【教育資料】第三章3.3.1第2課時(shí)學(xué)習(xí)精品

1、教育資源第2課時(shí)二元一次不等式組表示的平面區(qū)域【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并會(huì)畫二元一次不等式組表示的平面區(qū)域.2.能把一些常見條件轉(zhuǎn)化為二元一次不等式組.3.能把實(shí)際問題中的約束條件抽象為二元一次不等式組知識(shí)點(diǎn)一二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域1 .因?yàn)橥瑐?cè)同號(hào)，異側(cè)異號(hào)，所以可以用特殊點(diǎn)檢驗(yàn)，判斷 Ax+By+C >0的解集到底對(duì)應(yīng)哪 個(gè)區(qū)域.當(dāng)CW0時(shí)，一般取原點(diǎn)(0,0),當(dāng)C=0時(shí)，常取點(diǎn)(0,1)或(1,0).2 .二元一次不等式組的解集是組成該不等式組的各不等式解集的交集 _ .知識(shí)點(diǎn)二可化為二元一次不等式組的條件X>0,X<0,思考 我們知道x(x-1)>0等價(jià)

2、于 或1區(qū)一1>0X1<0.那么(x+ y)(x-y+ 1)>0等價(jià)于什么？答案或六x y+ 1 >0|x y+ K 0.梳理(1)涉及由兩個(gè)二元一次不等式相乘構(gòu)成的不等式：可依據(jù)同號(hào)或異號(hào)分情況轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式組，然后把兩個(gè)不等式組表示的平面區(qū)域合并起來，即得到原不等式表示的平面區(qū)域(2)含絕對(duì)值的不等式：分情況去掉絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為等價(jià)的不等式組，再用平面區(qū)域表示.知識(shí)點(diǎn)三約束條件思考 一家銀行的信貸部計(jì)劃年初投入25 000 000元用于企業(yè)和個(gè)人貸款，希望這筆資金至少可帶來30 000元的收益，其中從企業(yè)貸款中獲益12%,從個(gè)人貸款中獲益10%,假設(shè)信貸部用于企業(yè)貸

3、款的資金為 x元，用于個(gè)人貸款的資金為 y元.那么x和y應(yīng)滿足哪些不等關(guān)系？ 答案 分析題意，我們可得到以下式子x+ y< 25 000 000,彳 12x+ 10y>3 000 000,x> 0,y>0.梳理很多生產(chǎn)生活方案的設(shè)計(jì)要受到各種條件限制，這些限制就是所謂的約束條件.像“思考”中的“用于企業(yè)貸款的資金為x元，用于個(gè)人貸款的資金為 y元”稱為決策變量要表達(dá)約束條件，先要找到?jīng)Q策變量，然后用這些決策變量表示約束條件r x>0, _八 1 .在平面直角坐標(biāo)系中，表木的平面區(qū)域?yàn)榈谝幌笙?，x>0或y>0表木的平面區(qū)域?yàn)椤>0第一、二、四象限

4、及x, y軸的正半軸."）x> 0, x<0,2 .y>|x|等價(jià)于或(V)、y>xy> x.類型一二元一次不等式組表示的平面區(qū)域y< 3x+12,例1用平面區(qū)域表布不等式組 <的解集.x<2y考點(diǎn)二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域題點(diǎn)二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域的畫法解 不等式y(tǒng)<-3x+ 12,即3x+ y-12<0,表示的平面區(qū)域在直線 3x+y12= 0的左下方;不等式x<2y,即x- 2y<0,表示的是直線 x2y=0左上方的區(qū)域.取兩區(qū)域重疊的部分，如圖中的陰影部分就表示原不等式組的解集 反思與

