張量分析報(bào)告

1、愛因斯坦求和約定1.1 指標(biāo)變量的集合：Xi,X2,Xnyi,y2,.,yn表不為：Xi,i 1,2,3,.,nyj,j 1,2,3., n寫在字符右下角的 指標(biāo),例如Xi中的i稱為下標(biāo).寫在字符右 上角的指標(biāo),例如yj中的j稱為上標(biāo)；使用上標(biāo)或下標(biāo)的涵義是不 同的.用作下標(biāo)或上標(biāo)的拉丁字母或希臘字母,除非作了說明,一般取 從1到n的所有整數(shù),其中n稱為指標(biāo)的范圍.1.2 求和約定假設(shè)在一項(xiàng)中,同一個(gè)指標(biāo)字母在上標(biāo)和下標(biāo)中重復(fù)出現(xiàn),那么表示要對這個(gè)指標(biāo)遍歷其范圍1, 2, 3, !求和.這是一個(gè)約定,稱為 求和約定.例如：A1X1A2X2A3X3b1A1XA22 X2A3X3b2A1XA32

2、X2A34b3筒寫為:啞指標(biāo)i自由指標(biāo),在每一項(xiàng)中只出現(xiàn)一次,一個(gè)公式中必須相同遍歷指標(biāo)的范圍求和的重復(fù)指標(biāo)稱為“啞標(biāo)或“偽標(biāo) .不求 和的指標(biāo)稱為自由指標(biāo).1.3 Kronecker-符號(克羅內(nèi)克符號)和置換符號Kronecker- 符號定義1 當(dāng)i jji ij 0 當(dāng)i j ijk 置換符號k e定義為：1 當(dāng) i, j, k是 1,2,3的偶置 換(123,231,3 12)eijk ejk1 當(dāng) i,j, k是 1,2,3的奇置換(213,132,321)0 當(dāng)i, j, k的任意二個(gè)指 標(biāo)任意i,j,k的這些排列分別叫做循環(huán)排列、逆循環(huán)排列和非循環(huán)排列.置換符號主要可用來展開三階

3、行列式：1 3 22 133 1 2aa2a3w a2a3a1a2a3因此有:i2a2i3a3 aiimAmj同時(shí)有：ii112233ik kjijij ijiiij jk klilaikkjaja.j a. ana?2a33eiejijiii2i3j1j2j3kik2k3iijikii2j2k2i3j3k33i323302i2i2223i2i3Plqi0k epqri1 p10k epqrHrj1k1i2iPjPkPiqjqj2k2j3k3P2P3P2i3P3i1P1iqjqkqirjrirjrkriqjrirq2q3jqiPr2311312313322323311322333312 323

4、 331332313a21332313 322331312 3213333n323 3320k31i32j33k0k3i13j23k3Kronecker-和置換符號符號的關(guān)系為：ekjekstis jt js it張量代數(shù)2.1 張量的加法減法兩個(gè)同階、同變異結(jié)構(gòu)的張量可以相加或相減.張量相加或 相減是相加或相減其同名的分量設(shè)A；k,B是張量,那么Ajk Ajk BjkCijk Ajk Bjk4nx T也是張量.可以證實(shí),張量相加減的結(jié)果是一個(gè)同階同變異張 量.B1 x -y mn x iXAjk yBjk y端yyjc1 xJmn x2.2 對稱張量、斜對稱張量1對稱張量假設(shè)張量滿足如下的關(guān)

5、系式：Aj Aji這樣的張量稱為二階對稱張量.例如,根本度量張量和相伴度量張量都是對稱張量.2斜對稱張量假設(shè)張量滿足以下關(guān)系式：Aij Aji那么稱為二階斜對稱張量.斜對稱張量也稱為反對稱張量.3二階張量的分解任何一個(gè)一般二階張量都可以分解成一個(gè)對稱張量和一個(gè)反對稱張量之和,即:GjAjBjAjBij1 C 21 C 2j Cjij CjiAji1八 -2 Cji Cij Bji4高階張量的對稱和反對稱高階張量可以是關(guān)于一對下標(biāo)或上標(biāo)對稱或反對稱.例如置換張量,它關(guān)于任一對下標(biāo)是反對稱的:ijk jik, ijk ikj, ijk kji2.3 張量的乘法兩個(gè)張量的外積是將它們的分量相乘.這樣

6、的運(yùn)算產(chǎn)生一個(gè)新張 量,其階數(shù)是相乘兩張量的階數(shù)之和.設(shè)Aj、Bk是張量,那么外積CjAjBkAnnmnAj y 苗 yCkyx xlij Amn x B xy ykmnyxx y-1ij Cj xxyy張量乘法的性質(zhì)：張量的乘法是不可交換的.由幾個(gè)張量連乘的乘積,那么乘積張量中指標(biāo)排列的次序由連乘張 量的排列次序確定.CijkAjBkCkij BkAj張量Cjk與張量Ckij不相等.假設(shè)Aj是對稱張量,Bij是斜對稱張量,可以很容易證實(shí),它們的 乘積等于0,即:ABij 0由于置換張量是關(guān)于任一對指標(biāo)的反對稱張量,因此它與任何一個(gè)二階對稱張量的乘積等于0.2.4張量的縮并、內(nèi)積在混合張量中,

