有限元考試精彩試題及問題詳解——第一組

1、有限元考試試題及答案一、簡答題（ 5 道，共計 25 分）。1. 有限單元位移法求解彈性力學(xué)問題的基本步驟有哪些？（5 分）答：（1）選擇適當(dāng)?shù)膯卧愋蛯椥泽w離散化；（2）建立單元體的位移插值函數(shù)；（3）推導(dǎo)單元剛度矩陣；（4）將單元剛度矩陣組裝成整體剛度矩陣；（5）代入邊界條件和求解。2. 在劃分網(wǎng)格數(shù)相同的情況下，為什么八節(jié)點四邊形等參數(shù)單元精度大于四 邊形矩形單元？ （5 分）答：在對于曲線邊界的邊界單元， 其邊界為曲邊， 八節(jié)點四邊形等參數(shù)單元邊上三個節(jié) 點所確定的拋物線來代替原來的曲線，顯然擬合效果比四邊形矩形單元的直邊好。3. 軸對稱單元與平面單元有哪些區(qū)別？ （5 分） 答：軸

2、對稱單元是三角形或四邊形截面的空間的環(huán)形單元， 平面單元是三角形或四邊形平 面單元； 軸對稱單元內(nèi)任意一點有四個應(yīng)變分量， 平面單元內(nèi)任意一點非零獨立應(yīng)變分量有 三個。4. 有限元空間問題有哪些特征？ （5 分） 答：（1）單元為塊體形狀。常用單元：四面體單元、長方體單元、直邊六面體單元、曲 邊六面體單元 、軸對稱單元。 （ 2）結(jié)點位移 3 個分量。（ 3）基本方程比平面問題多。 3 個 平衡方程， 6 個幾何方程， 6 個物理方程。5. 簡述四節(jié)點四邊形等參數(shù)單元的平面問題分析過程。 （ 5）分） 答：（1）通過整體坐標系和局部坐標系的映射關(guān)系得到四節(jié)點四邊形等參單元的母單元， 并選取單元

3、的唯一模式；（2 ） 通過坐標變換和等參元確定平面四節(jié)點四邊形等參數(shù)單元的幾何形狀和位移 模式；（3 ）將四節(jié)點四邊形等參數(shù)單元的位移模式代入平面問題的幾何方程，得到單元應(yīng)變 分量的計算式，再將單元應(yīng)變代入平面問題的物理方程，得到平面四節(jié)點等參 數(shù)單元的應(yīng)力矩陣；（4）用虛功原理求得單元剛度矩陣，最后用高斯積分法計算完成。二、論述題（3道,共計30分）。1. 簡述四節(jié)點四邊形等參數(shù)單元的平面問題分析過程。（io分）答：（1）通過整體坐標系和局部坐標系的映射關(guān)系得到四節(jié)點四邊形等參單元的母單元，并選取單元的唯一模式；（2）通過坐標變換和等參元確定平面四節(jié)點四邊形等參數(shù)單元的幾何形狀和位移模式；（

4、3） 將四節(jié)點四邊形等參數(shù)單元的位移模式代入平面問題的幾何方程，得到單元應(yīng)變分量的計算式，再將單元應(yīng)變代入平面問題的物理方程，得到平面四節(jié)點等參數(shù)單元的應(yīng)力矩陣；（4）用虛功原理求得單元剛度矩陣，最后用高斯積分法計算完成。2軸對稱問題的簡單三角形單元是否是常應(yīng)力，常應(yīng)變？為什么？（10分）答：不是常應(yīng)力和常應(yīng)變。因為應(yīng)變與位移分量的關(guān)系式為 ：.u.:r.r1zrz:wcz：u : w:z : r，這里除含有微分算符外，還包含了 w Ju的倒數(shù)項1/r ,則即使位移模式為線性的,即不會是常應(yīng)變。應(yīng)力應(yīng)變的物理關(guān)系為但由于該項的存在，使得應(yīng)變與坐標有關(guān),士 / - b：，由于應(yīng)變不是常應(yīng)變，則所

5、求得的應(yīng)力也不會是常應(yīng)力。3在薄板彎曲理論中做了哪些假設(shè)？薄板單元和厚板單元的基本假設(shè)有什么不同？ （ 10分）答：四種假設(shè)：1）變形前的中面法線在變形后仍為彈性曲面的法線。2）變形前后板的厚度不變。3）板變形時，中面無伸縮。4）板內(nèi)各水平層間互不擠壓。不同點：薄板單元假設(shè)橫向纖維無擠壓，板的中面法線變形后仍保持為直線，該直線垂直于變形后的中面， 但是厚板單元的假設(shè)考慮橫向變形的影響，板的中面法線變形后仍基本保持為直線，但該直線不再垂直于變形后的中面，法線繞坐標軸的轉(zhuǎn)角不再 是撓度的導(dǎo)數(shù)，而是獨立的變量。三、計算題（3道，共計45分）1如圖所示等腰直角三角形單元，其厚度為t，彈性模量為E，泊松

