2020屆全國(guó)各地高考試題分類匯編：09空間立體幾何含答案

1、09空間立體幾何1. （2Q20北京卷）某三棱柱的底面為正三角形,其三視圖如圖所示.該三棱柱的表面積為A. 6+抬b. 6 + 240 12+612+2 近【答案】D【解析】首先確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征,然后求解其表面積即可.【詳解】由題意可得.三棱柱的上下底面為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，側(cè)面為三個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形,5 = 3x（2x2）+2則其表面積為：xlx 2x2x860°= 12+2/.故選：D.【點(diǎn)睛】（1）以三視圖為載體考查幾何體的表面積,關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)?分析，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.（2）多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的

2、表面積應(yīng)注意重合部分的處理.（3）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面,計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而 表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.2. （2Q20北京卷）如圖,在正方體/4co一4型沼中，七為巡的中點(diǎn).（i）求證：萬(wàn)G平面/心聲；di）求直線"4與平面"4"所成角的正弦值2【答案】 證明見(jiàn)解析；（n） 3.【解析】（D證明出四邊形為平行四邊形，可得出然后利用線面平行 的判定定理可證得結(jié)論;（n）以點(diǎn)Z為坐標(biāo)原點(diǎn).AB、所在直線分別為X、y、z軸建立空間直角坐 標(biāo)系”一加,利用空間向量法可計(jì)算出直線“4與平面”刀聲所成角的正弦值.【詳解】（I）如下圖

3、所示：在正方體4BCD-A#1cR中且AB =幺倒Af/C且“瑪=CR:.ABI/CPi且AB = GD,所以,四邊形ZgA為平行四邊形,則BCJ/皿M所在直線分別為“、y、z軸建立如下圖所示,: EG S平面4DR ADx u平面ADfi二EC1平面“心聲；（n）以點(diǎn)Z為坐標(biāo)原點(diǎn),4。、AB、的空間直角坐標(biāo)系'一型 ,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2 貝(&“°)、4(«&2) A(zo,2) 笈(021)西=(zo,2)行=(021) IfI廣函=0j2x+2z = 04 _2 323設(shè)平面血聲的法向量為" = (%，由1./打=°, 2y

4、 + z=0 ,_cos<令z = -2,則x = 2, P = l,則" =（NL-2）.2因此，直線與平面”4區(qū)所成角的正弦值為M.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法計(jì)算直線與平面所成角 的正弦值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3. (2Q20全國(guó)1卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四 棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè) 面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為()>/5-1A, 丁6 -1B. 25 + 1C.丁 + 1D. 2【答案】Unun* = _CD . PE【解

5、析】設(shè)CD = aE = b,利用 2.得到關(guān)于烏方的方程，解方程即可得到答案.e MLPO = Sm二 O產(chǎn)=J- - g【詳解】如圖，沒(méi)CD = a,PE = b,則4由題意Pb'ab=，化簡(jiǎn)得04(-)2-2-1=0（負(fù)值舍去）.故選：C.【點(diǎn)晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計(jì)算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道 容易題.4. （2Q20全國(guó)1卷）已知4瓦°為球0的球面上的三個(gè)點(diǎn),。9為的外接圓，若的面積為面，/b = hc = zc=8,則球°的表面積為（）A. 64Hb 48nq 36md. 32h【答案】A【解析】由已知可得等邊A/8。的外接圓半徑，

6、進(jìn)而求出其邊長(zhǎng)，得出°q的值，根據(jù) 球的截面性質(zhì)，求出球的半徑，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)圓°】半徑為L(zhǎng)球的半徑為及，依題意，得切2=4/二 =2,a4BC為 等邊三角形.山正弦定理可得4萬(wàn)=2rsin60°=2由，根據(jù)球的截面性質(zhì)"，平面相C,5 = 42 =64 乃,二球0的表面積OOX ±OA9R = OA = OO1 +OyA2 = yjoo + r2 =4本題考查球的表面積,應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5. （2Q20 全國(guó)1卷）如圖，在三棱錐F幺B。的平面展開(kāi)圖中，47=1, AB = AD=3,AB