5、感悟 在畫二元一次不等式組表示的平面區(qū)域時(shí)，應(yīng)先畫出每個(gè)不等式表示的區(qū)域, 再取它們的公共部分即可.其步驟：畫線；定側(cè)；求“交”；表示.但要注意是否包含邊界.跟蹤訓(xùn)練1畫出下列不等式組所表示的平面區(qū)域 .x x 2y< 3,x+ y< 3,x> 0,ly> 0.y<2,(2) i2x + y> 1,、x+ y<2.教育資源考點(diǎn)二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域 題點(diǎn)二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域的畫法 解 （1）x-2y< 3,即x2y3W 0,表示直線 x- 2y 3= 0上及左上方的區(qū)域；x+yW3,即x+ y3W0,表示直線x+y3 =

6、 0上及左下方的區(qū)域；x>0表示y軸及其右邊區(qū)域;y>0表示x軸及其上方區(qū)域.綜上可知，不等式組（1）表示的區(qū)域如圖陰影部分（含邊界）所示.（2）xy<2,即xy2<0,表布直線 xy2=0左上方的區(qū)域；2x+ y> 1,即2x+ y 1 >0,表布直線 2x+ y 1=0上及右上方的區(qū)域；x+y<2表示直線x+y=2左下方的區(qū)域.綜上可知，不等式組（2）表示的區(qū)域如圖陰影部分所示.類型二不等式組表示平面區(qū)域的應(yīng)用x>1,例2已知約束條件，x+y 4W0,表示面積為1的直角三角形區(qū)域，則實(shí)數(shù)k的值為（）kx- y< 0A.1 B.1 C.0

7、 D.0 或 1考點(diǎn)不等式（組）表示平面區(qū)域的應(yīng)用題點(diǎn)平面區(qū)域的面積答案 A（含邊x>1 ,解析 條件1表示的平面區(qū)域，如圖陰影At 1,3)jr+y-4=(»x+ y - 4w 0界）所示，要使約束條件表示直角三角形區(qū)域，直線kx- y= 0要么垂直于直線 x= 1,要么垂直于直線 x+y4=0,*=0或卜=1.當(dāng)k=0時(shí)，直線 kx y= 0,即y= 0,交直線 x= 1,x+y4=0 于點(diǎn) B（1,0）, C（4,0）.此時(shí)約束條件表示 ABC及其內(nèi)部，_11 - 9 ,其面積 Saabc= 2 |BC| |AB| = 2X 3X3 = 2w 1.同理可驗(yàn)證當(dāng)k= 1時(shí)符

8、合題意.反思與感悟平面區(qū)域面積問題的解題思路（1）求平面區(qū)域的面積：首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，若不能直接畫出，應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問題，從而再作出平面區(qū)域；對(duì)平面區(qū)域進(jìn)行分析，若為三角形應(yīng)確定底與高，若為規(guī)則的四邊形（如平行四邊形或梯形），可利用面積公式直接求解，若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個(gè)三角形分別求解，再求和 即可.（2）利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題，也應(yīng)作出平面圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法去求解x- y+ 1 > 0,跟蹤訓(xùn)練2 已知不等式組<x+y1>0,表示的平面區(qū)域?yàn)?D,若直線y=kx+ 1將區(qū)域xx- y - 3 w 0D分成面積相等的兩部

9、分，則實(shí)數(shù)k的值是考點(diǎn)不等式（組）表示平面區(qū)域的應(yīng)用題點(diǎn)平面區(qū)域的面積 ABC及其內(nèi)部.解析由題意可得 A(0,1), B(1,0), C(2,3).x- y+ 1 >0,則不等式組x x+ y- 1 >0,表示的平面區(qū)域?yàn)閁x-y-3<0直線y= kx+ 1過點(diǎn)A.要把ABC分成面積相等的兩部分，需過 BC中點(diǎn)M 1, 3 .'此時(shí)k=2T2-012 j3 3.2類型三可化為二元一次不等式組的問題命題角度1 乘積類或含絕對(duì)值的條件轉(zhuǎn)化例3畫出不等式x-y2<0表示的平面區(qū)域4考點(diǎn)不等式（組）表示平面區(qū)域的應(yīng)用題點(diǎn)與平面區(qū)域相關(guān)的其他問題等價(jià)于X 、- l2+y

