不可壓縮理想流體無旋運動

1、Chapter 7 理想不可壓縮流體無旋運動§引言一、不可壓縮理想流體無旋運動模型1）理想：粘性力慣性力的區(qū)域例如繞流問題中邊界層以外區(qū)域的流動。不脫體繞流流動在研究壓力場和速度場時可不計邊界層，近似看成理想流體繞流物體流動。2）不可壓縮：液體，通常情況下。 氣體，低速繞流運動（流速聲速），例如飛機速度<100m/s時。 3）無旋運動：在以上近似下，有勢體力場中流體渦旋運動性質(zhì)具有保持性，即初始無旋則永遠無旋。在流體從靜止開始的運動中（如浸沒在靜止流體中的小球膨脹引起的運動）和無窮遠均勻來流繞流物體的運動等，流動均無旋。此模型是對一類廣泛存在的流動問題的理想近似。二、基本方程組

2、一般情況下要求解非線性方程組?；蜿P(guān)于速度場的求解已求解滿足一定邊界條件的Laplace方程問題。是否線性問題取決于邊界條件。在線性邊界條件下此模型已將原本非線性的求速度場的問題化為線性問題。并且由于是線性的，故滿足迭加原理，可由基本解迭加求得。例如若和均為無窮遠均勻來流繞流某一固壁邊界C的流動，即 ， 則均勻來流繞流該固壁邊界的流動其速度勢為。反之，流動可分解為和流動的合成。§2速度勢函數(shù)和無旋運動的一般特性一、速度勢無旋運動可設(shè)，。速度勢的單值和多值問題單連通區(qū)域單值；復(fù)連通區(qū)域多值，相差的整數(shù)倍，其中是內(nèi)邊界上的速度環(huán)量。不可壓縮無旋流動速度勢滿足：，因而是調(diào)和函數(shù)，具備調(diào)和函數(shù)

3、的一般性質(zhì)，包括： 在D無極值，在D無最大值，在D不能達到最小值； 動能表達式單連通區(qū)域：雙連通區(qū)域： 由可得出以下結(jié)論*單連通區(qū)域若邊界上有則流體靜止，流體內(nèi)處處有； *單連通區(qū)域若邊界上有則流體靜止，流體內(nèi)處處有； *單連通區(qū)域若部分邊界上有，其余邊界上有，則流體靜止，全流場有。 開爾文最小能量原理：在單連通區(qū)域內(nèi)的不可壓縮流動，如果給定邊界上流體的法向速度，則在所有可能的運動形式中，將以無旋流動的總動能為最小。i.e.有旋運動總動能大于無旋運動總動能。附Laplace方程解的唯一性 關(guān)于 Laplace方程的解，其一般形式，存在性和唯一性在數(shù)學(xué)上有一整套的理論，在以下條件下，該方程有唯一

4、解：單連通區(qū)域給定邊界上或，或給定部分邊界上的和其余邊界上的。證明：設(shè)同一邊界條件下有兩個解和，則滿足 由調(diào)和函數(shù)性質(zhì)知，即與僅相差一個常數(shù)，二者代表相同的流動。有界雙連通區(qū)域：單連通域條件+給定內(nèi)邊界速度環(huán)量（或給定分隔面上的流量）例如兩柱殼間區(qū)域內(nèi)的旋轉(zhuǎn)流動。無界雙連通區(qū)域：例如物體外流動、點源的場等。設(shè)無窮遠為的大球面，可將直接推廣過來。三、本章內(nèi)容：討論兩類不可壓縮理想流體的無旋流動。§6、理想不可壓縮流體平面定常無旋流動一、平面運動模型流動參數(shù)沿三維空間的某一方向（取為軸）不變，并且速度矢量落在與該方向垂直的平面內(nèi)：。最簡單的模型：均勻來流繞流無限長柱體?？山瓶闯善矫媪鲃?/p>

5、的實例：河水繞流橋墩，空氣繞流煙囪，機翼繞流等。在這些流動中，物體的某一方向的尺度>>其它兩方向的尺度（細長物體），且物體垂直于該方向的截面大小、形狀變化很小，故被繞流的物體可近似看成是均勻截面的細長柱體。均勻截面的細長柱體的橫向繞流流動，除柱體兩端外，在柱體周圍的大部分區(qū)域有 任一垂直于的平面上的流動可表征除兩端以外的區(qū)域內(nèi)的流動。此模型使問題進一步簡化，更易于求解，研究平面運動還具有重要的理論意義，通過它的研究可以對流動的性質(zhì)有更多的了解，并積累處理問題的方法，所有這些都是處理復(fù)雜流動問題所必需的。二、不可壓縮平面流動的流函數(shù)1.不可壓縮流體平面流動的Lagrange流函數(shù)，設(shè)

