + 3 3 3a 3 3 3 3 3a 綜合可