第二章人壽保險(xiǎn)精算現(xiàn)值

1、2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值1第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值o熟悉人壽保險(xiǎn)的數(shù)學(xué)模型；o熟悉人壽保險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量及人壽保險(xiǎn)精算現(xiàn)值；o掌握各種壽險(xiǎn)產(chǎn)品躉繳凈保費(fèi)及人壽保險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量方差的計(jì)算方法；o了解躉繳凈保費(fèi)的實(shí)際意義及遞推公式；o熟悉利用換算函數(shù)計(jì)算人壽保險(xiǎn)的躉繳凈保費(fèi)。 2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值2o人身保險(xiǎn)是以人的壽命和身體為保險(xiǎn)標(biāo)的的保險(xiǎn)。o人壽保險(xiǎn)是人身保險(xiǎn)的一種。o人壽保險(xiǎn)轉(zhuǎn)嫁的是被保險(xiǎn)人的生存或者死亡的風(fēng)險(xiǎn)。它起源于古代的互助團(tuán)體，其原理是通過集合具有同質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)的大量被保險(xiǎn)人，通過在這些被保險(xiǎn)人之間進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)分散即由所有的被保險(xiǎn)人共同出資給遭遇風(fēng)險(xiǎn)

2、的少數(shù)被保險(xiǎn)人來達(dá)到降低突發(fā)風(fēng)險(xiǎn)事故對(duì)遭遇風(fēng)險(xiǎn)事故的個(gè)體造成的財(cái)務(wù)沖擊。o本章的目的就是討論各種人壽保險(xiǎn)的模型和方法。 2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值3 2.1 連續(xù)型保險(xiǎn) o所謂連續(xù)型保險(xiǎn)，指的是在保險(xiǎn)事故出現(xiàn)后立即支付保險(xiǎn)利益的保險(xiǎn)，因?yàn)槿藟郾ｋU(xiǎn)一般以被保險(xiǎn)人的死亡為保險(xiǎn)事故，所以有時(shí)又叫做在死亡即刻支付的保險(xiǎn)。 o在保險(xiǎn)事故出現(xiàn)后，保險(xiǎn)公司向被保險(xiǎn)人（或其收益人）支付的保險(xiǎn)金為保險(xiǎn)利益，保險(xiǎn)利益一般為從保險(xiǎn)開始（保單生效）后到保險(xiǎn)事故出現(xiàn)之間的時(shí)間長(zhǎng)度的函數(shù)，根據(jù)上一章的記號(hào)，用t來記時(shí)間變量，相應(yīng)的保險(xiǎn)利益記為bt。 o一般情況下，統(tǒng)稱bt為保額函數(shù)。相應(yīng)地，用vt記貼現(xiàn)

3、函數(shù)，即將bt貼現(xiàn)到保險(xiǎn)開始時(shí)的函數(shù)。通常假設(shè)貼現(xiàn)因子中的利率為常數(shù)。o對(duì)于一份新發(fā)行的保單，因?yàn)楸ｋU(xiǎn)事故發(fā)生的時(shí)間由隨機(jī)變量T(x)來描述，而保險(xiǎn)利益的支付時(shí)間及其價(jià)值均與T(x)有關(guān)，所以，可以定義相應(yīng)的現(xiàn)值隨機(jī)變量如下： nZ= bTvT 2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值4等額保險(xiǎn)o所謂等額保險(xiǎn)，是指保險(xiǎn)利益的金額在保險(xiǎn)開始時(shí)就已經(jīng)固定，只是支付的時(shí)間不確定而已，支付時(shí)間與保險(xiǎn)事故發(fā)生的時(shí)間有關(guān)。n定期死亡保險(xiǎn)n終身壽險(xiǎn)n生存和兩全保險(xiǎn)n延期保險(xiǎn)o定期死亡保險(xiǎn)：考慮n年期定期死亡保險(xiǎn)，這種保險(xiǎn)只有被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)開始后n年內(nèi)死亡，保險(xiǎn)公司才對(duì)被保險(xiǎn)人進(jìn)行支付。 2022-1-1