7、LAC, ABLAD, ZC4F=30°,貝 lj cos/PCB=.1【答案】;【解析】在易庭中,利用余弦定理可求得CH,可得出CF,利用勾股定理計(jì)算出BC、BDt可得出M,然后在aBC尸中利用余弦定理可求得cosNg 的值.【詳解】"以“，AB = >j3 AC = 1由勾股定理得BC = J/B'+ZC2 =2, 同理得 3D =指二 M =在 A5C笈中 AC = 1 AE = AD = 3ZCAE = 30°CE2 =ACf + AE2-2AC AEcds3（T = 3-2xlx>/3x=l由余弦定理得2.CF=CE = l在 aBC

8、F 中 BC = 2 BE = & CF = -n CF2+BC2-BF2 1+4-611co&ZFCB =由余弦定理得2CF BC 2x1x24.故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計(jì)算能力，屬于中等題.6. （2Q20全國(guó)1卷）如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，°是圓錐底面的圓心，/笈為底面直徑,PO=-DO=. aZKC是底面的內(nèi)接正三角形，尸為上一點(diǎn), 6（1）證明：以，平面E8C ；（2）求二面角8-尸°一，的余弦值.2 -【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2） 丁.【解析】（1）要證明外上平面PAC,只需證明以1.23,攻_LPC即可；（2）以。

9、為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為工軸，OW為了軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別算一 一 n-m_cos < myn >= . 一 一出平面PCB的法向量為，平面PC咒的法向量為m,利用公式計(jì)算即可得到答案.【詳解】（1）由題設(shè)，知八0/£為等邊三角形，設(shè)4區(qū)=1,DO = CO = BO = -AE = -PO =DO = 則 2 ,22 ,所以 64pc=!po2+oc2 =乎,ps=po+ob1 =冬 = 2OA BA = 又a/BC為等邊三角形，jiij sin600,所以 2 .PA2 + PB2 = -= AB2o4,則 4m = 90 .所以同理Bf_LPC,又PCnm=

10、P所以以_L平面MC；（2）過(guò)。作aVBC交月B于點(diǎn)M因?yàn)镻OJ平面X瓦?,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4為工 軸,CW為了軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，醺-上0,0),砥&0,多 項(xiàng)-：,半乎,0)則 244 444而=（*%¥）麗 74麗=（-鼻-設(shè)平面pcb的一個(gè)法向量為"=a。馬）.n PC = Q力方=0,得- x6y及Z= 0一天+6丹一亞4=0令玉=點(diǎn) 得z=_Lm=o所以，=（立設(shè)平面PB的一個(gè)法向量為皿=（%/）mPC = QmPE = 0一馬舊y】-= o得1-2x&=0 令與=1,得為=一屈叫=?所，Q祟偽故 n-m 2、6 2yCOS <

11、;/»,«>=5-=5c 2yBODS,=設(shè)二面角的大小為。，則5 .【點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直的證明以及利用向量求二面角的大小，考查學(xué)生空間想象 能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.7. （2Q20全國(guó)2卷）如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M,在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（）NA.E【答案】A【解析】根據(jù)三視圖,【詳解】根據(jù)三視圖.B. PC. GD. H畫(huà)出多面體立體圖形，即可求得M點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn). 畫(huà)出多面體立體圖形，上的點(diǎn)在正視圖中都對(duì)應(yīng)點(diǎn)M直線4C*上的點(diǎn)在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M在正視圖中對(duì)應(yīng)在

12、俯視圖中對(duì)應(yīng)N的點(diǎn)是2,線段烏2,上的所有點(diǎn)在側(cè)試圖中都 對(duì)應(yīng)/，點(diǎn)2在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為區(qū).故選：月【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖判斷點(diǎn)的位置，解題關(guān)鍵是掌握三視圖的基礎(chǔ)知識(shí)和 根據(jù)三視圖能還原立體圖形的方法，考查了分析能力和空間想象，屬于基礎(chǔ)題.938.（2020全國(guó)2卷）已知A4BC是面積為丁 的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球。的球面上.若球。的表面積為16Tl,則。到平面HBC的距離為（）3迫A.嶼B. 2C. 1D, 2【答案】C【解析】根據(jù)球0的表面積和萬(wàn)C的面積可求得球。的半徑&和A46C外接圓半徑, ,由球的性質(zhì)可知所求距離=、廬7y./一 B【詳解】設(shè)球°的半