10、>0<X-y>0,或x -(5+yw。,其表示的平面區(qū)域如圖陰影部分（包括邊界）所示.反思與感悟（i）可以通過等價(jià)轉(zhuǎn)化把較新穎的問題化歸為老問題（2）不論（Aix+Biy+Ci）（A2X+ Bzy+C2）大于0還是小于0,其表示的區(qū)域必為“對(duì)頂角”區(qū)域, 故用特殊點(diǎn)確定區(qū)域時(shí)只需取一點(diǎn)即可 跟蹤訓(xùn)練3畫出|x|+ |y|< 1表示的平面區(qū)域考點(diǎn)不等式（組）表示平面區(qū)域的應(yīng)用題點(diǎn)與平面區(qū)域相關(guān)的其他問題< x+ y< 1, x>0, y> 0,x y< 1, x>0, y< 0,解 不等式|x|+ |y|w 1等價(jià)為xy<

11、1, x< 0, y< 0,L -x+ y< 1 , x< 0, y> 0,|x|+ |y|< 1表示的平面區(qū)域如圖所示命題角度2由實(shí)際問題抽象出二元一次不等式組 例4某人準(zhǔn)備投資1 200萬興辦一所民辦中學(xué)， 對(duì)教育市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查后， 他得到了下面的數(shù) 據(jù)表格（以班級(jí)為單位）：學(xué)段班級(jí)學(xué)生人數(shù)配備教師數(shù)硬件建設(shè)/力兀教師年薪/力兀初中45/班2/班26/班2/人40/班3/班54/班2/人因生源和環(huán)境等因素， 辦學(xué)規(guī)模以20到30個(gè)班為宜.分別用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述的限 制條件.考點(diǎn)不等式（組）表示平面區(qū)域在生活中的應(yīng)用題點(diǎn)不等式（組）表示平面區(qū)域在生活

12、中的應(yīng)用 解 設(shè)開設(shè)初中班x個(gè)，開設(shè)高中班y個(gè)，根據(jù)題意，總共招生班數(shù)應(yīng)限制在 20至30之間,所以有20wx+yw 30.考慮到所投資金的限制，得到26x+54y+2X2x+2X 3yW1 200,即x + 2y<40.另外，開設(shè)的班數(shù)應(yīng)為自然數(shù)，則 xCN, yCN.把上面的四個(gè)不等式合在一起，得到2 20Wx+ yW30, 1 x+ 2y< 40,xC N,yC N.用圖形表示這個(gè)限制條件，得到如圖陰影部分（含邊界）的平面區(qū)域 反思與感悟 求解不等式組在生活中的應(yīng)用問題，首先要認(rèn)真分析題意，設(shè)出未知量；然后根據(jù)題中的限制條件列出不等式組.注意隱含的條件，如鋼板塊數(shù)為自然數(shù)跟蹤

13、訓(xùn)練4某營養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)訂午餐和晚餐，已知一個(gè)單位的午餐含 12個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和 6個(gè)單位的維生素 C; 一個(gè)單位的晚餐含 8個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和 10個(gè)單位的維生素 C.另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物，42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和 所需午餐和晚餐單位個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)關(guān)系式.考點(diǎn)不等式（組）表示平面區(qū)域在生活中的應(yīng)用 題點(diǎn)不等式（組）表示平面區(qū)域在生活中的應(yīng)用 解設(shè)需要預(yù)訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x x>0, y>0,3x + 2y>16, 即x+ y>7,1 3x+5y>27.54個(gè)單位的維生素C.列出

14、滿足上述營養(yǎng)要求x個(gè)單位和y個(gè)單位，則依題意 x, y滿足x x>0, y>0,12x+8y>64, i6x+ 6y>42,1 6x+ 10y >54,1 .如圖所示，表示陰影部分的二元一次不等式組是1y2,AJ3x-2y+6>0,*0y> 2, B/j3x-2y+6>0,0y> 一 2, C.i3x-2y+6>0,x< 0'y> 2,D.，3x2y+6<0,x<0考點(diǎn) 二元一次不等式（組）題點(diǎn)用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域答案 C解析 觀察圖象可知，陰影部分在直線y=- 2的上方，且不包含直線y=

