第6章-無限長數字濾波器設計

1、第6章 無限沖激響應(IIR） 濾波器設計6.1 濾波器的基本概念；6.2 模擬低通濾波器設計；6.3 模擬高通、帶通及帶阻濾波器設計；6.4 沖激響應不變法；6.5 雙線性Z變換法；6.6 數字高通、帶通及帶阻濾波器設計；| )(| )(|;)(| )(|;)(| )(jjjeYceHbeXa( )( )( )|,|ccx nh ny n通過系統(tǒng)后使輸出中不再含有的頻率成分 而使的成分不失真的通過.1. 濾波原理6.1 濾波器的基本概念若 中的有用成分 和希望去除的成分 各自占有不同的頻帶, 通過一個線性系統(tǒng)可將 有效去除. 分類: 低通(LP), 高通(HP),帶通(BP), 帶阻(BS)

2、 2. 濾波器的分類( )x n( )( )( )x ns nu n加法性噪聲( )u n( )s n( )u n每一種又有模擬(AF)、數字(DF)兩種濾波器.對數字濾波器, 從實現方法上, 有IIR濾波器和FIR濾波器之分, 轉移函數分別為:NkkkMrrrzazbzH101)(10)()(NnnznhzHFIR DF:IIR DF:種類：維納濾波器、卡爾曼濾波器、線性預 測、自適應濾波器( )( ) ( )x ns n u n乘法性噪聲( )( )* ( )x ns nu n卷積性噪聲信號的頻譜和噪聲道頻譜混迭在一起，靠經典的濾波方法難以去除噪聲。目標：從含有噪聲的數據記錄(又稱時間序列

3、)中估計出信號的某些特征或信號本身。阻帶下限截止頻率又稱通帶上限頻率通帶截止頻率:)(:sp3. 濾波器的技術要求低通：p：通帶允許的最大衰減；s：阻帶內應達到的最小衰減| )(|lg20| )(| )(|lg20| )(|lg20| )(| )(|lg2000ssppjjjsjjjpeHeHeHeHeHeH單位 (dB)若幅度下降到 0.707, 則幅平方下降 0.5 （半功率點）：0|()|120lg20lg3dB0.707|()|pjpjH eH e若幅度下降到 0.01：0|()|120lg20lg40dB0.01|()|pjsjH eH e高通：p：通帶允許的最大衰減；s：阻帶內應達

4、到的最小衰減帶通：p：通帶允許的最大衰減；s ： 阻帶內應達到的最小衰減帶阻：p：通帶允許的最大衰減；s：阻帶內應達到的最小衰減1. 給定所設計的濾波器的技術指標：,pspssfLP, HP13,slshpssfBP, BS 2. 設計出一個 ，使( )H z()jH e滿足給定的技術要求沒有考慮相位數字濾波器設計的一般步驟:給定數字濾波器的技術指標 （更多）,psps 得到數字低通、高通、帶通、帶阻濾波器( )H z得到模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器( )H s轉換成模擬低通濾波器的技術指標,psps 設計模擬低通濾波器( )G p轉換成模擬濾波器的技術指標 （更多）,psps數字IIR濾

5、波器設計的具體步驟：,( ):ppssG s給定模擬低通濾波器的技術指標設計低通濾波器NNNNNNNNscscsccsdsdsddsG 11101110)(210lg |()|,.pspsG j使其對數幅頻響應在處分別達到的要求6.2 模擬低通濾波器的設計一、概述10/ )(210| )(|jG22()1( )10lg10lg()|()|X jY jG j )(定義衰減函數22()10lg|()|()10lg|()|pppsssG jG j 上面兩式將要求的衰減和模擬濾波器的幅平方特性聯(lián)系了起來。注意，由于衰減指標只有兩個，因此也只能和幅平方特性的兩個特殊頻率相聯(lián)系。 我們的目的是由幅平方特性

6、 求出模擬濾波器的轉移函數 ，如何將二者聯(lián)系起來( )G s2|()|G j*2( )( )( ) ()|()|sjG s G sG s GsG j 因為2|()|( )G jG s就很容易得到所需要的所以，由 注意，由于由于衰減指標只有兩個，只能和幅平方特性的兩個特殊頻率相聯(lián)系，因此，幅平方特性的表達式必須簡化。2| )(|jG將 按不同的原則簡化，可得到不同形式的濾波器，即不同的 表達式：( )G s.,)(11| )(|222為待定的濾波器階次為待定常數 NCCjGN1. 巴特沃思(Butterworth)濾波器221( )cos ( cos)nCn 定義)(11| )(|222nCjG

7、2. 切比雪夫I型(Chebyshev-I)濾波器222221|()|()1(/)nsnsG jCC3. 切比雪夫II型濾波器)(11| )(|222nUjG2( )nU：Jacobian 函數本課程只討論 Butterworth 和 Chebyshev-I 濾波器的設計4. 橢圓濾波器1. 將實際頻率歸一化，得歸一化幅平方特性2221|()|,1NpG jC2. 求 和 CN2221( )10lg10lg1|()|NCG j 由：22( )/10101NC 有：/1022/ 0221101101psNpNsCC/102101pC求出C二式相比二、Butterworth濾波器的設計對Butte