4、8第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值5等額保險(xiǎn)o本節(jié)討論的壽險(xiǎn)模型 , 其保險(xiǎn)金是在被保險(xiǎn)人的未來壽命 T= T(x) 時(shí)給付 , 即在被保險(xiǎn)人死亡時(shí)立即給付立即給付。在壽險(xiǎn)實(shí)務(wù)中幾乎所有保險(xiǎn)都是如此。這 就是所謂的連續(xù)型的人壽保險(xiǎn)模型o死亡保險(xiǎn):假設(shè)被保險(xiǎn)人在投保 ( 或簽單 ) 時(shí)的年齡為x 歲 , 保險(xiǎn)金在被保險(xiǎn)人未來壽命 T= T(x) 時(shí)的給付金額為 bt, 而 vt 是在時(shí)刻 t 時(shí)給付 1 個(gè)單位金額在簽單時(shí)的利息貼現(xiàn)系 數(shù) ,ZT 是給付金額在簽單時(shí)的現(xiàn)值。則現(xiàn)值隨機(jī)變量TTTvbZ2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值6死亡保險(xiǎn)o對(duì)于 (x) 投保連續(xù)型的保險(xiǎn)金額為 1 單位的

5、 n 年期定期壽險(xiǎn) , 其有關(guān)函數(shù)是 nTnTvZtvvntntbTTttt, 0,0, 0, 1稱現(xiàn)值函數(shù)隨機(jī)變量Z的數(shù)學(xué)期望為保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值，也是躉繳純保費(fèi)額 ,) t(expA),(expv)(A01n : x001n : xdtupZEdtupvdttfvZEtxxtnTtxxtntTntT為稱為利力，則上式表示其中如果記于是2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值7,) t2(expA01n :x2dtuptxxtn記則連續(xù)型的保險(xiǎn)金額為 1 個(gè)單位的 n 年定期壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量 ZT 的方差是dtupt)exp(-dtupvA1txxt0txxt0tx21:1:222其躉繳純保

6、費(fèi)是個(gè)單位的終身壽險(xiǎn)，金額為對(duì)于投保連續(xù)型的保險(xiǎn)nxnxTTTAAZEZEZVar2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值82xx222Ttxxt0 x2AZ1)xdtupt)exp(-2AAZEZEZVarTTT的方差是隨機(jī)變量個(gè)單位的終身壽險(xiǎn)，為投保連續(xù)型的保險(xiǎn)金額對(duì)于（記2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值9o例，設(shè)(x) 的未來壽命T=T(x)的密度函數(shù)是 9 . 09 . 0rTT9 . 0ZP3Z21,Z10, 0800,801的分位數(shù)滿足的方差；隨機(jī)變量精算現(xiàn)值；計(jì)算壽險(xiǎn)的現(xiàn)值隨機(jī)變量為個(gè)單位保險(xiǎn)金額的終身給付，利力為othersttfT解 : 依題意 , 則有202

7、2-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值10 0,8expvvln8ln8,h0.9,dt801dttfhTPvPZP, 1)exp(,lnln3080)80exp(1160)160exp(1AA20160)160exp(1801) t2(expA080)80exp(1801) t(expA189 .09 .0hhTr9 .0tr9 .0r9 .02228002800故即得則vvhZVardtdtxxxx2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值11o保險(xiǎn)金給付現(xiàn)值的隨機(jī)變量 ZT 的方差 , 對(duì)于考慮經(jīng)營(yíng)該險(xiǎn)種業(yè)務(wù)的財(cái)務(wù)穩(wěn)定性具有重要的指導(dǎo)意義。o 例 設(shè)有 100 個(gè)相互獨(dú)立的年齡都是 x