6、比=0 ；(12 分)2（a, a），點 3（0, 0）(1)形函數(shù)矩陣N為12 (0 ax _ ay) a12 (0 lx ay) ； a2 (a2 - ax 0jy) aB和應(yīng)力矩陣S分別為01NiNi應(yīng)變矩陣_a1 |B1 = I 0.a01-aa12a_00'a 0jN - IlN1 IN2 I N3 1-IN 1 N2 N3 1'-a0'.000 ； B = lB1 B 2 民-a單元的邊長及結(jié)點編號見圖中所示。求（1）形函數(shù)矩陣N（2）應(yīng)變矩陣B和應(yīng)力矩陣S單元剛度矩陣Ke解：設(shè)圖1所示的各點坐標為點1（a，0），點1 2于是,可得單元的面積為人=丄，及2-

7、a00-a03 =耳0-a,S2 E2_0a,S3 = _E200aaa1-la1 a1 a010-a一 22 -2t2 -S = D 丨 BB2B31-IS-|S2S3 I(3)單元剛度矩陣Ke3-1-10-21 1-131-20-1K12K 22K13IK 23Et _ 4-101-2100200-10K 32K 33 -2000201-1-1001 一K11etK = B DBtA= K21K 312. 如圖所示的四結(jié)點矩形單元，求出節(jié)點3的位移。設(shè)厚度t = 1m, i= 0, E為常量。(13分)注：對于四節(jié)點矩形單元有:1.NiN2N3N4二 1- 1 -4= 71-441 41=

8、- 14Ni1)(1 i )4(i =1,2,34)2.knk12k13k14k21k22k23k24k31k32k33k34J<41k42k43k44k e = BID IB tdxdy =A1 1k L Bi I D B tdxdyA二abt.“81-卩）2P1占十（1_卩卿j12i j T-打j亠吒,(i,j =1,23,4)解：對于四節(jié)點矩形單元有:N1N2N3N414廠=*+駅 1+r4(1-行計)4Ni(1：)(1i )4(i =123,4)knk22k23k24k34k44k e = BD tdxdy 二Ak21k41kj L "Bij D 血 tdxdy =ab

9、t j j IB D Bj d：dn11 3A*Eti j 1 -Ia i j 1 二 丿 b I 2 2j 1 七 j(i,j =123,4)kURe, 代入邊界條件(1-1= v=忐=v=也=v= 0,將對應(yīng)的行和列劃掉沒剩下的方程為:-p1又 n =丄(1)(1 i )4(i =1,2,3,4)，且 3=1，3=1， a=1,b=1所以-13山勻4J所以f13P-P8 J 4i v-P解得丿f138P 15E 13. 有一如圖3(a)所示的剪力墻，墻頂作用豎向荷載P。將該剪力墻劃分為兩個三結(jié)點三角形常應(yīng)力單元，單元和結(jié)點編號如圖3(b)所示，并將荷載P分成兩個P/2作用在3、4結(jié)點。已知

10、單元厚度為t，彈性模量為E,泊松比1 =1/3求結(jié)點3和結(jié)點4的位移，以及單元的應(yīng)變和應(yīng)力。(20分)解：建立直角坐標系(注Y軸向下為正)，單元i,j,m 對應(yīng)的節(jié)點編號為 3,1,4，單元對 應(yīng)的節(jié)點編號為2,4,1。對于單元：i(0,0),j(0,4),m(2,0)bi=yi-ym=4 ; bj=ym-yi=0 ; bm=yi_yj=_4ci=xm-xj=2 ; cj=xi-xm=-2 ; cm=xj-xi=0三角形面積A=1/2*2*4=4_4000-40 11幾何矩陣B= 200_4 一彈性矩陣D=皂1 以0【01-卩Y單元剛度矩陣k1 =BTD Bt.l =2（9，）4（1+ 巴12 -1） 8卩 164（卩-1）2（9）4（1 + »）_2（4 1） -8-16 卅-1）然后合成總剛K。Et16（1 -二2）k2 可k14（3_2i）4（-1）-4-88（二一1）2（1 -）004（二一1）4（3-2）4（ 二 _1）-4-8J8（-1）2（1 7004（-1）48J08（1 -二）160整體節(jié)點力矢量為 F二RF1yF 2xF2y節(jié)點位移矢量為d = 0000u3V3P2u4 v4 10解得8.421.50 8.