13、徑為R,則4疑2=16乃，解得：A = 2.9后設(shè)a/BC外接圓半徑為L(zhǎng) 邊長(zhǎng)為a,是面積為丁的等邊三角形,二球心。到平面4笈。的距離1=依一/="=1.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查球的相關(guān)問(wèn)題的求解，涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應(yīng) 用；解題關(guān)鍵是明確球的性質(zhì)，即球心和三角形外接圓圓心的連線必垂直于三角形所在平 面.9. （2020全國(guó)2卷）如圖,已知三棱柱SBC的底面是正三角形，側(cè)面8瓦是矩形，M. N分別為BU B：4的中點(diǎn)，尸為上一點(diǎn)，過(guò)BQ1和F的平面交于區(qū)(1)證明：44】MZ,且平面(2)設(shè)。為4BC的中心,若49平面EBC：£且月。=總8,求直線3E與

14、平面 44VLV所成角的正弦值.廂【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)記.【解析】(1)由MN分別為EC, 4G的中點(diǎn)MT/CG,根據(jù)條件可得以叫 可證雙要證平面%G" JL平面4/mm,只需證明SJL平面44MM即可；(2)連接NP,先求證四邊形3是平行四邊形,根據(jù)幾何關(guān)系求得HP,在4cl截 取40=母，由3C_L平面4/皿，可得/眄為4®與平面4/皿所成 角，即可求得答案.【詳解】.rMN分別為HC 4G的中點(diǎn)二卬叫又卬/%二卬必 在A/5C中，M為8c中點(diǎn)，則8C_LZM又.側(cè)面碼CC為矩形， j.BCLBB-MNUBB MN_BC MNcyAM = M 皿/“<

15、=平面 二的_L平面4/MZV又4£5C且4Gs平面4BC BCu平面/BC 二41cl/平面4BC又v B£ U平面螞GJ且平面即iG尸c平面44c = EF4ci m 9/. EFHBC又v BC JL平面4AMN ：五尸_L平面4)MN .： ef u平面班iG尸 二平面班1cl尸,平面AAMN連接可/0平面叫G尸 平面ZONPc平面即 1G尸=NP,NQMVP根據(jù)三棱柱上下底面平行，其面4NBC平面zbc=/m,面4NMfc平面44G = 4N9ON HAP故:四邊形QV7）是平行四邊形，設(shè)a/BC邊長(zhǎng)是6m可得：OM = ZP NP = ZO = Z8=6m;。為

16、4431G的中心，且4B.G邊長(zhǎng)為ON = -x6xsm6fJP=3m廠=/.3故：ON = AP = >J3m EFUBC AM BM出 HP二法 3解得：砂=泄在用G截取40 =收=所故例=2m. BlQ = EPR B.QHEP .四邊形 40P笈是平行四邊形B.EUPQ由4GL平面4'皿,故N0W為4*與平面4彳皿所成角，在拉0PN根據(jù)勾股定理可得:P07QN、Pn72m）”力=2辰m.5*國(guó)=為=典PQ 2Mm 10叵直線4"與平面4'皿所成角的正弦值：1° .【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明線線平行和面面垂直,及其線面角，解題關(guān)鍵是掌握面面垂直轉(zhuǎn)

17、為求證線面垂直的證法和線面角的定義,考查了分析能力和空間想象能力，屬于難題.10. （2020全國(guó)3卷）下圖為某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積是（）A. 6+4 &C. 6+26D. 4+2出【答案】C【解析】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，求出每個(gè)面的面積, 即可求得其表面積.【詳解】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形區(qū)k/BC =AAJDC =S&CDB -x 2x2= 2根據(jù)立體圖形可得：2根據(jù)勾股定理可得：AB = AD = DB=22二XADB是邊長(zhǎng)為2及的等邊三角形2MB JZ) sm600 = l(2)2- -= 2<

