分類討論的思想方法---高考題選講

1、分類討論的思想方法(2)在解題時(shí),我們常常會(huì)遇到這樣一種情況,解到某一步之后,不能再以統(tǒng)一的方法,統(tǒng)一的式子繼續(xù)進(jìn)行了, 由于這時(shí)被研究的問題包含了多種情況,這就必須在條件所給出的總區(qū)域內(nèi),正確劃分假設(shè)干個(gè)子區(qū)域,然后分別在多個(gè)子區(qū)域內(nèi)進(jìn)行解題,這里集中表達(dá)的是由大化小,由整體化為局部,由一般化為特殊的解決問題的方法,其研究方向根本是分,但分類解決問題之后,還必須把它們總合在一起,這種 合一分一合的解決問題的過程,就是分類討論的思想方法.分類討論的思想是以概念的劃分、集合的分類為根底的思想方法,高考對(duì)分類討論的思想的考查,有以下幾個(gè)方面：一是考查有沒有分類意識(shí),遇到應(yīng)該分類的情況, 是否想到要

2、分類, 什么樣的問題需要分類例如(1) 有些概念就是分類定義的,如絕對(duì)值的概念,又如整數(shù)分為奇數(shù)、偶數(shù),把三角 形分為銳角三角形,直角三角形,鈍角三角形等等；(2) 有的運(yùn)算法那么和定理,公式是分類給出的,例如等比數(shù)列的求和公式就分為q=1和q乒1兩種情況；對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性就分為a1, a0, a0,及., =Q 1 (a乒1)x-2a-(a-1)x-(a-2)解析：原不等式等價(jià)于： x-20,即a - 1x -并x - 2 0假設(shè) a1,那么等價(jià)于x - a-2x - 2 0. a-i又2-弩 1a-1a-11v0, . .a2v 2a-1原不等式的解集為;-8,a-7U 2, + 勺； a

3、-1假設(shè)a1時(shí),那么等價(jià)于a-2a-2 ax 并x - 2v 0.由于 2 -并=01,當(dāng)0a2,原不等式的解集為(2, a-! 3logax-2 0).a-1a-1當(dāng)a0時(shí),弩2,原不等式的解集為(弩,2).a-1a-1當(dāng)a= 0時(shí),原不等式為(x - 2)2v 0,解集為0.綜上所述：當(dāng)a0時(shí),原不等式的解集為；(, 2);a-1當(dāng)a= 0時(shí),原不等式的解集為0；當(dāng)0a1時(shí),原不等式的解集為;(-8,|4)U (2,+ 勺. a-1【點(diǎn)撥】：此題需要兩級(jí)分類,a-2又需要討論兩個(gè)根 2 的大小,a-1第一級(jí),按開口方向分類分a 1 和 av 1,在 a 0,a豐1)解析；轉(zhuǎn)化為等價(jià)不等式組

4、,注意對(duì)于logax的底數(shù)的a進(jìn)行討論.原不等式等價(jià)于由得 log x 2,由得 log x1 ,由得 log x1, -1 log x1 , a 3a 4 aa 23 a 4 a ,當(dāng)a1時(shí),所求不等式的解集為 (x|a3 xa;當(dāng)0a1時(shí),所求不等式的解集為 (x| a4x a3或0xa .【點(diǎn)撥】：此題是一道等價(jià)轉(zhuǎn)化與分類討論的典型題,解此類根式、對(duì)數(shù)不等式時(shí),要注意等價(jià)性、不要忽略不等式兩邊函數(shù)的定義域,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),對(duì)a進(jìn)行分類討論例4如圖,一條線段 AB,它的兩個(gè)端點(diǎn)分別在直二面角P-l-Q的兩個(gè)平面內(nèi)移動(dòng),假設(shè)AB和平面P、Q所成的角分別為 3 E,試討論a+E的范圍.解析

