1排列組合21法

1、1 1、相鄰問題捆綁法：題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一組，當(dāng)做一個大元素參與排列。例 1.1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數(shù)有（）A.60種B.48種C.36種D.24種4*把人B視為一人，且B固定在A的右邊，則本題相當(dāng)于4人全排列，A424種。2 2、相離問題插空排：元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端。例 2 2.七人并排站成一列，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（）A.1440種B.3600種C.4820種D.4800種*除甲乙外，其余5個排

2、列數(shù)為尺種，再用甲乙去插6個空位有N種，不同的排法種數(shù)是A5A23600種。3 3、定序問題縮倍法：在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法。例 3.3.A,B,C,D,E五人并站成一排，如果B必須站在A的右邊（A,B可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是（）A.24種B.60種C.90種D.120種* *B在A的右邊與B在A的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個元素全排列數(shù)的一半，即工點(diǎn)60種。24 4、標(biāo)號排位問題分步法（錯位排列）：把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成。例 4 4.將數(shù)字1,2,3,4填入標(biāo)號

3、為1,2,3,4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標(biāo)號與所填數(shù)字均不相同的填法有（）A6種B.9種C.11種D.23種*先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種填法，共有3319種填法。5 5、有序分配問題逐分法：有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法。例 5.5.（1 1）有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法種數(shù)是（）種A.1260B.2025C.2520D.5040* 先從10人中選出2人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再從剩下的8人中選1人

4、承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有。粒8弓2520種。（2）12名同學(xué)分別到三個不同的路口進(jìn)行流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方*-/、八C4C4c4不出口GC4C4c4工rhCC4C4八3工rhCC12c8C41?。ǎ〢.C12C8c4和B.3C12C8C4CTC.C12C8A3種D.神A6 6、全員分配問題分組法例 6.6.（1 1）4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案有多少種？* 把四名學(xué)生分成3組有C42種方法，再把三組學(xué)生分配到三所學(xué)校有N種，故共有C42A3336種方法。說明：分配的元素多余對象且每一對象都

5、有元素分配時常用先分組再分配。（2 2）5本不同的書，全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為A.480種B.240種C.120種D.96種7 7、名額分配問題隔板法例 7.7.10個三好學(xué)生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案？*10個名額分到7個班級，就是把10個名額看成10個相同的小球分成7堆，每堆至少一個，可以在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對應(yīng)著一種分配方案，故共有不同的分配方案為C；84種。8 8、限制條件的分配問題分類法例 8 8.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟(jì)開發(fā)建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川

6、，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？* 因?yàn)榧滓矣邢拗茥l件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況：若甲乙都不參加，則有派遣方案A84種；若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學(xué)生有用方法，所以共有3A；種；若乙參加而甲不參加同理也有3A3種；若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再排其余8人到另外兩個城市有8種，共有7A方法。所以共有不同的派遣方法總數(shù)為X4088種。* 、多元問題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況分別計(jì)數(shù)，最后總計(jì)。例9(1)由數(shù)字012,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中各位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有()A.21

7、0種B.300種C.464種D.600種* 按題意，個位數(shù)字只可能是0,123和4共5種情況，分別有2、A；A；N、A；A；A；、A；A；A；和內(nèi)A；個，合并總計(jì)300個。(2)從12,3,100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個數(shù)的取法(不計(jì)順序)共有多少種？* 被取的兩個數(shù)中至少有一個能被7整除時，他們的乘積就能被7整除，將這100個數(shù)組成的集合視為全集I,能被7整除的數(shù)的集合記作A7,14,2198共有14個元素，不能被7整除的數(shù)組成的集合記作B1,2,3.4,100共有86個元素；由此可知，從A中任取2個元素的取法有C14,從A中任取一個，又從B中任取一個共有C

8、C；6,兩種情形共符合要求的取法有GjC;C21295種。(3)從1,2,3,100這100個數(shù)中任取兩個數(shù)，使其和能被4整除的取法(不計(jì)順序)有多少種？* 將I1,2,3,100分成四個不相交的子集，能被4整除的數(shù)集A4,8,12100；能被4除余1的數(shù)集B1,5,9,97,能被4除余2的數(shù)集C2,6,10,98,能被4除余3的數(shù)集D3,7,11,99,易見這四個集合中每一個有25個元素；從A中任取兩個數(shù)符合要求；從A中任取一個數(shù)，再從B,C,D中各取一個數(shù)也符合要求；從C中任取兩個數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有Cf53C25C25C2種。10、交叉問題集合法

9、：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數(shù)公式nABnAnBnAB。例10.從6名運(yùn)動員中選出4人參加4100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方案？* 設(shè)全集I6人中任取4人參賽的排列，A甲跑第一棒的排列，B乙跑第四棒的排列，根求集合元素個數(shù)的公式得參賽方法共有nInAnBnABA：NK儲252種。11、定位問題優(yōu)先法：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元素；再排其它的元素。例11名老師和4名獲獎同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？14*老師在中間三個位置上選一個有4種，4名同學(xué)在其余4個位置上有4種方法；所以共有

10、72種。12、多排問題單排法：把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。例12.(1)6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數(shù)是()A.36種B.120種C.720種D.1440種*前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共A：720種。(2)8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素排在后排，有多少種不同排法？.-2*看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有A4種，某1個元素排在15后半段的四個位置中選一個有A4種，其余5個元素任排5個位置上有A5種，故共有125A4AjAf5760種。1313