8、 歲的被保險(xiǎn)人均投保保險(xiǎn)金額為 10 元的連續(xù)型終身壽險(xiǎn) , 死力為=0.04, 保險(xiǎn)金將從按利力 =0.06 計(jì)息的投資基金中支付。 試計(jì)算該項(xiàng)基金在最初 (t=0) 時(shí) , 其數(shù)額至少有多大 , 才能保證從該項(xiàng)基金中足以支付每 個(gè)被保險(xiǎn)人死亡保險(xiǎn)金的概率近似為 95%。 2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值12o解 : 設(shè) Zj 表示第 j 個(gè)被保險(xiǎn)人的死亡給付在投保時(shí)的現(xiàn)值隨機(jī)變量 , 則 900VarVar400EE100, 2 , 1j9425EEVar100, 2 , 1j252uu100dtt2uexputexp100A10E100, 2 , 1j4uu10dttuexp

9、utexp10A10E,Z100,100, 2 , 1, 0101001j1001j2220 x2220 x100211001jjjjjjjjjtjZZZZZZZZZZZZZjTvZ，從而可得是相互獨(dú)立的，其中，現(xiàn)值總額是個(gè)人的死亡保險(xiǎn)金額的則這2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值13設(shè)該項(xiàng)基金在最初時(shí)的數(shù)額至少是 h 元 , 依題意 , 則 )449.35(645. 130400h645. 130400h,95. 0元故布，則近似服從于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分ZVarZEhZVarZEZPr即該項(xiàng)基金在最初時(shí)的數(shù)額至少要有 449.35 元 , 比所收取的建繳純保費(fèi)建立的初始基金 400(=100

10、 4) 元多出 49.35 元 , 即超過歪繳純保費(fèi)基金的 12.34% 。這說明 , 最初基 金需有風(fēng)險(xiǎn)附加費(fèi) ( 即安全附加費(fèi) ) 的存在 , 即該基金超過保費(fèi)總額的那部分 (49.35 元 ) 是 安全附加基金。 2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值14兩全保險(xiǎn)與延期壽險(xiǎn) o對(duì)于 (x) 投保連續(xù)型的保險(xiǎn)金額為 1 個(gè)單位的 n 年期兩全保險(xiǎn) , 其給付現(xiàn)值的隨機(jī)變量 2n : xn : x2xn2txxtn0 xn2txxtn02t2Tn : x2n1: xn : x1xntxxtn0tn : xn : xAAZVarZpdtupt2exppdtupZEAAApdtupA)A,

11、的方差是其現(xiàn)值隨機(jī)變量記是號(hào)則其躉繳純保費(fèi)（用符nnnnTTvvvvvnTvnTvZ2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值15延期壽險(xiǎn)o對(duì)于 (x) 投保連續(xù)型的保險(xiǎn)金額為 1 個(gè)單位的延期 h 年的終身壽險(xiǎn) , 其給付現(xiàn)值的隨機(jī)變量是 2xx2txxtn0 x2txxthtxxthtxxAAZVarZdtupt2expAdtupexpdtupA)A, 0hhhhhTTtvhTvhTZ的方差是其現(xiàn)值隨機(jī)變量記是號(hào)則其躉繳純保費(fèi)（用符2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值16o表示連續(xù)型的保險(xiǎn)金額為 1 個(gè)單位的延期 h 年的 n 年期定期壽險(xiǎn)和延期 h 年的 n 年期兩全保險(xiǎn)的躉繳

12、純保費(fèi)分別為。生存保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)年個(gè)單位的年的保險(xiǎn)金額表示延期其中n1hAAAA;An1: xn1: xxn : xxnhnhnhnhtxxtnhhtnhdtupv2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值17o例例考察保險(xiǎn)金額為 1 個(gè)單位的延期 5 年的終身壽險(xiǎn) , 設(shè)年齡為 x歲的被保險(xiǎn)人 , 其死力為常值 =0.04, 利力 =0.10,Z 表示給付現(xiàn)值隨機(jī)變量。試求 :o期望值 E(Z);(2) 方差 Var(Z);(3)中位數(shù)(1)解 : 依題意可知 , 未來壽命 T=T(x)的密度函數(shù)是 5 . 0 0502. 02u5-exp2uudtut-uexp2exp1419. 0u

