全等三角形地性質(zhì)和判定

1、實用標準文檔文案大全全等三角形的性質(zhì)和判定要點一、全等三角形的概念能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.要點二、對應頂點，對應邊，對應角1. 對應頂點，對應邊，對應角定義兩個全等三角形重合在一起，重合的頂點叫對應頂點，重合的邊叫對應邊， 重合的角叫對應角.要點詮釋：在寫兩個三角形全等時，通常把對應頂點的字母寫在對應位置上， 這樣容易找出對應邊、對應角.如下圖， ABCt DEF全等，記作DEF其中點A和點D,點B和點E,點C和點F是對應頂點；AB和DE BC和EF，AC和DF 是對應邊；/ A和/D,Z B和/E,Z C和/F是對應角.全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等要點四、全

2、等三角形的判定（SSS SAS ASA AAS HL）全等三角形判定一（SSS SAS全等三角形判定1 “邊邊邊”三邊對應相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“ SSS）.要點詮釋： 如圖，如果 A'B' = AB A'C' = AC, B'C' = BC,則 ABCA A'B'C'.要點二、全等三角形判定2 “邊角邊”1.全等三角形判定2 “邊角邊”兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或 “SAS）.要點詮釋：如圖，如果 AB = A'B'，/ A=Z A',

3、AC = A'C'，則 ABC A'B'C'.注意：這里的角，指的是兩組對應邊的夾角2. 有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.如圖， ABC與厶ABD 中，A吐AB, AO AD，/ B=Z B,但 ABC與厶 ABD 不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等【典型例題】類型一、全等三角形的判定1 “邊邊邊”1、已知：如圖， RPQ中, RP= RQ M為PQ的中點. 求證：RM平分/ PRQ證明： M為PQ的中點（已知）， PM= QM在厶 RPMP3 RQM中,RP RQ（已 知）,PM QM

4、,RM RM公共邊 RPIW RQ（SSS ./ PRMkZ QR（全等三角形對應角相等）.即RM平分/ PRQ.舉一反三：【變式】已知：如圖， AD= BC，AO BD.試證明：/ CA亠/ DBC.類型二、B全等三角形的判定2 “邊角邊”求證：BC= DE已知：如圖，A吐AD AO AE / 1 = 7 2.證明：/ 1 = 7 27 1 + 7 CAD=7 2+7 CAD 即7 BA(=7 DAE 在厶ABCffiA ADE中AB ADBAC DAEAC AE ABCA ADE（ SAS BC= DE （全等三角形對應邊相等）G3、如圖，將兩個一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A B D三

5、點共線，A吐 CB, E吐 DB 7 ABC=Z EBD= 90°）,連接 AE CD 試確定 AE與 CD的位置與數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.AB D證明：延長AE交CD于 F， ABCffiA DBE是等腰直角三角形 AB= BC，BD= BEAB D在厶 ABEm CBD中AB BCABE CBD 90BE BD ABEA CBD（ SAS AE= CD / 1 = / 2又/ 1 + / 3 = 90°,/ 3=/ 4 （對頂角相等）:丄 2+/4 = 90°,即/ AFC= 90° AE! CD舉一反三：【變式】已知：如圖，PC AC PB AB

6、, AP平分/ BAC且A吐AC點Q在PA 上,求證：Q(= QBN類型三、全等三角形判定的實際應用“三月三，放風箏” 下圖是小明制作的風箏，他根據(jù)DE= DF, EH= FH,不用度量,就知道/ DEH=/DFH請你用所學的知識證明.【答案與解析】證明：在厶DEHA DFH中,DE = DFEH = FHDH DH DEHm DFH(SSS)/ DEH=Z DFH一、選擇題1. ABCffiA A'B'C'中，若 AB= A'B' , BC= B'C', AC= A'C'.貝U()A. ABCA A'C'

