完整版隨機(jī)過程試題及答案文檔良心出品

1、填空題(每空2分,共20分)1 .設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為舄的泊松分布,那么 X的特征函數(shù)為空了.2.設(shè)隨機(jī)過程 X(t)=Acos(.t+),-8<t<8 其中缶為正常數(shù),A和是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 且A和中服從在區(qū)間10,1上的均勻分布,貝U X(t)的數(shù)學(xué)期望為1(sin(切t+1)-sincot). .1 ,3. 強(qiáng)度為入的泊松過程的點(diǎn)間間距是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,且服從均值為一的同一指數(shù)分布.X4. 設(shè)Wn,n芝1是與泊松過程X(t),t >0)對應(yīng)的一個等待時間序列,那么Wn服從二分布.5. 袋中放有一個白球,兩個紅球,每隔單位時間從袋中任取一球,取后放回,對每一個確

2、定的t -如果t時取得紅球?qū)?yīng)隨機(jī)變量X(t) =. 3、'曰,貝u 這個隨機(jī)過程的狀態(tài)空間1 22甘,3t,|;e,e2H|6 .設(shè)馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P=(Pij) , n步轉(zhuǎn)移矩陣P(n) =(pjn),二者之間的關(guān)系為P(n) = Pn.7. 設(shè)kn,n20為馬氏鏈,狀態(tài)空間I ,初始概率Pi=P(X°=i),絕對概率Pj(n) =P?Xn = j,n步轉(zhuǎn)移概率pjn),三者之間的關(guān)系為 Pj(n) =£ Pi p(n).i i8. 在馬氏鏈Xn,n 芝 0中,記=pXv 孝 j,1 v 壬 n-1,Xn = jX0 = i,n 占1,QOfijf iJ

3、(n),假設(shè)f ii < 1,稱狀態(tài)i為非常返的.n=19. 非周期的亂京返狀杰禰為遍歷杰.O010. 狀態(tài)i常返的充要條件為Z P?)=.n=0二. 證實(shí)題(每題 6分,共24分)1.設(shè)A,B,C為三個隨機(jī)事件,證實(shí)條件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B|A)P(C AB).證實(shí)：左邊=PABCL = P(ABC) P(AB)A )=右邊P(A)P(AB) P(A)2.設(shè)X(t),tX是獨(dú)立增量過程,且X(0)=0,證實(shí)X(t),t*是一個馬爾科夫過程.證實(shí)：當(dāng) 0 <ti <t2 <| <tn <t 時,P(X(t) £ x X(t1)=X

4、1 ,X(t 2)=X2, |HX(t n)=Xn)=P(X(t)-X(t n)以-Xn X(ti)-X(0)=Xi,X(t2)-X(0)=X2,|HX(tn)-X(0)=X n)=P(X(t)-X(t n)紋-Xn),又由于 P(X(t) MX|X(tn)=Xn)= P(X( t)-X(t n X-xJ X(t n)=Xn )=P(X(t)-X(t n)軟-Xn),故 P(X(t) <XX(ti)=Xi,X(t2)=X2,"|X(tn)=Xn) = P(X(t) MXX(tn)=Xn)3. 設(shè)Xn,n 20為馬爾科夫鏈,狀態(tài)空間為I ,那么對任意整數(shù)nN0,1<l<

5、;n和i,jI, n步轉(zhuǎn)移概率p(jn) =,p(k)pkn-l),稱此式為切普曼一科爾莫哥洛夫方程,證實(shí)并說明其意義.k z證實(shí)：pjn) =PX(n)=j X(0)=i ； = P X(n)=j, UX(l)=k |X(0)=i =、PX(n)=j,X(l)=k X(0)=i / k:曰3=£ PX(l)=k X(0)=i lPX(n)=j X(l)=k,X(0)=i =Z pPp",其意義為 n 步轉(zhuǎn)移概率可以 k三I用較低步數(shù)的轉(zhuǎn)移概率來表示.4. 設(shè)N(t),t芝0是強(qiáng)度為的泊松過程,Yk,k=1,2,| 是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量,且與(N(t),t 芝0獨(dú)立,令