5、:(1)當(dāng) ABL l 時(shí),ot+P=90.(2)AB與l不垂直時(shí),在平面 P內(nèi)作Ad l, C為垂足,連結(jié) BG平面PL平面 QAd平面 Q,Z ABC是AB與平面Q所成的角,即/ ABC我在平面 Q內(nèi)作BtU l,垂足為 D,連結(jié) AR同理/ BAD女,在 Rt BDA和 Rt ACB中,B* BC, BD BC 即 sin 口 v sin Z BAC, AB AB.ct和 Z BAC 均為銳角,ocvZ BAC 而 Z BAC+=90 口+Pv 90.(3) 假設(shè)AB與l重合,那么a+P=0綜上討論可知0 y 90【點(diǎn)撥】：在幾何問題中,研究各元素間的位置關(guān)系時(shí),要注意每一個(gè)位置關(guān)系都不

6、可遺漏,對(duì)于多種可能的情況,必須分開來進(jìn)行研究例5四個(gè)男孩和三個(gè)女孩站成一列,男孩甲前面至少有一個(gè)女孩站著,并且站在這個(gè)男孩前面的女孩個(gè)數(shù)必少于站在他后面的男孩個(gè)數(shù)的站法共有多少種解析：現(xiàn)在按男孩甲前面的男、女孩數(shù)來分類.第一類,甲前面有 2個(gè)女孩,其它男孩和另一女孩必須站在甲后面,有對(duì)A：(種)；112 4 一,第二類,甲刖面有一個(gè)女孩和一個(gè)男孩,有：C3C3a2a4(種)；第三,甲前面僅有一個(gè)女孩,有：a3A5(種)；滿足條件的站法為：犬入4+?磷+犬犬=936(種).【點(diǎn)撥】：相當(dāng)一局部排列組合應(yīng)用問題需要分類求解,而排列組合應(yīng)用題中的分類,與其它章節(jié)問題中的分類不同,它不是就某個(gè)字母的

7、取值范圍不同或圖形的形狀、位置不同等進(jìn)行的分類,而是就處理問題的不同方法去分類例6函數(shù)y= + +斗+四4的值域是()|sinx| cosx |tanx| cotxA.(-2,4B.(-2 , 0,4C.(-2 , 0, 2, 4D.(-4 , -2 , 0,4解析：須根據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào),因此必須對(duì)角x所在的象限進(jìn)行討論. k二由題意可知 *豐y(k e Z),(1) 當(dāng)x在第一象限時(shí),(2) 當(dāng)x在第二象限時(shí),(3) 當(dāng)x在第三象限時(shí),(4) 當(dāng)x在第四象限時(shí),y=1+1+1+1=4;y=1+(-1)+(-1)+(-1)=-2y=-1+(-1)+1+1=0 ;y=-1+1+(-1

8、)+(-1)=-2.故值域?yàn)?2,0,4, 應(yīng)選B.【點(diǎn)撥】：由于三角函數(shù)在各象限內(nèi)符號(hào)不同,依此特點(diǎn),從不同的象限入手分類討論 是解此類題的常見方法 例7直角坐標(biāo)平面上點(diǎn) Q(2, 0)和圓C: x2+y2=1,動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)入(入0).求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程,說明它表示什么曲線解析：如圖,設(shè)M涮圓于N,那么由動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是：P=M|MN|=入|MQ|,入0.七/7弒. .皿MN |ON|=1 , . |MN|2=|MO|2-1.設(shè)動(dòng)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(x,y),貝U x2+y2- 1=入 2(x-2) 2+y2 ,、了 / 整理,得(入 2-1)(x 2+y2)-

9、4 入 2x+(4 入 2+1)=0./ 必於故 M 的軌跡方程是(入 2-1)(x 2+y2)-4 入 2x+(4 入 2+1)=0./ 當(dāng)入=1時(shí),方程化為x=5,且交x軸于點(diǎn)(：0)的直線；44(2)當(dāng)入乒時(shí),方程化為(x -它是以點(diǎn)(了名,0)為圓心,人-12入 2 2 2 1+3 入2E)+y =(入 J)2,為半徑的圓【點(diǎn)撥】：點(diǎn)M的軌跡方程由條件很容易得出,此題考查的重點(diǎn)是曲線的類型,因 此,對(duì)于含有x2+y2項(xiàng)系數(shù)入2-1是否等于零進(jìn)行了討論.例 8.設(shè) 0x0 且 a豐 1,比較 |log a (1 x)| 與|log a (1 + x)| 的大小.【分析】比較對(duì)數(shù)大小,運(yùn)用