7、B' B. ABCA A'B'C'C. ABCA C'A'B'D.2.如圖，已知A吐CD AD= BCA.AB/ DC B. / B=Z D ABCA C'B'A'則下列結(jié)論中錯誤的是（C./ A=Z CD.AB)=BC3. 下列判斷正確的是（）A. 兩個等邊三角形全等B. 三個對應角相等的兩個三角形全等C. 腰長對應相等的兩個等腰三角形全等D. 直角三角形與銳角三角形不全等6.如圖，已知AB丄BD于 B, EDL BD于 D, A吐CD BO ED 以下結(jié)論不正確的 是（ ）、填空題# ABCA EFD( SSS

8、9.如圖，在 ABCP EFD中，AD= FC, A吐FE,當添加條件寸，就可/ 2= 30°,/ 3= 26°，則/ CBE=12., ADd三、解答題13.已知：如圖，四邊形 ABCD中，對角線 AC BD相交于O,/ ADCZ BCD ADA吐 CD 求證：AD/ BC=BC,分析：要證AD/ BC,只要證Z =Z又需證也.證明： AB / CD (),二 Z=Z (),在厶中, (), (), ( ), ( ).二 Z=Z ().- /( ).15.如圖，已知 A吐 DC AO DB, BE CE求證：AE= DE.全等三角形判定3“角邊角”兩角和它們的夾邊對應相等

9、的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或 “ASA）.要點詮釋：如圖，如果/ A=Z A', A吐 A'B'，/ B=Z B'，則 ABCAA'B'C'.1. 全等三角形判定4“角角邊”兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“ AAS）2. 三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.如圖，在 ABCPA ADE中，如果 DE/ BC，那么/ ADE=Z B，Z AED=Z C, 又/ A=Z A,但厶ABCPA ADE不全等.這說明，三個角對應相等的兩個三角形不 一定全等.要點三、判定方法的選擇1.選擇哪種判

10、定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表:已知條件可選擇的判定方法一邊一角對應相等SAS AAS ASA兩角對應相等ASA AAS兩邊對應相等SAS SSS類型一、全等三角形的判定3 “角邊角”C»i、已知：如圖，E, F在 AC上，AD/ CB且 AD= CB, / D=Z B.i/ A=/ C在厶 ADFg CBE中A CAD CBD B ADFA CBE (ASA AF = CE , AF+ EF= CE EF故得：AE= CF舉一反三：【變式】如圖，AB/ CD AF/ DE, BE= CF.求證：A吐CD.Cu類型二、全等三角形的判定4 “角角邊”譏已知：如圖，AB丄AEA

11、D丄AC/ - B , D. CB 求證：AD= AC:丄 CAD=Z BAB 90/ CAD-Z DAB=Z BA冉/ DAB，即/ BAC=Z EAD 在厶 BACm EAD中BAC EADB ECB=DE BACA EAD( AASi AC = AD舉一反三：【變式】如圖，人。是厶ABC的中線，過C、B分別作AD及 AD的延長線的垂線CFBE.證明：ADA ABC的中線 BD= CD BE! AD CF丄ADZ BED=Z CFD= 90°,在厶BEDffiA CFD中BED CFDBDECDF (對頂角相等)BD CD BEDA CFD(AAS BE= CF3、已知：如圖，A

12、C與BD交于0點，AB/ DC A吐DC(1) 求證：AC與 BD互相平分；(2) 若過0點作直線I，分別交AB DC于 E、F兩點，求證：0E= OF.證明： AB/ DC./A = /C在厶 ABOW CDC中A = CAOB= COD （對頂角相等）AB=CD ABOA CDO（ AAS心 CO，BO=DO 在厶 AEOF3 CFO中A = CAO=COAOE = COF （對頂角相等） AEOA CFO（ ASA OE= OF.一、選擇題1.能確定 ABCA DEF的條件是 ()A. A吐 DE BO EF,ZA=Z EB. A吐 DE BO EF,ZC=Z EC.Z A=Z E, A

13、吐 EF,/ B=Z DD.Z A=Z D, A吐 DE/ B=Z EABC2如圖，已知 ABC的六個元素，則下面甲、乙、丙三個三角形中，和 全等的圖形是 ()圖4 3A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙3.AD® ABC勺角平分線，作DEIAB于E,DF丄AC于F,下列結(jié)論錯誤的是（）A. DE= DFB. AE= AFC. BD= CDD. / ADE=Z ADF4. 如圖，已知 MB= ND / MBAfZ NDC下列條件不能判定 ABMR CDN的是 ( )A . ADCA BCDD. AM/ CNC. ABOA CDOB . ABDA BACD. AOD BOC、填空題