6、 X(t)= £Yk,t 占0,證實(shí)：假設(shè) E(Y123),那么 EfX(t)=睛£丫.k=1證實(shí)：由條件期望的性質(zhì) EtX(t) 】=E?EX(t) N(t),而E*(DN() n=E= 丫印 n =E E Yi N(t)_ i=1=n = E|Z Y=nE(Y1),所以 E 儀(t)】=%tEY.J . i=1-!三. 計(jì)算題(每題10分,共50分)cos t H11.拋擲一枚硬幣的試驗(yàn), 定義一隨機(jī)過程：X(t)= h T , t在(-V+B),設(shè)PH=PD=-求(1) X(t),t W叫危)的樣本函數(shù)集合；(2) 一維分布函數(shù)F(x;0),F(x;1)解：(1)樣本

7、函數(shù)集合為cOSnt,t ,t元(-8, + %)；, r1(2)當(dāng) t=0 時,PX(0)=0 = PX(0)=1 =,20】x<-1,一 . 1 .故 F(x;0)= 0 x<1 ;同理 F(x;1)= 一一1 x<1_10 八x<0一 1"1I2 x2.設(shè)顧客以每分鐘2人的速率到達(dá),顧客流為泊松流,求在2分鐘內(nèi)到達(dá)的顧客不超過 3人的概率.解：設(shè)N(t),t芝0是顧客到達(dá)數(shù)的泊松過程,舄=2,故 P?N(2)=k =e-4,那么 k!3271P1N(2) _3- P1N(2)=0 :+P 1N(2)=1 ：+P1N(2)=2 ：+P 1N(2)=3,e4

8、 4e 4 8e4 e4 ： 333.設(shè)明天是否有雨僅與今天的天氣有關(guān),而與過去的天氣無關(guān).又設(shè)今天下雨而明天也下雨的概率為a,而今天無雨明天有雨的概率為 P ;規(guī)定有雨天氣為狀態(tài)0,無雨天氣為狀態(tài)1.設(shè)-4e« =0.7, E =0.4 ,求今天有雨且第四天仍有雨的概率.解：由題設(shè)條件,得一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為D_ >00P01LP7 0.31 P _>10Pn 一：0.40.6_0.61 0.39P(2) =PP=I,四步轉(zhuǎn)移概率矩陣為0.52 0.48 0.5749 0.4251 “工牛鼻人P(4)= P(2)P(2) = |,從而得到今0.5668 0.4332天有雨

9、且第四天仍有雨的概率為P(? =0.5749.4.一質(zhì)點(diǎn)在1,2,3三個點(diǎn)上作隨機(jī)游動,1和3是兩個反射壁,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)處于2時,下一時刻處于1,2,3 是等可能的.寫出一步轉(zhuǎn)移概率矩陣,判斷此鏈?zhǔn)欠窬哂斜闅v性,假設(shè)有,求出極限分布.010,一一111解：一步轉(zhuǎn)移概率矩陣 P= 111|333_°1°_P(2) = P2±.13317虧9土_±9由p(2)>頃口,此鏈有遍歷性；設(shè)極限分布兀=(兀1,兀2,兀3 ),二1=3 二2方程組-3 =3二2二1 .二2 .二3 =1- J O 0 14 1 0 0 14 0 12 12 14 0 12 12 14 05. 設(shè)有四個狀態(tài)I=0,1,2,3的馬氏鏈,它的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P=(1)畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖；(2 )對狀態(tài)進(jìn)行分類；(3)對狀態(tài)空間I進(jìn)行分解.解：(1)圖略；(2) P33=1,而P30, P31, P32均為零,所以狀態(tài)3構(gòu)成一個閉集,它是吸收態(tài),記 C1=3； 0, 1兩個狀態(tài)互通,且它們不能到達(dá)其它狀態(tài),