18、5根據(jù)三角形面積公式可得：222,該幾何體的表面積是：3x2 + 24 = 6+2/故選：c.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問(wèn)題,解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)三視 圖畫(huà)出立體圖形,考查了分析能力和空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.11. (2020全國(guó)3卷)已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為X【答案】3【解析】將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問(wèn)題，然后結(jié)合截面確定其半徑即可確定體積 的值.【詳解】易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，其中=且點(diǎn)M為邊上的中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為°,由于/M =疹幣=2&故3=經(jīng)*2垃=點(diǎn)設(shè)

19、內(nèi)場(chǎng)圓半徑為貝IJ： S叢"C = AOB + SBOC + S4 Aoe=xJ5xr+-xBCxr+ixJCxr222=x（3+3+2）xr = 2-r =V = rr3 = 2，解得： 2 ,其體積：33.五X故答案為：3 .【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切.一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形.明 確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置.確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.如球內(nèi)切于正 方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方 體的頂點(diǎn)均在球面上,正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.12. （2020全國(guó)3卷）如圖，在長(zhǎng)方體抽8 44G4中.點(diǎn)及&q

20、uot;分別在棱叩通罵BF = FBl(i)證明：點(diǎn)G在平面z即內(nèi)；(2)若/木=2, AD=lt 44=3,求二面角'一班-4的正弦值.匹【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) 一亍.【解析】(1)連接G*、C1F,證明出四邊形"為平行四邊形，進(jìn)而可證得點(diǎn)G在 平面AEF內(nèi)；(2)以點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，G4、G4、GC所在直線分別為x、夕、z軸建立空間直角 坐標(biāo)系G 一孫2.利用空間向量法可計(jì)算出二面角“一部一4的余弦值,進(jìn)而可求得二 面角/一班-4的正弦值C.G=CG廠"【詳解】在棱CG上取點(diǎn)G,使得 2,連接2X7、FG、G% G尸在長(zhǎng)方體Z8CO_44GQ1 中 AD

21、/IBC且 AD = BC且 BB、=CC122-C.G = -CG:.CG = -CCX =-BB.=BF1 2 防=2厘3 13f且CG = B尸所以，四邊形為CG尸為平行四邊形，則Z尸/DG且/尸= QG,同理可證四邊形0gG為平行四邊形二GH/DG且CA = DG, 二G/尸且GE =/尸，則四邊形YEG尸為平行四邊形，因此，點(diǎn)G在平面ZS內(nèi)；(2)以點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，04、G4、GC所在直線分別為X、y、z軸建立如下圖所 示的空間直角坐標(biāo)系G一孫2,則 4(23,3)4(2,。)£(2,0,2)尸(0,14)商=(0,-LT)萬(wàn)=(-2/),-2)羽二 (O,-L2) = (

22、-2,0,1) ，IIf設(shè)平面AEF的法向量為*(無(wú)，必，馬)， r-.m-AE = 0必Z =0由 m-AF=Q 得=0取Z =T 得玉=乃=1 則而= (1»LT)n-A1E = 0布=0,得設(shè)平面4 m的法向量為=(/，為，為), -y2 + 2z2 =0由3辰揚(yáng)=也7-2xj I z2 =0 取z?=2 得巧=1 y2 =4 則 =（L4,2）/ 叩/Icos 0 =- 二 sine = Jl-cos26設(shè)二面角“一區(qū)“一4的平面角為，則 7 ,7疝因此，二面角z一m-4的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)在平面的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角角，考查推 理能力與計(jì)算能

23、力，屬于中等題.13. （2020江蘇卷）如圖,六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的,已知 螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2 cm,高為2cm,內(nèi)孔半輕為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體 積是 cm【答案】 2【解析】先求正六棱柱體積，再求圓柱體積,相減得結(jié)果.6x x22x2=12后次導(dǎo) 2 =-【詳解】正六棱柱體積為4,圓柱體積為2212 出，所求幾何體體積為2，故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查正六棱柱體積、圓柱體積,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.14. （2020江蘇卷）在三棱柱/BC-4BQ】中，AB1AC, B】C_L平面E,歹分別是AC, BQ的中點(diǎn).4（1）求證：平面/BQ1