13、5-expuudtut-uexpexpA10exp525x5tZEtZEtututfT2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值18 0573. 03187. 03187. 00.04h-expuh-expdtut-uexphTP3187. oZ0PhTP10lnh,3187. 00ZP5 . 0Z0P0,1813. 05 . 0ZP1813. 05uexp-1dtutuexp5TP0ZP30301. 025 . 25 . 0hr5 . 0rr5 . 0r5 . 0r5 . 05 . 0r50rr22而記且即得由題意知，求中位數(shù)使ZEZEZVar2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值1

14、9變額保險(xiǎn) o對(duì)于連續(xù)型的非均衡給付保險(xiǎn) , 本文僅討論遞增非均衡給付和遞減非均衡給付中的兩種特殊情形:1. 按算術(shù)數(shù)列續(xù)年遞增的終身壽險(xiǎn) ; 2. 按算術(shù)數(shù)列續(xù)年遞減的終身壽險(xiǎn)。o1. 按算術(shù)數(shù)列續(xù)年遞增的終身壽險(xiǎn)o按算術(shù)數(shù)列n 續(xù)年遞增的連續(xù)型的終身壽險(xiǎn) , 可分為三種情況 , 其一是按年遞增的終身壽險(xiǎn) , 其二是按年遞增且每年遞增 m 次的終身 壽險(xiǎn) , 其三是按年連續(xù)遞增的終身壽險(xiǎn)。 2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值20o(1) 按年遞增的終身壽險(xiǎn):其保險(xiǎn)利益為 : 如被保險(xiǎn)人在第一保 單年度內(nèi)死亡 , 則在死亡時(shí)立即給付保險(xiǎn)金 1 元 ; 在第二個(gè)保單年度內(nèi)死亡 , 則在

15、死亡時(shí) 立即給付保險(xiǎn)金 2 元 ; 在第三個(gè)保單年度內(nèi)死亡 , 則在死亡時(shí)立即給付保險(xiǎn)金 3 元 , 依次 類推 o該終身壽險(xiǎn)的有關(guān)函數(shù)是 110101;0;01kkktxxtttxxttxxTTTTtttdtpvkdtpvtZEAIAITvTvbZtvvttb）（表示是）號(hào)（則其躉繳純保費(fèi)（用符2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值21o(2) 按年度遞增且每年遞增 m 次的終身壽險(xiǎn).o它是將每一個(gè)保單年度分為均等的 m 個(gè)時(shí)間段 , 其保險(xiǎn)利益是 : 如被保險(xiǎn)人在第一個(gè)保單年的第一個(gè)1/m 年內(nèi)死亡 , 則立即給付保險(xiǎn)金1/m 元 , 在第一個(gè)保單年的第二個(gè)1/m 年( 即1/m 到

16、2/m年之間）內(nèi)死亡 , 則立即給付保險(xiǎn)金2/m，第一個(gè)保單年的第 m 個(gè)1/m年內(nèi)死亡 , 則立即給付保險(xiǎn)金 1( 即m/m ) 元 ; 在第二個(gè)保單年的第一個(gè)1/m年內(nèi)死亡 , 則立即給付保險(xiǎn)金(1+ 1/m) 元 , 在第二個(gè)保單年的第二個(gè)1/m年內(nèi)死亡 , 則立即給付保險(xiǎn)金 (1+ 2/m) 元 , 依次類推 2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值22o該終身壽險(xiǎn)的有關(guān)函數(shù)是 dtpvmmtZEAIAITmmTvvbZtvvtmmtbtxxttxmxmTTTTttt0101;0;01）（表示是）號(hào)（則其躉繳純保費(fèi)（用符2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值23o(3) 按年

