2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新教材人教B版必修第一冊學(xué)案：第1章 1.2 1.2.2　全稱量詞命題與存在量詞命題的否定 Word版含解析

1、1.2.2全稱量詞命題與存在量詞命題的否定學(xué) 習(xí) 目 標核 心 素 養(yǎng)1.能正確寫出一個命題的否定，并判斷其真假2理解含有一個量詞的命題的否定的意義3會對含有一個量詞的命題進行否定(重點)4掌握全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題(重點、難點)1.通過對命題的否定的認識，提升數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)2通過對含有一個量詞的命題的否定的理解，提升邏輯推理的素養(yǎng)一位探險家被土人抓住，土人首領(lǐng)說：“如果你說真話，你將被燒死，說假話，將被五馬分尸”問題請問探險家該如何保命？1命題的否定 (1)一般地，對命題p加以否定，就得到一個新的命題，記作“¬p ”，讀作“非p”或“p的

2、否定”(2)如果一個命題是真命題，那么這個命題的否定就是一個假命題；反之亦然(3)常見的否定詞語一般地，寫一個命題的否定，往往需要對正面敘述的詞語進行否定，下面把常用的正面敘述的詞語及它的否定列舉如下：正面詞語()是都是任意(所有)存在至多有1個至少有1個或且否定詞語()不是不都是某個不存在至少有2個1個也沒有且或 2.含有一個量詞的命題的否定一般地，對于含有一個量詞的命題的否定，有下面的結(jié)論：全稱量詞命題p：xm，q(x)，它的否定¬p：xm，¬q(x)；存在量詞命題p：xm，p(x)，它的否定¬p：xm，¬p(x)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存

3、在量詞命題的否定是全稱量詞命題拓展命題的否定與集合運算的關(guān)系(1)已知全集為u，設(shè)命題p對應(yīng)的集合為p，則命題的否定¬p對應(yīng)的集合為upx|xu，且xp，這樣可以從集合的角度進一步認識命題的否定(2)已知全集為u，若“p是真命題”對應(yīng)“ap”，則“p是假命題”對應(yīng)“aup”；若“¬p是真命題”對應(yīng)“aup”，則“¬p是假命題”對應(yīng)“ap”1思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)命題¬p的否定是p.()(2)xm，p(x)與xm，¬p(x)的真假性相反()(3)從存在量詞命題的否定看，是對“量詞”和“p(x)”同時否定()答案(

4、1)(2)(3)×2(教材p29練習(xí)a改編)命題“xr，nn*，使得nx2”的否定形式是()a.xr，nn*，使得nx2b.xr，nn*，使得nx2c.xr，nn*，使得nx2d.xr，nn*，使得nx2d根據(jù)含有量詞的命題的否定的概念可知，選d.3命題“xr，x22x20”的否定是 ()a.xr，x22x20bxr，x22x20c.xr，x22x20dxr，x22x20a由存在量詞命題和全稱量詞命題的關(guān)系可知“xr，x22x20”的否定為xr，x22x20.4命題“任意xr，若y0，則x2y0”的否定是_存在xr，若y0，則x2y0已知命題是一個全稱量詞命題，其否定為存在量詞命題，

5、先將“任意”換成“存在”， 再否定結(jié)論，即命題的否定是：存在xr，若y0, 則x2y0.命題的否定【例1】寫出下列命題的否定，并判斷其真假(1)p：ysin x是周期函數(shù)；(2)p：實數(shù)的絕對值都大于0；(3)p：菱形的對角線垂直平分；(4)p：若xy0，則x0或y0.解(1)¬p ：ysin x不是周期函數(shù)假命題(2)¬p：實數(shù)的絕對值不都大于零真命題(3)¬p：菱形的對角線不垂直或不平分假命題(4)¬p：若xy0，則x0且y0. 假命題¬p是對命題p的全盤否定，其命題的真假與原命題相反對一些詞語的正確否定是寫¬p的關(guān)鍵，如“都”的

6、否定是“不都”，“至多兩個”的反面是“至少三個”等1寫出下列命題的否定形式，并判斷其真假(1)p：面積相等的三角形都是全等三角形；(2)p：若m2n20，則實數(shù)m，n全為零；(3)p：實數(shù)a，b，c滿足abc0，則a，b，c中至少有一個為0.解(1)¬p：面積相等的三角形不都是全等三角形真命題(2)¬p：若m2n20，則實數(shù)m，n不全為零假命題(3)¬p：實數(shù)a，b，c滿足abc0，則a，b，c中都不為0.假命題全稱量詞命題的否定【例2】寫出下列命題的否定，并判斷其真假(1)p：任意nz，則nq；(2)p：等圓的面積相等，周長相等；(3)p：偶數(shù)的平方是正數(shù)解(1

7、)¬p：存在nz，使nq，這是假命題(2)¬p：存在等圓，其面積不相等或周長不相等，這是假命題(3)¬p：存在偶數(shù)的平方不是正數(shù)，這是真命題1寫出全稱量詞命題的否定的關(guān)鍵是找出全稱量詞命題的全稱量詞和結(jié)論，把全稱量詞改為存在量詞，結(jié)論變?yōu)榉穸ǖ男问骄偷玫矫}的否定2有些全稱量詞命題省略了量詞，在這種情況下，千萬不要將否定簡單的寫成“是”或“不是”2寫出下列全稱量詞命題的否定(1)p：所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)；(2)p：對任意xz，x2的個位數(shù)字不等于3；(3)p：數(shù)列1，2，3，4，5中的每一項都是偶數(shù)；(4)p：可以被5整除的整數(shù)，末位是0.解(1)