24、；（2）求證：平面SB】C_L平面SB瓦.【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）證明詳見(jiàn)解析.【解析】（1）通過(guò)證明即加之來(lái)證得加平面皿0.（2）通過(guò)證明N8JL平面”4C,來(lái)證得平面/4。J平面”颶.【詳解】（1）由于&尸分別是4c的中點(diǎn)所以邱74. 由于w，平面/4G,eu平面”4G,所以efu平面”4G.（2）由于4C_L平面ZBC, /Bi 平面4BC,所以41c由于C/C,/Cc4C = C所以平面/配，由于/Bl平面/啊.所以平面eCJ平面/叫【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明,考查面面垂直的證明，屬于中檔題15 （2020新全國(guó)1山東）日暑是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀制，利用

25、與唇面垂直的唇針 投射到暑面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間.把地球看成一個(gè)球（球心記為。），地球上一點(diǎn)月的緯度是指。4與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)工處的水平面是指過(guò)點(diǎn)月且與。4垂直的平面.在點(diǎn) 月處放置一個(gè)曰唇.若唇面與赤道所在平面平行，點(diǎn)/處的緯度為北緯4",則唇針與點(diǎn)工處的水平面所成角為（）A. 20PB. 4WC. 50°D. 90°【答案】B【解圻】畫(huà)出過(guò)球心和唇針?biāo)_定的平面截地球和署面的截面圖，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定 理和線面垂直的定義判定有關(guān)截線的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)/處的緯度，計(jì)算出唇針與點(diǎn)/處的水 平面所成角.【詳解】畫(huà)出截面圖如下圖所示,其中S是赤道所在平面的截線；I

26、是點(diǎn)Z處的水平面 的截線，依題意可知3； 43是唇針?biāo)谥本€.m是署面的截線,依題意依題意，唇面 和赤道平面平行，唇針與椎面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知、根據(jù)線面垂直的定義可得由于 4OC =町,雨CD 所以 N6UG = 4OC = 40。由于 ZOAG + ZGAE = ZBAE+ZGAE = 90°所以如笈= /aG = 4O。也即唇針與點(diǎn)/處的水平面所成角為NB/H = 4O0.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化,考查球體有關(guān)計(jì)算，涉及平面平行，線面垂 直的性質(zhì)，屬于中檔題.16. （2020新全國(guó)1山東）某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí),學(xué)生加工制作零件,零件的截面如

27、圖所 示.。為圓孔及輪廓圓弧SB所在圓的圓心，金是圓弧力B與直線4G的切點(diǎn)，B是圓弧力B3與直線BC的切點(diǎn)，四邊形DEFG為矩形，BC1DG.垂足為。，tan/ODC= 5 , BH/DG E尸=i2cm, DE =2 cm,力到直線DE和的距離均為7 cm,圓孔半徑為1 cm,則圖中陰影部分的面積為 cm-.4 + 一左【答案】2taaZODC =-【解析】利用5求出圓弧所在圓的半徑，結(jié)合扇形的面積公式求出扇形z。8的面積，求出直角a”的面積，陰影部分的面積可通過(guò)兩者的面積之和減去半個(gè)單位圓的面積求得.【詳解】設(shè)OB = " = L由題意=/N = 7,打尸=12,所以人尸=5因?yàn)?/p>

28、/P = 5,所以4Gp = 45°,因?yàn)榈?/OG,所以4皿=49，因?yàn)?G與圓弧/8相切于/點(diǎn),所以O(shè)/J./G,即4H為等腰直角三角形;在直角.中OQ = 5當(dāng)DQ=7當(dāng)癡n /C" 00 3 3& “ 5&tanZODC = = -21r = 25r因?yàn)镈Q 5,所以 22,解得，=aH=x2/x2 應(yīng)=4等腰直角AOAH的面積為2;扇形4OB的面積S=；x 號(hào) x（2 可=3nc c 1,5%, 5不A +邑一一萬(wàn)=4 + 4 + 所以陰影部分的面積為22 .故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角困數(shù)在實(shí)際中應(yīng)用，把陰影部分合理分割是求解的關(guān)鍵，以