10、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,而單調(diào)性與底數(shù)a有關(guān),所以對(duì)底數(shù)a分兩類情況進(jìn)行討論.【解】0x101 x1 當(dāng) 0a0 , log a (1 + x)0; 當(dāng) a1 時(shí),log a(1 -x)0 ,所以|log a (1 x)| |log a (1 + x)| =- log a (1 x) log a (1 + x) = log a (1 一x 2)0 ;由、可知,|log a(1 x)|log a(1 + x)| .【點(diǎn)撥】此題要求對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù) y= log ax的單調(diào)性的兩種情況十分熟悉,即當(dāng) a1時(shí)其是增函數(shù),當(dāng)0a1時(shí)其是減函數(shù).去絕對(duì)值時(shí)要判別符號(hào),用到了函數(shù)的單 調(diào)性；最后差值的符號(hào)判斷,也用到

11、函數(shù)的單調(diào)性.例9.集合A和集合B各含有12個(gè)元素,AD B含有4個(gè)元素,試求同時(shí)滿足下面兩個(gè) 條件的集合C的個(gè)數(shù)：.CuAU B且C中含有3個(gè)元素；.C A A乒力.【分析】 由并結(jié)合集合的概念,C中的元素分兩類：屬于 A元素；不屬于 A而屬于B的元素.并由含 A中元素的個(gè)數(shù)1、2、3,而將取法分三種.【勰】 C 1 - C2 -I- C2 - C1 -I- C3 - C0 = 1084用牛 C 12 Cg C2 Cg C2 Cg 1084【點(diǎn)撥】此題是排列組合中“包含與排除的根本問題,正確地解題的前提是合理科學(xué) 的分類,到達(dá)分類完整及每類互斥的要求,還有一個(gè)關(guān)鍵是要確定 C中元素如何取法.

12、另一種解題思路是直接使用“排除法,即C20 - C8 = 1084.例10.設(shè)a n 是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,S n是前n項(xiàng)和. .證實(shí)：igSn igSn 2 . c 2 .,使得 dg=igSn + c成立并證實(shí)結(jié)論.95年全國理【分析】 要證的不等式和討論的等式可以進(jìn)行等價(jià)變形；再應(yīng)用比較法而求解.其中 在應(yīng)用等比數(shù)列前 n項(xiàng)和的公式時(shí),由于公式的要求,分q = 1和q乒1兩種情況.【解】 設(shè)a n的公比q,貝U a1 0, q0.當(dāng) q = 1 時(shí),Sn = na,從而 SnSn毛Sn% = nan + 2a n + 1 a=a1 20;a1 - qn當(dāng)q豐1時(shí),Sn = ,從而1 -

13、q%2(1 - qn1)2(1-q)2a 2qn0；2nn 吃、Q Q _ Q 2a1 (1 - q )(1 - q )Sn Snd2 _ Sndf -?2(1 q)由上可得 SnSn 毛Sn+2,所以 lg(S n$n 書)M(S n),即昭2 lgS f.要使 lgSn - c；lgSn- c = |gSn* c成立,那么必有Sn cS n七一C=S n- c 2,分兩種情況討論如下：當(dāng) q= 1 時(shí),Sn = na1 ,貝U(S n c)(S n 甲c) (S n 早一c)2 = (na 1 c)(n + 2)a 1 c (n + 1)a 1 c 2a1 20a(1 -qn)當(dāng)q豐1時(shí),

14、Sn =1 -q那么 s - c)(s 停-c)-(Sn,-c)2=qpc02 c021 - c = a1qna1 c(1 - q)1 -q1 -qa 1qn 豐 0a1a c(1 q) = 0 即 c=11 -q而 Sn c = Sna1 -qna1q0,使得煩$一0一0 = lg(Sc)成立.【點(diǎn)撥】本例由所用公式的適用范圍而導(dǎo)致分類討論.該題文科考生改問題為: g05Sn Pg0.52 log 0技仆,和理科第一問類似,只是所利用的是底數(shù)是證實(shí)2對(duì)數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減.0.5 時(shí),例11.設(shè)函數(shù)f(x) = ax2 2x + 2,對(duì)于滿足1x0 ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【分析】值、最小值等值域

