完整版量子力學(xué)復(fù)習(xí)提綱

1、1.2.粒子的雙縫實(shí)驗(yàn)的結(jié)論是什么答：粒子具有波動(dòng)性在量子力學(xué)中,波函數(shù)的波動(dòng)方程是什么它是定態(tài)薛定謂方程嗎?.2答：量子力學(xué)中波函數(shù)的波動(dòng)方程是出三W (r ,t)=V2十V(r)M(r,t)它不是；:t2m'定態(tài)薛定謂方程,定態(tài)薛定謂方程是假設(shè)勢(shì)能 V不顯含時(shí)間t,其形式是：.2r . r'、V(r)(r)3.4.波函數(shù)除了歸一化要求之外的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件是什么 答：?jiǎn)沃?、連續(xù)、有限.寫(xiě)出一維無(wú)限深方勢(shì)阱的能量本征函數(shù)及能量本征值.答：U(x ) = L0,.二,0： x ax =othersH?>=P?x2U(x ),H?'- n ( x )=E n'-

2、；n ( x )2(平 n ( x ) = */ sin( n " X ), n = 1 , 2, 3, | t aaH 2 右 22E n =/ °2, n =1,2, 3,|2a5.寫(xiě)出一維線性諧振子的能量本征函數(shù)及能量本征值.1. o 0U ( x )=卜與 x2CP? 21c cCH? = * + P 切 2 x 2 , H?平 n ( x ) = E 球 n ( x )2卜 22 x 2W n (x) = N n H n (二 x)e2 , 0,1 ,2, HP6.E n = (n + 1)加,n = 0,1 , 2,什么叫做粒子的共振穿透請(qǐng)舉例說(shuō)明.Partic

3、l vII Rodion III答：當(dāng)粒子射入勢(shì)阱時(shí),將發(fā)生反射和折射,當(dāng)粒子的能量滿(mǎn)足一定的條件時(shí)會(huì)使透Region I射系數(shù)T=1 ,這種現(xiàn)象就叫做共振穿透.如上圖所示,粒子在有限深勢(shì)阱中,我們?cè)O(shè).22E 2kl_ -2 , k2 -y4起茶n2力2 nn 2當(dāng)k2L =m 即En =亦七2 +V0時(shí),T =1 ,產(chǎn)生共振穿透.7. 什么叫做粒子的遂穿效應(yīng)請(qǐng)舉例說(shuō)明.答：粒子在能量 E小于勢(shì)壘高度時(shí)仍能貫穿勢(shì)壘的現(xiàn)象,稱(chēng)為隧道效應(yīng).金屬電子冷發(fā)射和d衰變等現(xiàn)象等都是隧道效應(yīng)產(chǎn)生的,還有基于兩字隧道效應(yīng)的掃描隧道顯微 鏡.8. 粒子的共振穿透與粒子的遂穿效應(yīng)有何區(qū)別答：共振穿透的物理意義是,

4、入射粒子進(jìn)入勢(shì)阱后,碰到兩側(cè)阱壁時(shí)將發(fā)生反射和透射,如粒子能量適宜,使它在阱內(nèi)波長(zhǎng)舄滿(mǎn)足n九=2a a為阱的寬度,那么經(jīng)過(guò)各次反射而透射出去的波的相位相同,因而彼此相干疊加,使透射波波幅大增,從而出現(xiàn) 共振透射.而遂穿效應(yīng)其實(shí)是粒子具有波動(dòng)性的表現(xiàn).9. 什么叫做厄米算符它有什么性質(zhì)答：如果算符 F滿(mǎn)足 代? dv= J削W dv,那么稱(chēng)算符F為厄米算符.厄米算符有三點(diǎn)性質(zhì),一是體系的任何狀態(tài)下,其厄米算符的平均值必為實(shí)數(shù)；二是厄米算符 的本征值必為實(shí)數(shù)；三是厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交.10. 量子力學(xué)中兩個(gè)根本力學(xué)量是什么在坐標(biāo)表象中,用什么算符表示答：量子力學(xué)中兩個(gè)根本力學(xué)量

5、是坐標(biāo)7和動(dòng)量E,在坐標(biāo)表象中,坐標(biāo) 7用坐標(biāo)算符r表示,動(dòng)量用動(dòng)量算符 p = -力2 V表示.11. 動(dòng)量算符的本征函數(shù)和本征值是什么其本征函數(shù)如何歸一?1. i .答：動(dòng)量算符的本征函數(shù)是：Wpr = ep萬(wàn)p r,其本征值為p.其只能2二2歸以為函數(shù)5函數(shù),即 仟;'rprdT = 5p p'.QO12. 在三維直角坐標(biāo)系中,角動(dòng)量算符的表示式是什么動(dòng)量矢量算符的本征函數(shù)和本征值是什么L?x= yp?z- zp?y = - i h yM- z tozcy J答：L?y = zp?x - xp?z = - i h 1 - x kC xC z JL?z = xp?y- yp