6、流動在平面內(nèi)： 證明：若則可以表示為某一函數(shù)的全微分，設(shè)此函數(shù)為，則 于是有。若存在函數(shù)，速度分量可以表示為，則代入即可證明。函數(shù)被稱為流函數(shù)，此積分因是全微分的積分而與路徑無關(guān)，只取決于、點的位置，若取為參考點可設(shè)。流函數(shù)的物理意義：二維流動流體體積通量的意義：通過平面上與連線的流體體積通量通過曲線沿平移單位距離時掃過的曲面上的流體體積通量。對不可壓縮流體，在無源或匯的區(qū)域此通量與連線形狀無關(guān)，只取決于與兩點的位置。設(shè)通量向右為正，代表線元向右的法向，通過的向右的流體體積通量I=通過沿兩坐標軸的投影線元上的向右的流體體積通量II+III，即。可見是與兩點間任意連線上的“向右的”流體體積通量。

7、注： 證明：若沿某曲線，在該曲線上取線元，上有，即，即，可見該曲線是流線。若某曲線是流線，在該曲線上取線元，則有，于是該線元上流函數(shù)的增量，可見沿該曲線。畫圖從的物理意義上分析亦可證明上述定理（此時可表述為沿流線的曲線上的流體體積通量=0）。由還可知與流線處處正交。二維不可壓縮無旋流動，即是調(diào)和函數(shù)。任意線元處的法向速度與的關(guān)系：，向右為正。極坐標下有 ， 若取為流線法向線元，方向如圖，則，或。 矢量關(guān)系式：沿流線且垂直于等速度勢線，故流線與等速度勢線正交。例題：均勻流動的流函數(shù)和勢函數(shù)，取原點為參考點，設(shè)。設(shè)有一均勻流動沿方向，此流動流函數(shù)另有一均勻流動沿方向，此流動流函數(shù)若空間均勻流動，則

8、此流動流函數(shù)（迭加原理，設(shè)此時無邊界）定義在單連通區(qū)域上的平面無旋不可壓縮流動，是單值函數(shù)（可含一任意常數(shù)）；定義在復(fù)連通區(qū)域上的平面無旋不可壓縮流動，可能是多值函數(shù)，其中為內(nèi)邊界上的流體體積通量。§7 復(fù)位勢及復(fù)速度一、預(yù)備知識復(fù)變函數(shù)的一些概念1、解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù) ，是實函數(shù)，若函數(shù)在一個區(qū)域內(nèi)點點可微則在內(nèi)解析。在內(nèi)解析的充要條件：和滿足柯西黎曼條件：，且和在內(nèi)連續(xù)可微。由柯西黎曼條件知解析函數(shù)的實部和虛部均為調(diào)和函數(shù)：。解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2、奇點，留數(shù)，留數(shù)定理內(nèi)不解析的點叫奇點，若在某個奇點的有限小鄰域內(nèi)（不包括該奇點）解析則該奇點是孤立奇點，例如：的點。設(shè)點是復(fù)函數(shù)的孤立奇

9、點，代表圓周：，設(shè)足夠小，只包圍一個奇點。稱積分的值為函數(shù)在孤立奇點處的留數(shù)，記為。與無關(guān)。函數(shù)在孤立奇點處的留數(shù)=在鄰域內(nèi)羅朗展開式中負一次冪的系數(shù)， 。留數(shù)計算法則：是的一階奇點則是的階奇點則留數(shù)定理：如果在閉曲線的內(nèi)部內(nèi)除了有限個孤立奇點外解析（并且在上除外連續(xù)），那么 證明(定性)：柯西積分公式 在內(nèi)解析，上連續(xù)，則沿區(qū)域的邊界有 積分 為以為心任意半徑的圓周，則 時 時 在孤立奇點附近展開成羅朗級數(shù)， ，閉合曲線包圍孤立奇點。二、復(fù)勢和復(fù)速度在除孤立奇點（點渦，點源，點匯）以外的不可壓縮平面無旋運動流場中，函數(shù)和滿足柯西黎曼條件，并滿足連續(xù)可微條件，故二者可構(gòu)成一個解析函數(shù)，被稱為復(fù)