11、、“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法：抽取兩類混合元素不能分步抽。例 1313.從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺，則不同的取法共有（）A.140種B.80種C.70種D.35種*逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機(jī)，故不同的取法共有C；C：C5370種至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不同的取法有C2c4C5c270臺。1414、選排問題先取后排：從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法。例 14.14.（1 1）四個不同球放入編號為1,2

12、,3,4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種？*“先取”四個球中的二個為一組，另二組各一個球的方法有C：種，“再排”在四個3.23盒中每次排3個有A4種，故共有C4A4144種。（2）9名乒乓球運(yùn)動員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同的分組方法？222*先取男女運(yùn)動員各2名，有C5c4種，這四名運(yùn)動員混合雙打練習(xí)有A2種排法，故共有C；C：A；120種。1515、部分合條件問題排除法：在選取的總數(shù)中，只有一部分合條件，可以從總數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求。例 15.15.（1 1）以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有（）A.70種B.64種C.58種D.52種*正方體

13、8個頂點(diǎn)從中每次取四點(diǎn)，理論上可構(gòu)成C：四面體，但6個表面和6個對角面的四個頂點(diǎn)共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實(shí)際共有C；1258個。（2）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10點(diǎn)，在其中取4個不共面的點(diǎn)，不同的取法共有（）A.150種B.147種C.144種D.141種4* *10個點(diǎn)中任取4個點(diǎn)共有C10種，其中四點(diǎn)共面的有三種情況：在四面體的四個面上，每面內(nèi)四點(diǎn)共面的情況為C14,四個面共有4c64個；過空間四邊形各邊中點(diǎn)的平行四邊形共3個；過棱上三點(diǎn)與對棱中點(diǎn)的三角形共6個。所以四點(diǎn)不共面的情況的種數(shù)是C：04C；36141種。1616、圓排問題線排法：把n個不同元素放在圓周n個無編號位置上的

14、排列，順序（例如按順時鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合）的排法認(rèn)為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計(jì)順序而首位、末位之分，下列n個普通排列：a1,a2,a3,an；a2,a3,a4,an,a1；,an,a1,在圓排列中只算一種，因?yàn)樾D(zhuǎn)后可以重合，故認(rèn)為相同，n個元素的圓排列數(shù)有必種。因此可將某個元n素固定展成線排，其它的n1元素全排列。例 16.16.5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？*首先可讓5位姐姐站成一圈，屬圓排列有A：種，然后再讓妹妹插入其間，每位均可插入其姐姐的左邊和右邊，有2種方式，故不同的安排方式2425768種不同1站法。說

15、明：從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有,A：種不同排法。m1717、可重復(fù)的排列求哥法：允許重復(fù)排列問題的特點(diǎn)是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可逐一安排元素的位置，一般地n個不同元素排在m個不同位置的排列數(shù)有mn種方法。例 1717.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個車間實(shí)習(xí)共有多少種不同方法？*完成此事共分6步，第一步：將第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有7種不同方案，第二步：將第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種不同方案，依此類推，由分步計(jì)數(shù)原理知共有76種不同方案。1818、復(fù)雜排列組合問題構(gòu)造模型法例 1818.馬路上有編號為1,2,3,9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，

16、也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？3.一* 把此問題當(dāng)作一個排隊(duì)模型，在6盞亮貨T的5個空隙中插入3盞不亮的燈C5種方法,所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種。說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型可使問題容易解決。1919、元素個數(shù)較少的排列組合問題可以考慮枚舉法例 1919.設(shè)有編號為1,2,3,4,5的五個球和編號為1,2,3,4,5的盒子，現(xiàn)將這5個球投入5個盒子，要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的號碼與盒子號碼相同，問有多少種不同的方法？* 從5個球中取出2個與盒子對號有C52種，還剩下3個球與3個盒子序號不能對應(yīng)，利用

17、枚舉法分析，如果剩下3,4,5號球與3,4,5號盒子時，3號球不能裝入3號盒子，當(dāng)3號球裝入4號盒子時，4,5號球只有1種裝法，3號球裝入5號盒子時，4,5也只有1種裝法，所以剩下三球只有2種裝法，因此總共裝法數(shù)為2C；20種。2020、復(fù)雜的排列組合問題也可用分解與合成法例 20.20.(1)(1)30030能被多少個不同偶數(shù)整除？* 先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的形式：3003023571113;依題意偶因數(shù)2必取，3,5,7,11,13這5個因數(shù)中任取若干個組成乘積，所有的偶因數(shù)為C；C5C52C；C54C532種。不同的四面體，從正方體8個頂點(diǎn)中任取四個頂點(diǎn)構(gòu)成的四面體有C841258個,所以8個頂點(diǎn)可連成的異面直線有358174對。2121、利用對應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法：對應(yīng)思想是教材中滲透的；一種重要的解題方法，它可以將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題處理。例 21.21.(1)(1)圓周上有10點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于園內(nèi)的交點(diǎn)最多有多少個？* 因?yàn)閳A的一個內(nèi)接四邊形的兩條對角線相交于園內(nèi)一點(diǎn)，一個圓的內(nèi)接四邊形就對應(yīng)著兩