29、勞 動(dòng)實(shí)習(xí)為背景.體現(xiàn)了五育并舉的育人方針.17. （2020新全國(guó)1山東）已知直四棱柱的棱長(zhǎng)均為2, ZSXD=600 .以 4為球心，&為半徑的球面與側(cè)面BCGB：的交線長(zhǎng)為.拒?！敬鸢浮? .【解析】根據(jù)已知條件易得* = "側(cè)面4cs,可得側(cè)面4GC8與球面的交線上的點(diǎn)到無(wú)的距離為直，可得側(cè)面44cB與球面的交線是扇形笈尸g的弧松.再 根據(jù)弧長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】如圖：取4G的中點(diǎn)為碼的中點(diǎn)為尸,0G的中點(diǎn)為G,因?yàn)槿纭?6吃直四棱柱/*8一44G4的棱長(zhǎng)均為2所以44G為等邊三角 形,所以*=/，“人“】，又四棱柱一44G4為直四棱柱，所以媽J平面431GA,所

30、以驅(qū)工44.因?yàn)?4n4G=4所以平,側(cè)面4cleb設(shè)P為側(cè)面4GCS與球面的交線上的點(diǎn)，則4班，因?yàn)榍虻陌霃綖?*=所以|砌=屈柏?=川=正，所以側(cè)面居GCB與球面的交線上的點(diǎn)到笈的距離為0.因?yàn)閨即H XG |=應(yīng)，所以側(cè)面458與球面的交線是扇形EFG的弧FG ,兀jrZBiEF = ZClEG = -ZFEG = -因?yàn)?,所以2,FG = -xy/2 = n所以根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得22 .故答案為：2 .【點(diǎn)睛】本題考查了直棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了直線與平面垂直的判定，考查了立體幾何中的軌跡問(wèn)題，考查了扇形中的弧長(zhǎng)公式,屬于中檔題.18. （2020新全國(guó)1山東）如圖，四棱錐P一為8。的底

31、面為正方形，PDJ底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為I./ x I） a（1）證明：平面PDC；（2）已知尸。=4。=1, Q為/上的點(diǎn).求尸B與平面QCD所成角的正弦值的最大值.區(qū)【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2） 3 .【解析】（1）利用線面垂直的判定定理證得40,平面MC,利用線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理，證得從而得到平面產(chǎn)口。；（2）根據(jù)題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系.得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)a肛°），之 - 后求得平面08的法向量以及向量麗的坐標(biāo)，求得005為口8的最大值，即為直線PB與平面所成角的正弦值的最大值.【詳解】（1）證明：在正方形/與8中，adbc因

32、為/O（Z平面PBC, BCu平面P8C ,所以平面PHC,又因?yàn)閆Ou平面R4Z）,平面HiOfl平面PBC = /,所以4D/因?yàn)樵谒睦忮Fptbs中，底面Ms是正方形，所以'o,oj.uoa且m平面ABCD所以4。1PD,：. 以皿因?yàn)镃DflPQ =。所以/ JL平面PDCI（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系。一到2.因?yàn)?PD = AD=l 則有ZXO,O,O),C(O,LO),Z&O,O),P(O,(M),E(LLO)設(shè) a叫04)則有比=(0,L0),而= (m,(MX而=QL-DDC >i = 0Jy = 0設(shè)平面0c。的法向量為7 = ("。則I而歷=

33、。，即d+ / = °,- 令x = l,則z = m,所以平面0c刀的一個(gè)法向量為" = aa-m),則cos<w,PB>=n-PB _ 1+0+mw|P8| 出 JnP+l根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦r urG、/"+1|cos v%P8>|=值，所以直線與平面所成角的正弦值等于ll + 2m + m2 m2 + l岑卜磊4小碧咚g邛當(dāng)且僅當(dāng)加=1時(shí)取等號(hào).所以直線尸8與平面08所成角的正弦值的最大值為3 .【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面平行的判定和性質(zhì). 線面垂