8、2;p：存在一個能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù)(2)¬p：xz，x2的個位數(shù)字等于3.(3)¬p：數(shù)列1，2，3，4，5中至少有一項不是偶數(shù)(4)¬p：存在被5整除的整數(shù)，末位不是0.存在量詞命題的否定【例3】寫出下列存在量詞命題的否定(1)p：xr，x22x20；(2)p：有的三角形是等邊三角形；(3)p：有一個素數(shù)含三個正因數(shù)解(1)¬p：xr，x22x2>0.(2)¬p：所有的三角形都不是等邊三角形(3)¬p：每一個素數(shù)都不含三個正因數(shù)與全稱量詞命題的否定的寫法類似，要寫出存在量詞命題的否定，先確定它的存在量詞，再確定結(jié)論，然后

9、把存在量詞改寫為全稱量詞，對結(jié)論作出否定就得到存在量詞命題的否定3寫出下列命題的否定，并判斷其真假(1)存在一個平行四邊形，它的對角線互相垂直；(2)存在一個三角形，它的內(nèi)角和大于180°；(3)存在偶函數(shù)為單調(diào)函數(shù)解(1)命題的否定：對于任意的平行四邊形，它的對角線都不互相垂直，是假命題(2)命題的否定：對于任意的三角形，它的內(nèi)角和小于或等于180°，是真命題(3)命題的否定：所有的偶函數(shù)都不是單調(diào)函數(shù)，是真命題全稱量詞命題與存在量詞命題中的求參問題探究問題1關(guān)于x的不等式ax2bxc0(a0)恒成立的條件是什么？提示判別式b24ac0.2關(guān)于x的方程ax2bxc0(a0

10、)有實根的條件是什么？提示判別式b24ac0.【例4】已知命題p：“xr，x22xm0”是假命題，求實數(shù)m的取值范圍思路點撥命題p的否定¬p一定為真命題，可以通過分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，通過求最值得出m的取值范圍；也可以利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)轉(zhuǎn)化為與0的關(guān)系，解不等式求解解法一：¬p：xr，x22xm0，是真命題，即mx22x(x1)21，xr恒成立，設(shè)函數(shù)y(x1)21，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當x1時，y最大值1，my最大值1，即實數(shù)m的取值范圍是(1，).法二：¬p：xr，x22xm0，是真命題，設(shè)函數(shù)yx22xm，由二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)知，只需方

11、程x22xm0的根的判別式0，即44m0，得m1，即實數(shù)m的取值范圍是(1，).若命題“xr，使得x22xm0”為真命題，則m的取值范圍是_m1xr，使得x22xm0，即關(guān)于x的方程x22xm0有實根，44m0，解得m1.含有量詞的命題求參數(shù)問題的思路（1）此類題目常以二次方程或二次不等式等為載體，一般在題目中會出現(xiàn)“恒成立”等詞語，解決此類問題，可用判別式法求參數(shù)范圍，也可以利用分離參數(shù)法求得參數(shù)的范圍（2）求參數(shù)的范圍時，從真命題的角度比較好列關(guān)系式，所以如果已知條件是一個存在量詞命題，且是假命題，可以寫出該命題的否定，利用命題的否定是真命題求得參數(shù)的范圍知識：1¬p是對命題p的

12、全盤否定，其命題的真假與原命題相反通過學(xué)習(xí)含量詞的命題的否定的概念及應(yīng)用培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)2對含有一個量詞的命題的否定要注意以下問題：(1)確定命題類型：命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題(2)改變量詞：把全稱量詞改為恰當?shù)拇嬖诹吭~；把存在量詞改為恰當?shù)娜Q量詞(3)否定結(jié)論：原命題中的“是”“有”“存在”“成立”等改為“不是”“沒有”“不存在”“不成立”等(4)無量詞的全稱量詞命題要先補回量詞再否定方法：(1)轉(zhuǎn)化法：已知命題p為假命題求參數(shù)的值或取值范圍時，通常等價轉(zhuǎn)化為¬p是真命題后，再求參數(shù)的值或取值范圍(2)分離參數(shù)法：存在量詞命題為真命題求參數(shù)范圍(值)的問題中常

13、出現(xiàn)“存在”等詞語，對于此類問題，通常是假設(shè)存在滿足條件的參數(shù)，然后分離參數(shù)，并利用條件求參數(shù)范圍(值).1已知ab，則下列結(jié)論中正確的是()a.c0，abcbc0，abcc.c0，abc dc0，abcda項，若a1，b2，c1，滿足ab，但abc不成立；b項，若a9.5，b10，c1，abc不成立；c項，因為ab，c0，所以abc恒成立，故c錯誤；d項，c0，abc成立，故選d.2設(shè)命題p：xr，x210，則¬p為()a.xr，x210 bxr，x210c.xr，x210 dxr，x210b命題p：xr，x210，是一個全稱量詞命題，¬p：xr，x210.故選b.3下列

14、命題的否定為假命題的是()a.xr，x22x20b.xr，x31c.所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)d.任意一個梯形的對角線都不互相平分d對于選項a，因為x22x2(x1)210，所以xr，x22x20是假命題，故其否定為真命題；對于選項b，因為當x1時，x31，所以xr，x31是假命題，故其否定為真命題；對于選項c，因為6能被3整除，但6是偶數(shù)，所以這是假命題，其否定為真命題；對于選項d，任一個梯形的對角線都不互相平分，是真命題，因此其否定是假命題故選d.4已知命題p：xr，x22axa0.若命題p是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是_(0，1)法一：若命題p：xr，x22axa0是真命題，得(2a)24a0，即a(a1)0, 若命題p是假命題，則a(a1)<0，解得0<a<1.法二：依題