15、-2,故可得不等式y(tǒng)> 2.又陰影部分在直線 x=0左邊，且包含直線 x = 0,故可得不等式 x< 0.由圖象可知，第三條邊界線過點(diǎn)（ 2,0）,點(diǎn)（0,3）,故可得直線3x2y+6=0,因?yàn)榇酥本€為虛線且原點(diǎn)0（0,0）在陰影部分內(nèi)，故可得不等式3x- 2y+6>0.觀察選項(xiàng)可知選 C.x+y>0,2.在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組x x y+4>0,x< a（a為常數(shù)）表示的平面區(qū)域的面積是9,那么實(shí)數(shù)a的值為（）A.3 .2+2B. 3亞+ 2C.-5D.1考點(diǎn)不等式（組）表示平面區(qū)域的應(yīng)用題點(diǎn)平面區(qū)域的面積答案 D解析 平面區(qū)域如圖陰影部分（含邊界）

16、所示，易求得A（-2, 2）, B（a,a + 4）, C（a, a）.-1 , 一 2 cSaabc =習(xí)BC| |a+ 2|= （a+2） =9,由題意得a=1（a= 5不滿足題意，舍去）.3.完成一項(xiàng)裝修工程需要木工和瓦工共同完成.請(qǐng)木工需付工資每人 50元，請(qǐng)瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算 2 000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，滿足工人工資預(yù)算條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式為.考點(diǎn)不等式（組）表示平面區(qū)域在生活中的應(yīng)用 題點(diǎn)不等式（組）表示平面區(qū)域在生活中的應(yīng)用答案50x+40y<2SxC N*,000,4.畫出（x 2y+ 1）（x+ y 3）< 0表示的平面區(qū)域考點(diǎn)不等式（組

17、）表示平面區(qū)域的應(yīng)用解由(x 2y+ 1)(x+y-3)< 0,題點(diǎn)與平面區(qū)域相關(guān)的其他問題x- 2y+ 1>0,可得x+ y- 3w 0x- 2y+ 1”或x+ y- 3 > 0.其表示的平面區(qū)域如圖陰影部分（包括邊界）所示.1 .平面區(qū)域的畫法：二元一次不等式的標(biāo)準(zhǔn)化與半平面的對(duì)應(yīng)性.對(duì)于A>0的直線l: Ax+By+ C=0, Ax+ By+C>0對(duì)應(yīng)直線l右側(cè)的平面；Ax+By+C<0對(duì)應(yīng)直線l左側(cè)的平面.2 .由一組直線圍成的區(qū)域形狀常見的有三角形、四邊形、多邊形以及帶狀域等3 .找約束條件的關(guān)鍵是先找到?jīng)Q策變量，然后準(zhǔn)確地用決策變量表示約束條件，

18、并注意實(shí)際 含義對(duì)變量取值的影響、選擇題1 .圖中陰影部分表示的區(qū)域?qū)?yīng)的二元一次不等式組為()x+y1>0,x+ y- K 0,A. $Blx-2y+2>0x- 2y+2< 0x+ y- 1> 0,x+y1W0,C.1D.Slx- 2y+2<0|x- 2y+2>0考點(diǎn)二元一次不等式（組）題點(diǎn)用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域答案 A解析取原點(diǎn)0（0,0）檢驗(yàn)，滿足x+y-1<0,故異側(cè)點(diǎn)滿足x+y-1 >0,排除 B, D.0 點(diǎn)滿足 x-2y+2>0,排除 C.x<3,2 .不等式組Jx+y>0,表示的平面區(qū)域的面積等于 （