6、?x=-ih x - y < cy cx J動(dòng)量算符的本征函數(shù)和本征值如上.13.在球坐標(biāo)系中,角動(dòng)量平方算符的表示式又是什么它的本征函數(shù)和本征值是什么?其中什么是軌道角動(dòng)量量子數(shù)角量子數(shù)取值范圍是哪些數(shù)值L?22 .ctg 口口 2或c 2 + j- + ctg 6 - W2 W2g 強(qiáng)；答:U | sin =h 2D?i sinD?sinsin u、+sin1一2/ 12"m (") = l(l 1)h 2Yim (")L?zYim (") = mh Yim (")l表征軌道角動(dòng)量的大小,稱(chēng)為軌道角動(dòng)量角量子數(shù),l= 0 , 1 ,

7、2 , m那么稱(chēng)為軌道角動(dòng)量的磁量子數(shù),對(duì)應(yīng)丁一個(gè)l的值,m可取2l+1個(gè)值,m=l,l-1,l-2, ,1,.,-1,-2, ,-114. 在球坐標(biāo)系中,角動(dòng)量在極軸上的投影算符如何表達(dá)其本征函數(shù)和本征值是什么其中什么是軌道角動(dòng)量磁量子數(shù)磁量子數(shù)取值范圍是哪些數(shù)值答：答案如上15. 量子力學(xué)中關(guān)于波函數(shù)與力學(xué)量的兩個(gè)假設(shè),告訴你什么結(jié)論,試用你自己的語(yǔ)言歸納出5條結(jié)論.答：量子力學(xué)根本假設(shè)I描寫(xiě)物理系統(tǒng)的態(tài)函數(shù)的總體,構(gòu)成一個(gè)希爾伯特空間.系統(tǒng)的每一個(gè)動(dòng)力學(xué)變量,由對(duì)這些態(tài)函數(shù)施加作用的一個(gè)厄米算符描寫(xiě).量子力學(xué)根本假設(shè)n 當(dāng)系統(tǒng)處于狀態(tài) 平時(shí),對(duì)與算符 F對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)變量進(jìn)行足夠?qū)掖蔚臏y(cè)量

8、,得到的測(cè)量結(jié)果的算術(shù)平均值F?為:F? d3r:申 d3r假設(shè)甲已經(jīng)歸一化,那么有:F? = F?: d3r結(jié)論：1、 對(duì)于一個(gè)微觀體系其狀態(tài)可以用波函數(shù)中表示,中的絕對(duì)值的平方描述了粒子的 幾率密度.2、當(dāng)體系的勢(shì)能表達(dá)式中不顯含時(shí)間時(shí),可用定態(tài)薛定謂方程描述其狀態(tài).3、體系的波函數(shù)要具備連續(xù)、單值、有限的特性.4、量子力學(xué)中表征力學(xué)量的算符都是厄米算符,其本征值都是實(shí)數(shù).5、體系的波函數(shù)是兩兩正交,自歸一算符本征函數(shù).16. 什么是對(duì)易算符他們的本征函數(shù)有什么性質(zhì)什么是非對(duì)易算符非對(duì)易算符能有共同的本征函數(shù)嗎答：假設(shè)兩算符 A和B滿(mǎn)足A , B=0 ,那么稱(chēng)算符A和B為對(duì)易算符,如果兩個(gè)

9、算符 A和B'為對(duì)易算符,那么說(shuō)明兩個(gè)算符有共同的完備的本征函數(shù)組,在他們共同的本征函數(shù)描述的狀態(tài)下,測(cè)量這兩個(gè)算符對(duì)應(yīng)的力學(xué)量,可以同時(shí)得到對(duì)應(yīng)的本征值.假設(shè)兩A A.A. A算符A和B不滿(mǎn)足A , B=0 ,那么其不是對(duì)易算符,沒(méi)有共同的本征函數(shù).如果兩個(gè)力學(xué)量AO B的對(duì)易子不等于零,那么說(shuō)明兩個(gè)算符沒(méi)有共同的完備的本征函數(shù)組即不存在共同的本征態(tài), 使測(cè)量的兩個(gè)力學(xué)量同時(shí)有確定值.也就是說(shuō),我們不能同時(shí)準(zhǔn)確得到他們對(duì)應(yīng)的本征值.17. 歸納學(xué)習(xí)過(guò)的對(duì)易算符和非對(duì)易算符.答父,x】=ih,了,y=ih, 3?z】=ih頃,= 0,【,】=0,頃,】=0 ?x,?y = 0, ?y,