7、使一個(gè)上標(biāo)和一個(gè)下標(biāo)相等,然后按求和約定求 和,這樣的運(yùn)算,稱為縮并.每一縮并,得到一個(gè)新張量,比原張量設(shè)Ajkj是一個(gè)四階混合張量.作縮并運(yùn)算,那么Ai jik Bjki q r sPA qrs X筋y x x xAjkj y-pmx y y y假設(shè)令指標(biāo)i與k相等,可得:i q r s?iy x x x A pA jij y p j p A qrs x x y y yxqyjsX八pj- A qrs xy縮并運(yùn)算可以應(yīng)用于任意階混合張量.還可將乘法和縮并結(jié)合起來形成新張量,這種運(yùn)算稱為兩張量的內(nèi)乘法,得到的張量稱為該兩張量的內(nèi)積.如:c A Bj三張量的擴(kuò)展3.1 基矢量的偏導(dǎo)數(shù)與克里斯托

8、弗(Christoffel)符號求一個(gè)矢量的導(dǎo)數(shù),必須對它的各個(gè)分量與基矢量乘積之和求導(dǎo)：V xjgi,jiiiv gi ,j v ,j gi v gi,jiVi gi . Vi,j gi Vi g ,j ,jxjk z . Ikxzxj xi可以看出基矢量gi對于坐標(biāo)xj的偏導(dǎo)數(shù)也是矢量,它也可以分成沿對偶基矢量或基矢量方向的分量：guk kijk g j gk式中：ijk是沿gk方向的分量；稱為第一種克里斯托弗符號；kij是沿gk方向的分量；稱為第二種克里斯托弗符號.llgi,j gk 跖 g gk 跖 k 球gi,j gk C gl gk 匕 1k 43.2 Hamilton 算子記v

9、= gi 由于可知算子V服從向量的定義.設(shè)伊 為三維區(qū)域a中的標(biāo)量場,關(guān)于仍 的左右梯度為v仍-d*序-的巴內(nèi)-訶鳥.g為2其中 西,下標(biāo)中的逗號表示對其后坐標(biāo)的微商,洛從上述兩式可以看出標(biāo)量的左右梯度相等.設(shè)龍 為三維區(qū)域.中的向量場,關(guān)于 M 的左右散度為 L r , ,一 一I.從上面兩式可以看出向量的左右散度相等.關(guān)于向量場的左右旋度為1 J一一對于感的左右旋度,有關(guān)系式N33N .標(biāo)量場螭的Laplace算子, 為,守印二伊名馬3產(chǎn)H = %序p =向量場0的Gauss公式為其中ar?為區(qū)域 的邊界曲面,杰=用去,施為80 上的單位 外法向量.向量場癥的Stokes公式為JJVy.a

10、 ds = ja dr*這里S為任意曲面,的 為s的邊界曲線,在邊界 的 上積分的 環(huán)向與$的外法向點(diǎn)依右手定向規(guī)那么：施指向觀察者,從觀察者來 看,曲線沿反時(shí)針為正.第二局部張量:的簡單運(yùn)用張量分析在許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,現(xiàn)在所學(xué)的彈塑性力學(xué)就有簡單的運(yùn)用介紹,而且張量分析在巖石流變中的應(yīng)用也非常有意義.巖石流變本構(gòu)方程在小變形情況下有：s = Q I.=一,), (r = l,2,-,n)式巾,心憂和g分別為豐彈性應(yīng)變偏張量、彈性應(yīng)變偏張量和偏應(yīng)變張量小為偏應(yīng)力張量：丁用0分別為第個(gè)內(nèi)變量及其對應(yīng)的.義內(nèi)摩擦力嚴(yán)和平間滿足如下關(guān)系.門什一12,n)de式中,:為廣義時(shí)間；心由如5定義在車彈性應(yīng)變空間中兩相鄰狀態(tài)間的正離決皂= drjidi?尸(夕口討：叫/)式中,M為四汾損傷效果張量；對于初始各向同性材料1和“外口:表示為,r - 1.2,)省/) = &(/),式中,和巴(J)是材料參數(shù)：乙為四階單位張量口采用下式?jīng)Q定的廣義時(shí)間標(biāo)度 dqdz-尸r微分式(2),得&Q )= dW : AT 匚 0 + c；xdcr - 4大0舊 + c M : dr式中,見為材料參數(shù)；吟(4)當(dāng)0時(shí),由圖1看出p：=小那么式可表示為當(dāng)十沖如上所述,巖石流變在引進(jìn)了張量分析后,其表達(dá)變得很簡便, 便于計(jì)算和學(xué)習(xí).第三局部張量分析的展望首