14、7.要使 ABE也 ACE,還需添加一個條件是.(填上你認為適當?shù)囊粋€條件即可).8. 在厶ABCffiA A'B'C'中，/ A= 44°, / B= 67°, / C' = 69°, / B' = 44°,且AO B'C'，則這兩個三角形 等.（填“一定”或“不一定”）9. 已知，女口圖，AB/ CD AF/ DE, AF= DE 且 BE= 2, BO 10,貝U EF=.11.如圖，已知：/ 1 =Z 2 ,/ 3 =Z 4 , 要證 BD = CD ,需先證 AEB也 AEC ,根據(jù)是,再

15、證 BDE ,根據(jù)是12.已知:如圖,/ B=Z DEF A吐 DE 要說明 AB3A DEF(1) 若以(2) 若以(3) 若以ASA為依據(jù)，還缺條件 AAS為依據(jù)，還缺條件 SAS為依據(jù)，還缺條件 三、解答題13閱讀下題及一位同學的解答過程：如圖， AB和 CD相交于點0,且0爪OB / A=Z C.那么 AODt COB全等嗎？若全等，試寫出證明過程；若不全等， 請說明理由.答: AOD COB證明：在厶AODffiA COB中占A C(已知),OA OB(已知),AOD COB(對頂角相等), AODA COB (ASA.問：這位同學的回答及證明過程正確嗎？為什么？14. 已知如圖，E

16、、F在BD上，且A吐CD BF= DE AE= CF,求證：AC與BD互相平分.D15. 已知：如圖,AB/ CD, OA = OD, BC過0點,點E、F在直線AODh,且AE=DF.求證：EB/ CF.要點一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的條件可知，對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應相等， 或兩直角邊對應相等，這兩個直角三角形就全等了 這里用到的是“AAS, “ASA 或“ SAS判定定理.要點二、判定直角三角形全等的特殊方法一一斜邊，直角邊定理在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等 （可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個判定方法是直角三

17、角形所獨有的， 一般三角形不具備.【典型例題】 類型一、直角三角形全等的判定 一一“ HL'1、已知：如圖，AB丄BD, CDLBD, AD= BC求證：（1） A吐CD證明：（1）v AB丄 BD CDL BD/ ABD=Z CD* 90°在 Rt ABD 和 Rt CDB中AD= BCBD DB Rt AB醫(yī) Rt CDB( HL) A吐CD (全等三角形對應邊相等)(2)由/ ADB=Z CBD AD/ BC .舉一反三：【變式】已知：如圖， AELAB BCLAB, AEAB ED= AC已知：如圖，AO BD ADL AC，BCLBD判斷滿足下列條件的兩個直角三角形

18、是否全等，不全等的畫“X等的注明理由：(1) 一個銳角和這個角的對邊對應相等；()(2) 一個銳角和斜邊對應相等；()(3) 兩直角邊對應相等；()(4) 一條直角邊和斜邊對應相等.() 舉一反三:【變式】下列說法中，正確的畫“V” ；錯誤的畫“X”，并舉出反例畫出圖形(1) 一條直角邊和斜邊上的高對應相等的兩個直角三角形全等.()(2) 有兩邊和其中一邊上的高對應相等的兩個三角形全等.()(3) 有兩邊和第三邊上的高對應相等的兩個三角形全等.()證明：連接DC ADL AC, BCL BD/ DAI CB9 90°在 Rt ADC與 Rt BCD中,DC CDAC= BD Rt AD3Rt BCD（ HL） AD- BC .（全等三角形對應邊相等）舉一反三：【變式】已知，如圖，AC BD相交于O, AC- BD / C=Z D- 90 求證：O（- OD.C>4、如圖，將等腰直角三角形 ABC的直角頂點置于直線I上，且過A, B兩點 分別作直線I的垂線，垂足分別為D, E,請你在圖中找出一對全等三角 形，并寫出證明它們?nèi)鹊倪^程.一、選擇題1 .