10、?z=0,?x,?z】=0成,x】=0,頂,y=0,質(zhì),z】=0,LL-Lx, Py'ihp,y ,P'ihe, P, LxJ=ihL?y? ?L、L = ihLl?x, 1?=0,出,=0, K1?=018. 什么叫做力學(xué)量的完全集合?答：要完全確定體系所處的狀態(tài)消除簡(jiǎn)并,需要有一組相互對(duì)易的力學(xué)量即通過(guò)它們的本征值來(lái)完全確定體系所處的狀態(tài).這一組完全確定體系狀態(tài)的力學(xué)量成為力學(xué)量的完.全集合.在完全集合中,力學(xué)量的數(shù)目一般與體系的自由度的數(shù)目相等.19. 用什么方式表示非對(duì)易算符在某一個(gè)狀態(tài)下的不確定性答：非對(duì)易算符力學(xué)量在同一個(gè)態(tài)中的不確定程度可以用以下方式表示：22偏差

11、：AF? = F?-F?, & = &&,方差:履2=1?_|?,昭2 = & &, - 2 Z""2均方偏差：.lF?2 =*_|?,.心2=：0-&20. 坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)原理是什么答：坐標(biāo)和動(dòng)量沒(méi)有共同的本征函數(shù),故不能同時(shí)被準(zhǔn)確確定.由海森堡不確定關(guān)系：221 2 F? 號(hào)蘭?戚對(duì)于一維坐標(biāo)和動(dòng)量算符:Av2AA2 >-4Assignment 1 for Quantum Mechanics1. 什么理論支持光的波動(dòng)性什么實(shí)驗(yàn)又表達(dá)了光的粒子性光的粒子性表現(xiàn)在光子的 能量和動(dòng)量表達(dá)式中,請(qǐng)寫(xiě)出他們.答：光的干預(yù)和

12、衍射理論都支持光的波動(dòng)性；光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)表達(dá)了光的粒子性；光子h - 的能重和動(dòng)重表達(dá)式為：E = hv =標(biāo),p = n =先k.赤2. 什么實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了電子的波動(dòng)性什么實(shí)驗(yàn)說(shuō)明微觀粒子的波是幾率幅波答：電子雙縫干預(yù)實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了電子的波動(dòng)性；氫原子核外電子的電子云實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了微 觀粒子的波是幾率幅波.3. 對(duì)于相干的光波,什么物理量是可以疊加的對(duì)于非相干的光波,什么物理量是不可以疊加的什么物理量是可以疊加的答：對(duì)于相干的光波,其波函數(shù)是可以疊加的；對(duì)于非相干的光波,其波函數(shù)是不可以疊加的,其光強(qiáng)是可以疊加的.4. 對(duì)于不相干的宏觀粒子,幾率可以相加嗎對(duì)于微觀粒子,幾率可以相加嗎幾率幅可以相加嗎答：對(duì)

13、于不相干的宏觀粒子,幾率可以疊加；對(duì)于不相干的微觀粒子,幾率可以疊加, 幾率幅不可以疊加.5. 什么叫做波函數(shù)的強(qiáng)度答：波函數(shù)振幅絕對(duì)值的平方.6. 什么叫做幾率密度用什么表示答：在時(shí)刻t,在(x, v, z)點(diǎn)附近單位體積內(nèi)找到粒子的幾率,用歸一化后的波函數(shù)的平方表示,即|平(x,y,z,t) |2.7. 什么叫做波函數(shù)歸一化dW(x, y, z,t) 示,貝U w(x, y, z,t)二d狀態(tài)的波函數(shù),那么對(duì)上式在全空間積分,答：設(shè)在空間點(diǎn)(x, y, z)處單位體積找到粒子的幾率為幾率密度,用 w(x, y,z,t)表=C |(x, y,z,t) |2,其中,(x, y,z,t)是描寫(xiě)離

14、子w (x, y,z,t) = TC*(x, y, z,t),得到粒子在全空間出現(xiàn)的幾率,這個(gè)幾率等假設(shè) J|W (x, y, z,t)|2 dT =1,那么稱(chēng)W (x,y,z,t)QO*(x, y,z,t)換為W (x, y, z, t)的步驟稱(chēng)為歸一于1,所以有C *(x, y, z,t) |2 dT = 1,假設(shè)存在波函數(shù)那么這兩個(gè)波函數(shù)所描述的是同一個(gè)狀態(tài).為歸一化波函數(shù),上式稱(chēng)為歸一化條件把化,常數(shù)JC稱(chēng)為歸一化常數(shù).8.寫(xiě)出自由粒子波函數(shù).*ir?(Po r -Eot)答：p (r,t) =A epo '9.希爾伯特空間的基矢有和性質(zhì)在希爾伯特空間中,寫(xiě)出任意矢量的表達(dá)式.N答：平=:Z Cn平n ,希爾伯特空間