10、勢。重要關(guān)系式：1）復(fù)速度，引入復(fù)速度。因為，所以共軛復(fù)速度。2）。和分別代表閉曲線上的速度環(huán)量和流體體積通量。§8 定常理想不可壓縮平面無旋流動問題的數(shù)學(xué)提法引入復(fù)勢后，可以利用復(fù)變函數(shù)這一有力的數(shù)學(xué)工具解決這一類流動問題。以繞流流動為例，設(shè)固體靜止，固壁邊界c，固壁外無界空間，求解速度場的問題轉(zhuǎn)化為：說明：1）復(fù)勢與平面無旋運動一一對應(yīng)（可含有一個任意常數(shù)，在復(fù)連通區(qū)域為多值函數(shù)），任一給定的解析函數(shù)都代表了一個不可壓縮平面無旋流動，而該解析函數(shù)是否與某一特定流動對應(yīng)則取決于它是否滿足該流動的特定邊界條件。因而通過求求解流動就是尋找滿足一定邊界條件的。滿足一定邊界條件的和具有唯一

11、性具有唯一性。2）復(fù)勢滿足迭加原理（須受邊界條件限制）：解析函數(shù)之和仍為解析函數(shù)，即復(fù)勢迭加所得到的復(fù)勢仍對應(yīng)一個平面無旋運動。布置Groupwork復(fù)習(xí)，三、基本流動的復(fù)勢（反問題：簡單復(fù)勢對應(yīng)的流動）1、線性函數(shù) ，為復(fù)常數(shù) ，說明該復(fù)勢對應(yīng)均勻直線流動。故均勻流動：或，其中和分別代表速度大小和方向。2、對數(shù)函數(shù)，為實數(shù)，是奇點將代入得，于是可知，可見流線是發(fā)自原點（奇點）的輻射線。則為點源激發(fā)的流動，則為點匯激發(fā)的流動。，閉合曲線代表包圍原點的圓周。故強度為的點源（匯）的流場：。3、對數(shù)函數(shù)，為實數(shù)，為奇點。，于是知，可見流線為同心圓周。，該速度代表一個軸對稱圓周運動，繞行方向取決于的正

12、負。上式也說明在處有點渦存在（軸為渦絲，強度為），也就是說該復(fù)勢對應(yīng)直線渦絲誘導(dǎo)的流動或點渦誘導(dǎo)的平面流動。故點渦的場復(fù)勢為。4、冪函數(shù) 為實數(shù)且（不代表有實際意義的流動） ，； ，；零流線：對應(yīng)和（一般有，為整數(shù)）。若此二流線處是固壁邊界，則表示繞此角形固壁邊界的“繞角流動”。設(shè)，處 ， 處 ，則流線圖如右側(cè)各圖所示。特例：代表凹角內(nèi)流動。時，處，角點為駐點。特別當，代表駐點附近的流動或繞直角形邊界的流動。，流線是一族雙曲線。代表均勻流動表示繞平板前緣的流動代表繞凸角的流動。由表達式知此時有當，這在實際不可能。實際上，由于粘性的存在，在凸角附近總發(fā)生流動分離。O5、反比例函數(shù)，為常數(shù)。偶極子

13、：無限靠近的一對等強度點源和點匯。說明：（1）兩個解析函數(shù)的和仍為解析函數(shù)。在除去兩個孤立奇點以外的無界二維空間內(nèi)是解析函數(shù)，因而對應(yīng)該空間內(nèi)的某個不可壓縮平面無旋流動；（2）滿足流動的邊界條件：無窮遠靜止；（3）兩奇點分別為強度為的點源和點匯?；啠海ㄉ舷峦瑫r對求導(dǎo)） （設(shè)偶極子強度） 可見反比例函數(shù)表示偶極子的場。流線圖：設(shè)，則流線方程為，即 ，可見流線族為與軸相切圓心在軸上的圓族。遠場：。點源的場，相比之下偶極子場隨增加衰減更快。四、圓柱的繞流簡單流動復(fù)勢迭加給出較復(fù)雜的流動的復(fù)勢1、無環(huán)量的圓柱繞流（均勻來流繞流靜止圓柱）以流函數(shù)描述的控制方程組：。以復(fù)勢描述：討論均勻流動與偶極子流動