19、）xc 一 y + 2 > 039A.28 B.16 C.7 D.121考點(diǎn)不等式（組）表示平面區(qū)域的應(yīng)用題點(diǎn)平面區(qū)域的面積答案 B解析 作出不等式組表示的平面區(qū)域 （圖略），可知該區(qū)域?yàn)榈妊苯侨切?，其三個(gè)頂點(diǎn)的1 .坐標(biāo)分別為(3, 3), (3,5), ( 1,1),所以其面積 S= 2*8X4=16.3.不等式組(x-y+5 1x + y 廣0, 0wxw 3表示的平面區(qū)域是一個(gè)（A.三角形B.直角梯形C.梯形D.矩形考點(diǎn)不等式（組）表示平面區(qū)域的應(yīng)用題點(diǎn)與平面區(qū)域相關(guān)的其他問題答案 C解析在同一坐標(biāo)系中畫出直線x y+5= 0及x+y= 0,取點(diǎn)（0,1）,代入（xy+5）（

20、x+ y）中,得（1 + 5）x 1 = 4>0,可知點(diǎn)（0,1）在不等式（x-y+5）（x+y）>0表示的區(qū)域內(nèi)，再畫出直線 x=0和x = 3,則原不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，它是一個(gè)梯形 x y+ 1 fx+y 3 蘆 0, 4.若滿足不等式組八 “ 廠|0<x< a的值為()A. 1 B.3 C.2 D.4答案 B解析 不等式組化為f x y+ 1 > 0, x+ y- 3 > 0,、0w xw a< x - y+ 1W0,或 x+y-3<0, 10w xw a,畫出平面區(qū)域如圖所示，平面區(qū)域?yàn)?4ABCA(1,2), B(a,

21、 a+1), C(a,3a), 11 - ._面積為 S= 2(2a 2)(a1) + 2* 2X 1 = 5,的點(diǎn)（x, y）組成的圖形的面積是5,則實(shí)數(shù)a,¥=O解得a= 3或a= 1（舍去）.0WxW2,5.若不等式組，0WyW2,表示的平面區(qū)域是一個(gè)梯形，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）yw kx- 2A.(1,3C.(1,2B.2,3D.(2, i )考點(diǎn)不等式（組）表示平面區(qū)域的應(yīng)用題點(diǎn)根據(jù)約束條件求參數(shù)范圍 答案 D0<x<2,解析 如圖，3表示的區(qū)域是一個(gè)正方形，當(dāng)直線y=kx2與9W y< 2線段BC（不含端點(diǎn)）相交時(shí)，所給區(qū)域表示梯形，由圖可得= 2.2

22、- 0,x- y-2>0,6 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，M為不等式組Sx+2y1 >0,所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則直.3x+ y一 8w 0線OM斜率的最小值為（）A.2 B.1 C.-1 D.-1 32考點(diǎn)不等式（組）表示平面區(qū)域的應(yīng)用題點(diǎn)根據(jù)約束條件求參數(shù)范圍答案 C解析 不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分（含邊界）所示，x+ 2y- 1 = 0,由 S得 M(3, 1).3x+y-8=0,此時(shí)直線OM的斜率最小且為1.3x x y>0,2x+y< 2, . _. 一 ，7 .若不等式組表木的平面區(qū)域是一個(gè)二角形，則 a的取值范圍是（）y>0,1 x+ y&

23、lt; aB.(0,1A -4, +8 )A. 3)C. 1, 3 1D.（0,1 U j, +00 ；考點(diǎn)不等式（組）表示平面區(qū)域的應(yīng)用題點(diǎn)根據(jù)約束條件求參數(shù)范圍表示的平面區(qū)域如圖陰影部分（含邊答案 D"x y>0,解析 不等式組<2x+ y<2,、y>0界）所示， 求得A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 g, 3方口（1,0）,若原不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形,則a的取值范圍是 0<aW1或a>4.3x>0,8.不等式組x+yW3, 表示的平面區(qū)域?yàn)?Q,直線y=kx1與區(qū)域有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k 、y>x+ 1的取值范圍為（）A.（0,