17、連續(xù)遞增的終身壽險(xiǎn)。按年連續(xù)遞增的即期終身壽險(xiǎn) 其保險(xiǎn)利益是 : 如被保險(xiǎn)人在時(shí)刻 t(tO) 時(shí)死亡 , 則給付死亡保險(xiǎn)金 t 元 o該終身壽險(xiǎn)的現(xiàn)值隨機(jī)變量 00000)()(0dtdspvdtpvdsdtptvZEAIAITTvZttxxtttxxttttxxttxxTT）（表示）是）號(hào)（則其躉繳純保費(fèi)（用符2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值24dsAdsdtpvAIxsstxxttx00)(）（交換積分次序，可得上式 表明 : 按年連續(xù)遞增的終身壽險(xiǎn)保單等價(jià)于由一系列的延期的保險(xiǎn)金額為1 元的連續(xù)型終身壽險(xiǎn)保單所組成 nkkktxxtttxxttnnxnxdtpvkdtpvt

18、ZEAInAI1101:1:1）（費(fèi)，則年定期壽險(xiǎn)的躉繳純保表示按年遞增的）同樣的，設(shè)（2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值25o2. 按年遞減的 n 年定期壽險(xiǎn)。按年遞減的 n 年定期壽險(xiǎn) , 其保險(xiǎn)利益是 : 如被保險(xiǎn) 人在第一個(gè)保單年內(nèi)死亡 , 則立即給付保險(xiǎn)金 n 元 , 在第二個(gè)保單年內(nèi)死亡 , 則立即給 付保險(xiǎn)金 (n-1) 元 , 依次類推 , 在第 n 個(gè)保單年內(nèi)死亡 , 則立即給付保險(xiǎn)金 1 元。o該 保險(xiǎn)的有關(guān)函數(shù)是 10101:1:)()(0)(;0;0nkkktxxtttxxttnnxnxTTTTtttdtpvkndtpvtnZEADADnTnTvtnvbZtv

19、vntnttnb）（表示是）號(hào)（則其躉繳純保費(fèi)（用符2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值262022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值272022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值282022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值292022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值30微分方程（換算函數(shù)表示式）本節(jié)引人連續(xù)的換算函數(shù)來表示連續(xù)型各壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值考慮(x)的終身壽險(xiǎn)，我們有2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值312022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值32死亡均勻分布假設(shè)下的壽險(xiǎn)模型o 討論在死亡均勻分布假設(shè)下，連續(xù)型壽險(xiǎn)模型的躉繳純保費(fèi)與相對(duì)應(yīng)的離散型壽險(xiǎn)模型

20、之間的關(guān)系。之間的關(guān)系與，xxAA1以連續(xù)型的保險(xiǎn)金額為 1 個(gè)單位的終身壽險(xiǎn)為例 , 在死亡均勻分布的假設(shè)條件下 , 討論 之間的關(guān)系與xxAA xxxSxSKSSKSKTxAiAviAvvAdsvvEvEvvEvEvEZEAlnln10110111112022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值33第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值（躉繳純保費(fèi)）o第二節(jié) 離散型人壽保險(xiǎn)模型o概念：是指以離散型未來壽命為基礎(chǔ)，保險(xiǎn)金是在被保險(xiǎn)人所處的保單年度末支付而建立的各種人壽保險(xiǎn)的數(shù)學(xué)模型。o若被保險(xiǎn)人在投保 ( 或簽單 ) 時(shí)的年齡為 Z 歲 , 其未來壽命整年數(shù)為 K(x), 則其概率分布律為, 2 , 1

21、, 0)(Pr(kqqpkxKxkkxxk2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值34離散型人壽保險(xiǎn)模型o假設(shè)保險(xiǎn)金額在 K(x)+1 處給付 , 給付數(shù)額為 bk+l 元 , 記 K+1 為在K(x)+1 處給付1 個(gè)單位保險(xiǎn)金在簽單時(shí)的利息貼現(xiàn)系數(shù) ,Z 為給付保險(xiǎn)金額在簽單時(shí)的現(xiàn)值。則Z= bk+l K+1 (K=0,1,2, )o因此 , 在離散型人壽保險(xiǎn)模型下 , 現(xiàn)值隨機(jī)變量 Z 的期望值 E(Z) 的一般表達(dá)式是o對(duì)于人壽保險(xiǎn) , 現(xiàn)值隨機(jī)變量 Z 的期望值 E(Z) 稱為躉繳純保費(fèi)。躉繳意味著一次性繳付而不是按其他方式分期繳付。 xkkkkqbvZE1012022-1-18

