六年級奧數(shù)易錯(cuò)專題一比和比例應(yīng)用題

1、比和比例應(yīng)用題典型例題例1:幼兒園大班和中班共有 32個(gè)男生,18個(gè)女生.大班男生人數(shù)與 女生人數(shù)的比為 5: 3,中班男生與女生人數(shù)的比為 2: 1.那么大班女生有多少 人分析：題目中涉及到兩個(gè)比例關(guān)系,看起來是無從下手.注意到兩個(gè)班的男、女總數(shù)都,于是我們可以設(shè)大班女生人數(shù)為X,那么中班女生人數(shù)為(18-X),再利用比例關(guān)系表示出兩個(gè)班男生的人數(shù),列方程即可求出.解：設(shè)大班女生人數(shù)為 X,那么中班女生人數(shù)為(18-X),根據(jù)題意列方程, 得(5/3 ) X+ 2 (18 X) =32X=12即大班女人有12人.說明：這是1998年全國小學(xué)生奧林匹克數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題,屬按比例分配類型應(yīng)用題,

2、利用方程解比和比例應(yīng)用題是十分有效易懂的方法.例2:甲、乙兩廠人數(shù)的比是7: 6,從甲廠調(diào)360人到乙廠后,甲、乙兩廠比為2: 3.甲、乙兩廠原有多少人分析：從甲廠調(diào) 360人到乙廠,甲、乙兩廠人數(shù)的總數(shù)不變,因此,可將 這個(gè)不變量看作是單位“1 .甲廠原有人數(shù)占總?cè)藬?shù)的7/13,甲廠現(xiàn)有人數(shù)占總?cè)藬?shù)的2/5 , 360人就是總?cè)藬?shù)的 7/13 2/5=9/65,總?cè)藬?shù)=360/ (9/65 ) =2600人.又由于甲、乙兩 廠原有人數(shù)之比為 7: 6,所以甲廠原有 2600 X 7/13=1400人,乙廠原有 2600X 6/13=1200 人.說明：解這類應(yīng)用題時(shí),可抓住題目中的不變量,把

3、它看作單位“1,然后找數(shù)量的對應(yīng)分率,逐步推出所求的量.例3:王師傅原定在假設(shè)干小時(shí)內(nèi)加工完一批零件,他估算了一下,如果按原速度 加工120個(gè)零件后工作效率提升 25%可提前40分鐘完成；如一開始工作效率就提升20%就可提前1小時(shí)完成.他原方案每小時(shí)加工多少個(gè)零 件分析：此題的關(guān)鍵還是在丁找出不變量,確定正反比例關(guān)系.由丁加工120個(gè)零件后,加工余下的零件工作效率提升25%那么提升后的工作效率與原工作效率比為1 + 25%: 1=5: 4,而工作量即加工120個(gè)零件 后余下的零件沒有改變不變量,所以,所需時(shí)間與原工作時(shí)間的比應(yīng)與效 率成反比例關(guān)系,即4: 5.這樣加工余下零件原來所用時(shí)間是：4

4、0士 5-4 X 5=200分鐘=10/3 小時(shí).如果一開始工作效率就提升20%提升后的工作效率與原工作效率比為1 + 20%: 1=6: 5,所需工作時(shí)間與原工作時(shí)間之間的比是 5: 6, 丁是原工作時(shí) 間為1 士6 5X 6=6小時(shí),這樣便可知道加工120個(gè)零件原來需要6- 10/3=8/3 小時(shí),所以,他原方案每小時(shí)加工零件 120士8/3=45個(gè).說明：根據(jù)工作總量一定,工作時(shí)間和工作效率成反比例的關(guān)系推出王師 傅加工120個(gè)零件原來所需的時(shí)間,進(jìn)而就可推出他原方案每小時(shí)加工的零件 數(shù).例4:有A、8 C三種鹽水,按A與B數(shù)量之比為2: 1混合,得到濃度為 13%勺鹽水；按A與B數(shù)量之

5、比為1: 2混合,得到濃度為14%勺鹽水；如果按A、 B、C數(shù)量之比為1:1:3混合成的鹽水濃度為10.2%問：鹽水C的濃度是多少分析：這是一道利用比例關(guān)系來解的濃度問題,關(guān)丁濃度配比有這樣一個(gè) 性質(zhì)：兩種不同濃度的溶液混合,兩種溶液的濃度與混合后的濃度分別相減所得 的比與所需數(shù)量之比恰好成反比例關(guān)系,我們將以此為理論依據(jù)對此題做出解 答.解答：設(shè)A種鹽水的濃度為X, B種鹽水的濃度為Y.13吮X: Y 13 =1: 214吮X: Y 14% =2: 1解得 X=12% Y=15Y當(dāng)A、B、C三種鹽水按數(shù)量1:1: 3混合時(shí),相當(dāng)丁 A、B按1: 1混合, 混合后再與鹽水C混合；由丁 A、B兩