24、3B.1,1C.（ 一巴 3D.3, i）考點(diǎn)不等式（組）表示平面區(qū)域的應(yīng)用題點(diǎn)根據(jù)約束條件求參數(shù)范圍答案 D解析 直線y=kx- 1過定點(diǎn)M（0, 1）,由圖可知，當(dāng)直線 y=kx1經(jīng)過直線y=x+ 1與直八、2- L 1）E,rr 一線 x+ y=3 的交點(diǎn) C（1,2）時(shí)，k 最小，此時(shí) kcM= 3,因此 k>3,即 kC3, + 8）.1-0故選D.二、填空題9 .如圖所示的正方形及其內(nèi)部的平面區(qū)域用不等式組表示為 .考點(diǎn)二元一次不等式（組）題點(diǎn)用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域1 < x< 1,答案2 < y< 1x<0,10 .若A為不等式組i

25、y>0,表示的平面區(qū)域，則當(dāng)a從2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線x+ yy xw 2=a掃過A中的那部分區(qū)域的面積為 .考點(diǎn)不等式（組）表示平面區(qū)域的應(yīng)用題點(diǎn)平面區(qū)域的面積答案74解析 如圖所示，區(qū)域 A表示的平面區(qū)域?yàn)?OBC內(nèi)部及其邊界組成的圖形，當(dāng)a從一2連續(xù)變化到1時(shí)掃過的區(qū)域?yàn)樗倪呅?ODEC所圍成 的區(qū)域.又 D(0,1), B(0,2),E 卜 J，2 C(-2,0)._1 1、，1、一 c 17S 四邊形 odec= Sa obc Sa bde = 2*2X2 -2X2X 1 = 2- 4 = 4.x>0,11記不等式組Sx+3y>4,所表示的平面區(qū)域?yàn)镈,若直線y=

26、a(x+ 1)與D有公共點(diǎn)，則3x+ y< 4a的取值范圍是.考點(diǎn)不等式(組)表示平面區(qū)域的應(yīng)用題點(diǎn)根據(jù)約束條件求參數(shù)范圍答案2 4_1解析 不等式組所表示的平面區(qū)域D為如圖所示陰影部分(含邊界)，且 A(1,1), B(0,4), C0, 3；直線y= a(x+1)恒過定點(diǎn)P(1,0),且斜率為a.1由斜率公式可知 kAP = 2, kBP= 4.若直線y=a(x+1)與區(qū)域D有公共點(diǎn)， _，-1由數(shù)形結(jié)合可得2<a<4.三、解答題r2x+3y-6<0,I x y 1 w 0,12.已知實(shí)數(shù)x, y滿足不等式組x- 2y+2>0,lx+ y 1>0.(1)

27、畫出滿足不等式組的平面區(qū)域；(2)求滿足不等式組的平面區(qū)域的面積.考點(diǎn)二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域題點(diǎn)二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的畫法解（1）滿足不等式組的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示2x+3y-6=0,(2)解方程組x2y+2=0,得AE2x+ 3y-6=0, 解方程組x-y- 1 = 0,所以滿足不等式組的平面區(qū)域的面積為-110 114 89S 四邊形ABCD=生 afe-Sabfc-Sa DCE=2x(2+3)xy-2x(1 + 2)x1-2><(3-1)><5=70.13.若直線y=kx+ 1與圓x2+y2+kx+my 4=0相交于P, Q兩點(diǎn)，且P, Q關(guān)于直線x+ y=0對(duì)稱，則不等式組kx-y+ 1>0, $kx my< 0,y> 0表示的平面區(qū)域的面積是多少?考點(diǎn)不等式（組）表示平面區(qū)域的應(yīng)用題點(diǎn)平面區(qū)域的面積解 P, Q關(guān)于直線x+y= 0對(duì)稱，故直線PQ與直線x+y= 0垂直