8、rworth濾波器，通常 ，所以3dBp/1020.31011011pC 22211|()|11(/)NNpG j 如何由上述的幅平方特性得到 系統(tǒng)的轉移函數( )G psNlg/110lg10/sspsNlg/110110lg10/10/3. 確定( )G p/psjpj /pppjjs 221|()|1NG j/pj2211( ) ()1 (/ )1 ( 1)NNNG p Gppjp 21 ( 1)0NNp 21exp2kkNpjNNk2 , 2 , 1 即 個極點均勻分布在 平面半徑為 1的圓上，應取左半平面的 個予 ，右半平面的 個賦予 2N( )s pN( )G pN()Gp( )

9、()G p GpNk, 2 , 1 則：則：)()(1)(21NpppppppG 1,.kNkNpp 若為偶數及這對共軛極點 構成一個二階系統(tǒng)121( )()()1212 cos() 12kkNkGpppppkNppN 2/1)()(NkkpGpG為偶數N21exp2kkNpjN,( )(1)/2.NG pN 若 為奇數由一個一階系統(tǒng)和 個二階系統(tǒng)相級聯(lián)2/ )1(1)(11)(NkkpGppG為奇數N又因為后得到,)(pGppsjjp/,( ).pspG s用代替 即得實際需要的/( )( )pp sG sG p 反映了實際頻率p20,0, |()|1,(0)0,0G j (1) 當時即在處

10、無衰減;4.巴特沃思濾波器幅頻響應的特點:2,1, |()|0.5, |()| 0.707,3dB;pppppG jG j (2) 當即時2221, |()|,(), |()|,|()|G jNG jG j(3) 當 由零增加到 時單調減小單調增加越大減小的越慢 即在通帶內越平；2,1, |()|,1,ppG jN (4) 當即時也是隨著的增加而單調減少 但因所以這時比通帶內衰減速度加快越大 衰減速度越大;22(5) |()|0, 1G jN 在處對的一階 二階 直至階導數皆為零.例：給定 如下技術指標，設計模擬低通 Butterworth濾波器5000Hz,10000Hz,3dB,30dB,

11、pspsffStep1. 1,2,3dB,30dB,pspsStep3. exp (2)5,1,2,3,4,5kpj kkStep4. 12345( ) 1 ()()()()()G pppppppppppStep5. 20542500010( )( )(10)()()spG sG psss52lg/110lg; 1. 210/30NCStep切比雪夫多項式的特點：221( )cos ( cos)nCn 1coscos( )cos()nCn )(11| )(|222nCjG三、切比雪夫I型模擬低通濾波器設計1112( )2( )( )( )2( )( )nnnnnnCCCCCC 的多項式11(

12、)cos(1)cos()cos( )sin()sin( )( )cos(1)cos()cos( )sin()sin( )nnCnnnCnnn 012210332142432( )cos(0)1( )cos( )( )2( )( )21( )2( )( )43( )2( )( )881CCCCCCCCCCC 的確是 的多項式首項系數是12n(1)1nC,1. 將頻率歸一化 得歸一化的幅平方特性 即)(11| )(|222nCjG1設計步驟：)(1lg10)(22nC110) 1 (10/22pnC2(1)1nC/102101p2. 求 和n為求濾波器的階次，還要利用另外的條件：注意：21( )1

13、0lg|()|G j /1022221()101cosh cosh ()snssCn因此： 時，切比雪夫多項式要重新定義，采用雙曲函數：利用另外的條件：,:1sssNote 1( )cos( cos)nCn必須不大于11cosh/2sinh/2xxxxxeexee/10212/10101cosh cosh ()101spsna11cosh ( )cosh ()san3.( )G s確定221( ) ()1(/ )nG p GpCpj221(/ )0nCpj求根1coscosh()n arjpj 則22(21)sinsinh()2(21)coscosh()2kkpnkjn2,( ),(),( )

14、,1,2,knpG pGpG pkn此式求出的個極點一半屬于一半屬于把左半平面的極點賦于即nk2 , 2 , 1 最后導出：切比雪夫濾波器的極點分布實際轉移函數為111( )( )2()pnpnpnkpkG sG psp 反映了實際頻率nkknpppG11)(21)(最后：p模擬高通, 帶通, 帶阻濾波器設計流程6.3 模擬高通、帶通及帶阻濾波器的設計設計模擬低通濾波器G(p)給定高通、帶通或帶阻的技術指標,psps 頻率轉換頻率轉換低通濾波器技術指標,psps 得到高通、帶通或帶阻濾波器H(s)頻率轉換頻率轉換pqspqj 想辦法實現高通到低通的轉換： 低通幅頻低通幅頻高通幅頻高通幅頻給定高