6、種鹽水按數(shù)量1: 1混合后的濃度為12符15% 士 2=13.5%,丁是上面A、B、C三種鹽水混合的問題就轉(zhuǎn)化為濃度為 13.5%的鹽水兩份 與3份C種鹽水混合后的濃度為10.2 %,求C的濃度.設(shè)C種鹽水的濃度為Z,列方程(13.5 10.2 ): (10.2 Z) =3: 2,求出 Z=8%說明：比和比例在行程問題和濃度問題中,有著廣泛的應(yīng)用,靈活、巧妙 地應(yīng)用比和比例解容許用題,對提升我們的水平有很大的幫助.例5:某校和某工廠之間有一條公路,該下午 2點(diǎn)派車去該廠接勞模作報(bào) 告,往返需1小時(shí).這位勞模在下午1點(diǎn)鐘便離廠步行向?qū)W校走來,途中遇到接 他的汽車,便立即上車駛向?qū)W校,在下午 2點(diǎn)

7、40分到達(dá).問汽車的速度是勞模 速度的幾倍分析：如圖示意AC BA表示學(xué)校,B表示工廠,C表示勞模和汽車相遇的地點(diǎn).根據(jù)題意,汽 車從A到B往返需1小時(shí),即汽車從A到B需要30分鐘；汽車從A到C往返 用了 40分鐘,即汽車從A到C用了 20分鐘.所以,汽車從C到B需要30-20=10 分鐘.如果能進(jìn)而求得勞模從B到C走的時(shí)間,問題就迎刃而解.勞模從B到C所走的時(shí)間是1小時(shí)40分20分=1小時(shí)20分=80分,這就 是說,從B到C,勞模所走的時(shí)間是汽車的8倍,因此,汽車的速度是勞模步行 速度的8倍.例6:獵犬發(fā)現(xiàn)在他10米遠(yuǎn)的前方有一只奔跑著的野兔,獵犬馬上緊追上去.獵犬的步子大,它跑5步的路程,

8、兔子要跑9步；但兔子動(dòng)作快,獵犬跑2步的時(shí)間,兔子卻能跑3步.獵犬至少跑多少米能追上兔子分析：由題意,獵犬跑5步的路程,兔子要跑9步,這就是說,獵犬每步的長： 兔子每步的長=9: 5; 乂由于獵犬跑2步的時(shí)間,兔子能跑3步,這就是說在整 個(gè)追及過程中,獵犬跑的步數(shù)：兔子跑的步數(shù) =2: 3.由上面的兩個(gè)關(guān)系,可得獵犬跑的路程：兔子跑的路程=(9X2): (5X 3) =6: 5設(shè)獵犬跑了 X米追上兔子,那么兔子跑了( X10)米.那么有：X: (X10) =6: 5X=60例7:小明從甲地到乙地,去時(shí)每小時(shí)走 6千米,回來時(shí)每小時(shí)走9千米, 往返共用5小時(shí).小明往返共走了多少千米分析：要想求小明往返共走多少千米,只要求出甲地到乙地距離再乘2就可以了.路程一定,速度與時(shí)間成反比例.由去時(shí)的速度與回來時(shí)的速度比是6: 9=2: 3,可得去時(shí)的時(shí)間與回來時(shí)的時(shí)間比是3: 2.所以,去時(shí)的時(shí)間是：5X 3/5=3小時(shí),去時(shí)的路程是 6X 3=18 千米,往返的路程是18X2=36千米.說明：此題主要是利用路程一定,速度與時(shí)間成反比例來解決問題.例8: 2只圓珠筆的價(jià)錢和30支鉛筆的價(jià)錢相等,3支鋼筆的價(jià)錢和15支 圓珠筆的價(jià)錢相等.用買8支鋼筆的錢可以買多少支鉛筆分析：根據(jù)總價(jià)一定,支數(shù)與單價(jià)成反比例關(guān)系來解決問題.由題意,總價(jià)一定時(shí),圓珠筆與鉛筆支數(shù)的比是2: 30