15、問題,需要先對(duì)開口方向討論, 物線對(duì)稱軸的位置與閉區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論, 得解.含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大再對(duì)其拋?zhàn)詈缶C合21【解】當(dāng) a0 時(shí),f(x) = a (x)+ 2411 0a 一1 4 x1、- 4af(4) = 16a 8+2 0a 1 或a 一 ；2f (1)= a 2 +2 0當(dāng)a.2【點(diǎn)撥】此題分兩級(jí)討論,先對(duì)決定開口方向的二次項(xiàng)系數(shù)a分a0、a0時(shí)將對(duì)稱軸與閉區(qū)間的關(guān)系分三種,即在閉區(qū)間左邊、右邊、中間.此題的解答,關(guān)鍵是分析符合條件的二次函數(shù)的圖像,也可以看成 是“數(shù)形結(jié)合法的運(yùn)用.例12.解不等式(X+羅了 6a)0 (a為常數(shù),a ：)【分析】 含參

16、數(shù)的不等式,參數(shù) a決定了 2a+1的符號(hào)和兩根4a、6a的大小,故對(duì)參數(shù)a分四種情況a0、a= 0、一】a0、a0時(shí),a ; 4a0 .所以分以下四種情況討論：2當(dāng) a0 時(shí),(x + 4a)(x 6a)0 ,解得：x6a;當(dāng)a= 0時(shí),x20,解得：x乒0;、1當(dāng)一a0,解礙:x 4a;2當(dāng) a時(shí),(x + 4a)(x 6a)0,解得：6ax0時(shí),x6a;當(dāng)a= 0時(shí),x乒0;當(dāng)一；a0時(shí),x,1 4a;當(dāng) a時(shí),6ax 0,在復(fù)數(shù)集C中,解方程：z2 + 2|z| = a.【分析】由z2 + 2|z| = a和|z| C R可以得到z2 R,即對(duì)z分實(shí)數(shù)、純虛數(shù)兩種情況進(jìn)行討論求解.【解

17、】|z| e R,由z 2 + 2|z| = a得：z2 e R；. z為實(shí)數(shù)或純虛數(shù)當(dāng) z R時(shí),|z| 2 + 2|z| = a,解得：|z| = 1 + J1 + az = ( 1 + v1+a)；當(dāng) z 為純虛數(shù)時(shí),設(shè) z = y i (y0) , y2 + 2y= a解得:y= 1 + J1 一 a (0v a v 1)由上可得,z = ( 1 + % + a)或土(1 土 J1 _a ) i【點(diǎn)撥】此題用標(biāo)準(zhǔn)解法(設(shè)z = x + y i再代入原式得到一個(gè)方程組,再解方程組)過程十分繁難,而挖掘隱含,對(duì)z分兩類討論那么簡化了數(shù)學(xué)問題.【另解】 設(shè) z= x + y i ,代入得 x

18、 2 y2 + 2 (x2 + y2 + 2xy i = a;22- 22x - y 2 x y =a2xy = 0當(dāng) y = 0 時(shí),x + 2|x| = a,解得 x= ( 1 + %坦 + a ),所以 z = ( 1 + J1 + a )；當(dāng) x= 0 時(shí),一y2 + 2|y| = a,解得 y = + (1 + J1 - a ),所以土 (1 + J1 - a ) i.由上可得,z = ( 1 + J1 + a )或土 (1 + 5 -a ) i【點(diǎn)撥】此題屬于復(fù)數(shù)問題的標(biāo)準(zhǔn)解法,即設(shè)代數(shù)形式求解.其中抓住 2xy = 0而分x =0和y = 0兩種情況進(jìn)行討論求解.實(shí)際上,每種情況中絕對(duì)值方程的求解,也滲透了分 類討論思想.例14.在xoy平面上給定曲線 y 2 = 2x,設(shè)點(diǎn)A(a,0) , a R,曲線上的點(diǎn)到點(diǎn) A的距離的最小值為f(a),求f(a)的函數(shù)表達(dá)式.【分析】求兩點(diǎn)間距離的最小值問題,先用公式建立目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在約束條件x0下的最小值問題,而引起對(duì)參數(shù)a的取值討論.【解】 設(shè)M(x,y)為曲線y2 = 2x上任意一點(diǎn),