22、第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值35等額保險(xiǎn)o等額保險(xiǎn)指保險(xiǎn)利益固定的保險(xiǎn)，支付時(shí)間不確定，可以分為 n 年定期死亡保險(xiǎn)險(xiǎn)、終身壽險(xiǎn)、兩全保險(xiǎn)、延期保險(xiǎn)等。o設(shè)年齡為x歲的人 , 投?；蚝灱s保險(xiǎn)金額為 1 個(gè)單位的 n 年定期壽險(xiǎn) , 則給付現(xiàn)值函數(shù)是o用換算符號(hào)，可以得o在人壽保險(xiǎn)中 , 純保費(fèi) 通常稱為自然純保費(fèi)表示其躉繳純保費(fèi)用符號(hào)其他1n :x1A01, 2 , 1 , 0nkvZk1011n : xAnkkxxkkqpvZE1n : xA2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值36另外，有從而得到定期保險(xiǎn)的一個(gè)遞推公式 ：一份n年期定期保險(xiǎn)，可以拆成兩份保險(xiǎn)之和，它們分別是，一年期的定

23、期保險(xiǎn)和在一年后的n-1年期定期保險(xiǎn)，因?yàn)橐荒旰蟮膎-1年期定期保險(xiǎn)只有在被保險(xiǎn)人生存的情況下才有意義，所以，其價(jià)值為一年后的 在現(xiàn)在的精算現(xiàn)值 111xnA：上述遞推關(guān)系式，也可以得到一種由生命表直接計(jì)算定期保險(xiǎn)的方法，即：n年期定期保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值可以寫成一系列的一年期保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值之和 2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值37上式第一個(gè)等號(hào)的左邊可以看成是保險(xiǎn)人在賣出lx份保險(xiǎn)后收集到的全部保費(fèi)在時(shí)刻1（即賣出保險(xiǎn)1年后）的積累值，因?yàn)樵?時(shí)還有l(wèi)x+1個(gè)被保險(xiǎn)人生存，所以保險(xiǎn)公司應(yīng)該有l(wèi)x+1份n-1年期的保險(xiǎn)的負(fù)債，同時(shí)，因?yàn)樵诘谝荒晁劳鰀x人，保險(xiǎn)公司在時(shí)刻1時(shí)需要向每個(gè)在第

24、一年內(nèi)死亡的人（或其受益人）支付1元保險(xiǎn)利益，根據(jù)收支（含負(fù)債）相等的原則，第一個(gè)等號(hào)成立。第二個(gè)等號(hào)是因?yàn)閘x+1=lx-dx，等號(hào)右邊的含義是：所有在x歲購買了n年期定期保險(xiǎn)的lx個(gè)人，在1年后都應(yīng)該有一份n-1年期的保險(xiǎn)，同時(shí)對(duì)那些在這年內(nèi)死亡的被保險(xiǎn)人來說，他們還得到另外一筆金額為 的支付 111(1)xnA：2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值38用x+1替代上式中的x，同時(shí)用n-1替代上式中的n，有 這表明：保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值其實(shí)就是保險(xiǎn)期限內(nèi)各年度預(yù)期的年度花費(fèi)的現(xiàn)值 2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值39o例2-9 假設(shè)i=4%，利用示例生命表（2000-2003