34、直的判定和性質(zhì),利用空間向量求線面角，利用基本不等式求最值,屬于中檔題目.19. (2020天津卷)若棱長(zhǎng)為26的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為 ()A. 1 拉B. 24乃c. 36乃D 144【答案】C【解析】求出正方體的體對(duì)角線的一半,即為球的半徑，利用球的表面積公式，即可得解.【詳解】這個(gè)球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對(duì)角線的一半，=3,所以，這個(gè)球的表面積為S = 4乃乂3, 二36乃故選:q【點(diǎn)睛】本題考查正方體的外接球的表面積的求法，求出外接球的半徑是本題的解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.求多圓體的外接球的面積和體積問(wèn)題，常用方法有：（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢

35、復(fù)為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對(duì)稱性，球心為上下底面外接 圓的圓心連線的中點(diǎn),再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果設(shè)計(jì)幾何體有兩個(gè)面相交, 可過(guò)兩個(gè)面的外心分別作兩個(gè)面的垂線,垂線的交點(diǎn)為幾何體的球心.20. （2020天津卷）如圖,在三棱柱44G中，B«L平面ABC.AC1BC7AC=BC = 2C0=3,點(diǎn)A *分別在棱"4和棱CCi上，且ZOT Ci M為棱44的中點(diǎn)（I ）求證：GM A. "D ；di）求二面角萬(wàn)一4打一。的正弦值;（in）求直線zb與平面期"

36、所成角的正弦值同 G【答案】(i)證明見(jiàn)解析；(id 6 ；(in) 3I【解析】以C為原點(diǎn),分別以Cd，CB,CG的方向?yàn)閤軸，y軸,Z軸的正方向建立空間 直角坐標(biāo)系.II.(I)計(jì)算出向量G"和4”的坐標(biāo)，得出即可證明出GW4”；(n)可知平面明"的一個(gè)法向量為百.計(jì)算出平面片切的一個(gè)法向量為"利用空間向量法計(jì)算出二面角“一4"一。的余弦值.利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求解結(jié) 果；(m)利用空間向量法可求得直線與平面"片區(qū)所成角的正弦值.【詳解】依題意.以°為原點(diǎn)，分別以瓦、布、3的方向?yàn)檩S、夕軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(

37、如圖).C(0,0,0) J (2,0,0) 5(a2,0) q(0,0,3)UJ、4億0,3)4(023)。(20,1) (0,0,2)M(LL3)依題意， ()()從而 G"-4Q = 2_2+0 = 0 所以 £M_L4Q；(n)依題意，a=(Z0°)是平面鶴"的一個(gè)法向量,),9 ) *) 為平面。叫"的法向量,nKB1=0< 則”二°,即2y+z=02x-z=°,不妨設(shè)X = l.可得 =(LT2)cos<CAyn>= / 一 «u5oA sin < CAyn >= Jl -

38、cds <CAyn> = n n > n6 .所以，二面角8一4百一”的正弦值為、函/（m）依題意，/* =（NZ°）.由（口）知” =（LL2）為平面叫"的一個(gè)法向量. 于是cos< 萬(wàn),3>=昌=AB-皂所以，直線ZE與平面所成角的正弦值為3 .【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量法證明線線垂直,求二面角和線面角的正弦值，考查推理 能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.21. （2020浙江卷）某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）714A. 3B. 3C. 3D. 6【答案】力【解所】根據(jù)視圖還原原圖,然后根據(jù)根體和

39、錐體體積計(jì)算公式，計(jì)算出幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知,該幾何休是上半部分是三棱錐，下半部分是三棱柱， 且三棱錐的一個(gè)側(cè)面垂直于底面，且棱錐的高為1,棱柱的底面為等腰直角三角形,棱柱的高為2,所以幾何體的體積為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)三視圖計(jì)算幾何體的體積,屬于基礎(chǔ)題.22. (2020浙江卷)已知圓錐展開(kāi)圖的側(cè)面積為2兀且為半圓，則底面半徑為【答案】1【解析】利用題目所給圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的條件列方程組，由此求得底面半徑.兀xrxl = 2乃； 12xxr = x2xx/_【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為L(zhǎng)母線長(zhǎng)為7,則I 2,解得'=L，= 2.故答案為：1【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓錐側(cè)面展開(kāi)圖有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.23. (2020浙江卷)如圖,三棱臺(tái) DEJ4BC 中，