15、通濾波器的技術指標：,psps先作頻率歸一化：,1,1pps 一、模擬高通濾波器的設計10sp 01sp11或1 由：,1p 如何：( )G p( )H s（HP）實現：設計出( )G p（LP）111qjjpp :p:q歸一化高通濾波器的復變量歸一化低通濾波器的復變量11( )( )( )pqH qG pGqppsqjj/( )( )|ppsH sG p得：于是可得到模擬高通濾波器的轉移函數 后面帶通、帶阻濾波器和低通濾 波器的轉換過程大體相同。對帶通濾波器，如何實現頻率的歸一化定義：有 ：31BWBW 用帶寬歸一化二、模擬帶通濾波器的設計然后要實現帶通濾波器技術指標到低通的轉換。關鍵問題是

16、找到 對應關系： 定義 中心頻率：2213 221312300sppsslsh2231/22p311,1p22221331()sps 由 于2222222213222( / )( / )()()( /)BWBWBWqjpjjjqjsqqs 所以有21 3()31( )( )spsH sG p 可得N階低通濾波器轉換到帶通后, 階次變?yōu)?N.帶阻濾波器頻率歸一化方法同帶通濾波器定義：有 ：31BWBW 三、模擬帶阻濾波器的設計2132000slshspps22/1322p312221,1,p31213)(ssp31213)(| )()(ssppGsH得到：及帶阻濾波器的轉移函數： 以上討論的是模

17、擬低通、高通、帶通及帶阻濾波器的設計，然而這并不是我們的目的。我們的目的是設計數字濾波器。首要的問題是如何將數字濾波器的技術指標轉換為模擬濾波器的技術指標，最后再實現模擬濾波器到數字濾波器的轉換。6.4 6.4 用沖激響應不變法設計用沖激響應不變法設計 IIR DFIIR DF給定數字濾波器的技術指標 （更多）,psps 轉換成模擬濾波器的技術指標 （更多）,psps轉換成模擬低通濾波器的技術指標,psps 設計模擬低通濾波器( )G p得到模擬高通、帶通、帶阻濾波器( )H s得到數字高通、帶通、帶阻濾波器( )H zsz,psps ,.ps.,不變ps利用上一節(jié)的方法，可設計出模擬濾波器(

18、 ),( )G pG s( )H z最直接到方法，將：sT 利用：1,lnssTszeszT1ln( )( )sszTH zG s但這樣做， 將不再是 的有理多項式，給極零分析帶來困難。( )H zz)(1)()()(0kssjnnsjkjGTeHznThzH0)()(| )()(nsnTtsnTttgtgnThs令：沖激響應不變法模擬濾波器的沖激響應數字濾波器的單位抽樣響應1( )( )1( )()ssTnTtsAAG sH zsezg tAeh nTAe基本轉換單元：22( )( )sin() ( )()tG sg tet u tssssTsTsTeTezzTzezH22)cos(2)si

19、n()(1111zessT( ),( )( ),G sG sH z總可由一階和二階系統(tǒng)并聯(lián)或級聯(lián)而成故由上面兩式可實現由到的轉換 該轉換所遵循的基本關系仍是ssTez (1),.spspsT 利用將轉換為.,不變ps).()2(sG設計低通模擬濾波器).()() 3(zHsG轉換為將|()|()|,jH eG j相對于有較大失真 這是因為抽樣頻率過小時，易產生混迭。此外，該方法對高通、帶阻濾波器不適用。線性轉換關系6.5 用雙線性Z變換法設計 IIR DF放棄上一節(jié)的線性轉換關系，找新的關系：sz 211jjsejT e sTsTzss)2/(1)2/(1則112zzTss令：雙線性z變換/2

20、/2/2/2/2/22()()2 sin(/2)cos(/2)jjjjjjsseeejT eeejT 2tan(/2)2arctan(/2)ssTT 非線性關系，但是一對一的轉換2tan(/2)sT 非線性關系DF:100Hz,300Hz,1000Hz0.2 ,0.6 ,2AF:tan(/2)685.82109(Hz)2tan(/2)2452.762438(Hz)psspsppssssffFTT 設計的 AF 并不是按給定的技術指標，但再由 變回 后，保證了 DF的技術要求。sz又稱為頻率的預變形（Freq. Warping) 。例如 ： 2tan(/2)sT ,psps給定 DF 技術指標Step1.),2/tan(2),2/tan(2ssspspTTStep2. 頻率轉換：)2/tan(/ )2/tan(, 1pssp( ),( )( )G pG pG s設計出 AF Step3.Step4.211( )( )|szsT zH zG s數字低通濾波器的設計步驟：因為11tan(/2)1ppszpz212,tan(/2)1pppssszpsT zT 所以：這樣：系數 可以省略，因此，雙線性Z變換可定義為 ：2sT11zzsssz11)2tan()arctan(2這一組定義和前面的定義，對最后的 DF 而言，結果是一樣的，差別是中間設計的 AF， 由于