25、非養(yǎng)老保險(xiǎn)生命表CL1），計(jì)算20歲被保險(xiǎn)人的1000單位保險(xiǎn)利益的三年期定期死亡保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值。2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值402022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值41o2終身壽險(xiǎn)o注意到，如果令式(2-18)中 n，那么n年期定期保險(xiǎn)就變成了終身壽險(xiǎn)，所以，終身壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值為上式的意義非常明顯：左邊可看成是在保單發(fā)行時(shí)，所有的被保險(xiǎn)人(x)聚集的資金（相當(dāng)于保險(xiǎn)公司為發(fā)行全部保單而建立的保險(xiǎn)基金），右邊則是預(yù)期的全部死亡賠付在保單發(fā)行時(shí)的現(xiàn)值。 2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值422022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值432022-1-18第二章

26、 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值442022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值452022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值46計(jì)算結(jié)果表明：基金預(yù)期金額與實(shí)際金額相差-7115.78元，也就是說，實(shí)際結(jié)果比預(yù)期的理想。造成實(shí)際結(jié)果比預(yù)期理想的原因是在第一年的實(shí)際投資收益率是5%，超過預(yù)期！另外，從死亡人數(shù)方面看，實(shí)際的死亡情況比預(yù)期的還要好，因?yàn)楦髂陮?shí)際出現(xiàn)的死亡人數(shù)都比預(yù)期的要少。由此也可以看出，利率假設(shè)在壽險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)中的重要性 2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值47o 例 設(shè)現(xiàn)有 100 個(gè)年齡為 30 歲的人組成一個(gè)互助會(huì) , 并建立一筆基金 , 該項(xiàng) 基金專門用于在他們每個(gè)成員死亡

27、時(shí)給付其指定受益人 1000 元 ( 給付時(shí)間是在死亡的基金 年度末 ) 。經(jīng)商定 : 這筆基金總額是按 1990 年 -1993 年中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表 ( 非養(yǎng) 老金業(yè)務(wù)混合表 ) 和預(yù)定年利率 6% 來計(jì)算躉繳純保費(fèi)的 , 試問每個(gè)成員需要繳納多少資 金。若這個(gè)基金實(shí)際運(yùn)作的結(jié)果是：在第二年與第五年分別有 1 人死亡，第一年的收益率 是 6%, 第二年和第三年的收益率是 6.5%, 第四年與第五年的收益率是 7% 。試分析在第 五年度末該基金按計(jì)劃之初決定的期望值與實(shí)際基金之間的差異 。2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值48例題o解：每個(gè)成員需要繳納的資金 ( 也稱會(huì)費(fèi) )

28、 是P=1000A30=86.63( 元 )則 100 個(gè)成員所建立的基金總額是 S=100p=100 86.63=8663( 元 ) 在第五年度末該項(xiàng)基金按計(jì)劃之初決定的期望值是用 FK 表示第 k 個(gè)基金年度末的基金值 , 則實(shí)際運(yùn)作的結(jié)果是 F0=S =8663( 元 )，F(xiàn)5=10004.86 (1+7%)-1000=970520( 元 ) o兩者之間的差額是11061.69-9705.20=1356.49( 元 )o這一結(jié)果反映了五年間的投資與死亡的經(jīng)驗(yàn) , 一方面反映了實(shí)際投資收益超過了預(yù)期利率 6% 的年收益 , 而另一方面也反映了實(shí)際死亡人數(shù) 2 大大高于預(yù)期死亡人數(shù) 0.44

29、880 )(69.110611000100353035元All2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值49兩全保險(xiǎn) oN年兩全保險(xiǎn)是由n年生存保險(xiǎn)和n年定期壽險(xiǎn)組成的，假設(shè)（x）簽約保險(xiǎn)金額為1個(gè)單位的n年兩全保險(xiǎn)，則其有關(guān)函數(shù)是xnnxnkkknkkkpvqvnkvnkvvnkb1011n : xn : x111A)A()(1, 2 , 1 , 0) 1, 2 , 1 , 0( 1表示用符號(hào)躉繳純保費(fèi)xnxnxxn : xDDMMA得運(yùn)用換算函數(shù)替代，可2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值50例2-13 已知某(35)的壽命服從de Moivre律，=100，i=0.05，Z為對(duì)