14、的迭加。均勻來流沿軸，速度，偶極子逆軸置于原點。 設(shè)。流線。零流線和如圖所示。若取則此可表示繞流靜止的圓柱體的流場，。當時 ie 無窮遠處是均勻流動，速度為（滿足無窮遠邊界條件）。參閱北大書p43上的定性分析。 分析：1）速度在柱面上的分布： ，可見，柱面上速率按正弦分布。2）柱面上壓力分布Bernoulli eq.（略體力）：，由此得柱面上有。駐點處的動壓=，因而常用表示的特征值。引入無量綱的壓力系數(shù)反映壓力的相對分布：。I 此處，上、下和前、后對稱分布，因而柱體不受阻力和升力。壓力分布圖說明：真實流動，脫體現(xiàn)象、實驗曲線，阻力。觀看圖片注：分支流線柱體在靜止流體中勻速移動引起流體運動，流動

15、復(fù)勢。（思考：由速度在不同參照系中的換算復(fù)勢在不同參照系中的換算：柱體參照系下的復(fù)勢+牽連速度對應(yīng)的均勻流動的復(fù)勢=靜系（靜止流體）下的流動復(fù)勢）2、有環(huán)量的圓柱繞流實驗：北大p49圖。圓柱體立于小車上，圓柱體可繞其軸線作定軸轉(zhuǎn)動。此裝置置于風(fēng)洞中，當柱體不轉(zhuǎn)，風(fēng)以吹來，此時柱和小車系統(tǒng)靜止不動。當柱體轉(zhuǎn)動再吹風(fēng)時，小車開始移動沿或逆向，取決于轉(zhuǎn)動方向。解釋：若不考慮粘性，流場同1，系統(tǒng)不可能運動，因而必須考慮粘性，粘性的存在使界面附近的氣體隨柱轉(zhuǎn)動（）。粘性引起的氣體的圓形流線運動等價于點渦誘導(dǎo)的理想流體無旋流動的流場，如同球面上均勻分布的電荷在球外激發(fā)的靜電場等價于所有電荷集中于球心時球外

16、空間的電場）。此時內(nèi)邊界上存在速度環(huán)量，設(shè)為。這是有環(huán)量的圓柱繞流問題。我們期待繞旋轉(zhuǎn)圓柱的流動能產(chǎn)生使圓柱發(fā)生橫向運動的升力。復(fù)勢：繞流靜止圓柱的復(fù)勢（滿足無窮遠邊界條件和物面為流線的邊界條件）+點渦的復(fù)勢（滿足無窮遠邊界條件、物面為流線條件以及界面上速度環(huán)量=的條件） （柱體順時針旋轉(zhuǎn)對應(yīng)負的環(huán)量）分析：1、駐點： 即： 兩駐點一個在圓內(nèi)，一個在圓外，對應(yīng)流動狀況如圖1所示，流場中只有一個駐點。在所形成的回線內(nèi)部，流體繞圓柱環(huán)流，總是不進入主流。，：流動狀況如圖2.，：兩駐點位置如圖3，流動狀況如圖3。可見，一定時，隨減小流線的變化情況。2、升力定性分析，在柱體上方，環(huán)流引起的速度與來流速

17、度方向基本一致，故速度增大，而在下方正相反，ie環(huán)流導(dǎo)致速度分布不對稱（相對軸），從而破壞了壓力的對稱分布，于是產(chǎn)生了沿軸方向的升力。若反向則升力方向也變?yōu)槟孑S方向。定量計算升力：在單位長柱面上積分給出單位長柱體受力。Bernoulli eq.：，其中代表柱面上流體復(fù)速度，。 ， 。關(guān)于軸對稱故；。矢量關(guān)系：。注：仍與事實不符，實際流體粘性導(dǎo)致阻力存在。Magnus效應(yīng)：旋轉(zhuǎn)物體如乒乓球、排球等受升力，無粘性理論可解釋這一效應(yīng)。例一：點源和點渦迭置于平面上一點（水泵內(nèi)的流動），求流動復(fù)勢，流函數(shù)，速度。 ， ，六、平面運動中的像方法在由奇點（點源或點渦）產(chǎn)生的流動中，加入固壁邊界條件（物體），