30、其發(fā)行的20年定期兩全壽險(xiǎn)的現(xiàn)值隨機(jī)變量，計(jì)算Z的期望和方差。2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值512022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值52延期壽險(xiǎn)o概念：人壽保險(xiǎn)模型 , 是壽險(xiǎn)保單一經(jīng)簽訂 , 保險(xiǎn)保障即生效的保險(xiǎn), 也可稱為即期壽險(xiǎn)。 而本節(jié)我們考慮的情況為 延期壽險(xiǎn) , 它意味著在保單簽發(fā)后的若干年后才提供保障。o函數(shù)：假設(shè) (x) 投保離散型的保險(xiǎn)金 額為 1 個(gè)單位的延期 h 年的 n 年定期壽險(xiǎn) ,則其有關(guān)函數(shù)是其他其他0) 1, 2, 1,(Z, 2 , 1 , 00) 1, 2, 1,(1111111nhhhhkvvbkvvnhhhhkbkkkkkk2022

31、-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值53延期壽險(xiǎn)nxxnhxxhxkkkxnkkkAEAEqvqv1n : xxh1xh1kh11n : xhAAAA其躉躉繳純保費(fèi)記因此有：值為：延期終身壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)例證明1h : x1hn : x1n : xhAAA2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值54n1: xhxk1n0k1kxhhkhxhxkxh1n0k1kh1h : xhxk1hnhk1kxk1h0k1kxk1hn0k1k1h : x1hn : x:Aq vpvqppvvAqvqvqvAA1hxhA證明：2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值55例2-14 假設(shè)利率i=4%，利用示例

32、生命表，求：2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值56我們討論了各種年度離散保險(xiǎn)，類似地，我們還可以討論在死亡所在的1/m年度末支付的保險(xiǎn)。這種支付模式可能更有實(shí)際意義，因?yàn)樵谌藟郾ｋU(xiǎn)實(shí)務(wù)中，保險(xiǎn)利益的支付并沒有必要等到年末，而是在保險(xiǎn)事故發(fā)生后比較短的時(shí)間內(nèi)支付，因此，在死亡的1/m年度末支付的保險(xiǎn)可能更與實(shí)際情況接近。這種保險(xiǎn)的討論與上述討論完全類似，我們以終身壽險(xiǎn)為例進(jìn)行討論。 2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值571()(1)/00Pr/( )(1)/mmmkjmxkjAvkj mT xkjm 1(1)/(1)/00mmkjmkj mxkjmxkjvpp 1(1)/(1

33、)/00mmkjmkxj mx kjmx kkjvppp 1(1)/(1)/00mmkjmkxjmx kj mx kkjvpqq 2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值58變額保險(xiǎn)（非均衡給付保險(xiǎn)）o考慮保險(xiǎn)金額的給付隨著被 保險(xiǎn)人未來壽命的變化而改變 , 這類人壽保險(xiǎn)稱為變額保險(xiǎn).o我們主要討論保險(xiǎn)金額按算術(shù)數(shù)列 n 遞增和遞減的情形.o 遞增的 n 年定期壽險(xiǎn),即假設(shè) (x) 投保離散型的按算術(shù)數(shù)列遞增的 n 年期定期壽險(xiǎn) . 2022-1-18第二章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值59遞增的 n 年定期壽險(xiǎn)o若保險(xiǎn)人在第 k +1 個(gè)保單年度內(nèi)死亡 , 則給付 (k+1) 元的保險(xiǎn)金 (k=0,1,2, n-1). 則相應(yīng)的有關(guān)函數(shù)是bk+1=k +l, (k =0,1,2, ,n -1) vk+1= (k =0,1,2, ,n -1) Z=bk+1 vk+1=(k+1) (k =0,1,2, ,n -1) 1kv1kv xk1k10k1n : x1n : xqv1kZEIA,IAn）（則）精算現(xiàn)值記作（2022-1-18第二章