18、邊界就會對流動產(chǎn)生干擾，改變流動狀況。如右圖，在點源的場中放入平板，對于平板或圓這類簡單的邊界，我們有如下的方法求復(fù)勢，而于復(fù)雜的邊界，可先用保角變換的方法將其變成簡單邊界，然后再使用鏡象法。定義幾種不同形式的共軛運算： e.g. ，奇點是。 e.g. ，奇點為。注意：和的奇點都是奇點的共軛，此結(jié)論普適。 普通的復(fù)共軛 。1、平面邊界的鏡像法e.g.：點渦和平板邊界，點渦（）位于右半平面（），求右半平面內(nèi)的流場。分析：假如在左半平面對稱地放置一個點渦，這樣一對渦產(chǎn)生的流動既滿足了平板處的邊界條件，又未改變右半平面內(nèi)的奇點。點渦場：。點渦及其像的流場迭加即右半平面內(nèi)的流動：。一般地有如下定理：如

19、果所有的奇點都位于右半平面內(nèi)，無固壁邊界時其復(fù)勢為，當以作為固壁邊界后，在區(qū)域內(nèi)復(fù)勢為證明：在邊界上，故=實函數(shù)，即。的奇點在右半平面，的奇點在左半平面，故右半平面的奇點與的相同。綜合以上，定理得證。設(shè)奇點都在上半平面，以實軸為固壁邊界，則。（分別以點源和點渦為例說明）證明：此時邊界上故 故邊界上實函數(shù)，即。的奇點在上半平面，的奇點在下半平面。故上半平面的奇點與的相同，綜合以上，定理得證。像點與原奇點位置關(guān)于邊界對稱，強度共軛（源強度不變，渦強度反號）例：求偶極子相對某一直線壁的像。單個偶極子的流場上半平面流場2、Milne一Thomson圓定理圓柱邊界的像。內(nèi)容：如果為沒有任何固體邊界并且在

20、圓內(nèi)無任何奇點的平面流動的復(fù)勢，在流場中引入圓（柱）邊界后，圓柱外的流動復(fù)勢將為 ， 實例：無環(huán)量圓柱繞流 ，均勻來流關(guān)于圓邊界的像為位于圓心的偶極子證明：柱面上（圓邊界上），故仍有實函數(shù)，。 若為奇點則為奇點ie 為奇點。的鏡像點為 故奇點均在圓內(nèi)。為所求流動復(fù)勢。Eg4：圓柱外的源的流場： 像在點，像在原點。Eg5：圓柱外的渦的場。 一一反佇點處的反向渦 一一原點處的同向渦 七、保角變換及其應(yīng)用1、保角變換及保角變換方法求復(fù)勢的基本思想：將平面固壁邊界或多角形區(qū)域研究外的流動變換成圓邊界或平板邊界問題， 解析變換的性質(zhì)（單值函數(shù)）平面處某線元，對應(yīng)平面處線元，線元放大率：，其值逐點而異，線

21、元方向變化：，其值與線元的取向無關(guān)，即處沿不同方向的線元（例如和）變換到平面時轉(zhuǎn)過相同的角度變換是保角的（除點外）。例，角形區(qū)域如右圖的變換：，處變換不保角，直線變換到平面仍是直線。直線1：，變換到平面轉(zhuǎn)過角度；直線2：，變換到平面轉(zhuǎn)過角度；奇點變換到平面成為奇點。 直線：，成為與軸夾角為的直線。說明：(i) 若是解析函數(shù)，解析保證解析，反之亦然。(ii)對應(yīng)點處復(fù)勢相等，即相等，線段與對應(yīng)，上上(iii)奇點的變換：(iv)平面的無窮遠均勻來流，變換后的共軛復(fù)速度 , 2、保角變換應(yīng)用之一茹柯夫斯基變換 () ，為實常數(shù)。 例 平板繞流(i) 平面上的圓，即平面：（實數(shù)），對應(yīng)平面上的直線段，長；(ii) 平面平板（長），攻角為的均勻來流（）繞流該平板，設(shè)繞流平板速度環(huán)量（即繞平面內(nèi)對應(yīng)圓周環(huán)量）。平面均勻來流變換到平面對應(yīng)的無窮遠邊界條件為：可見對應(yīng)平面來流攻角不變，速率減小一半。 （iii）庫塔條件 ，當時即A點處。要使A點處速度有限必有（僅當時無環(huán)量）是繞流時由于粘性而導(dǎo)致的流動分離引起的環(huán)量，對于確定的來流及板長，值是唯一的。注意平板后緣是駐點。§3、定常二維繞流問題中物體所受的力問題的提出：小鳥扇動翅膀（eg蜂鳥吸花