八年級二次根式教師講義帶答案

1、第五章二次根式【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的概念形如小皿2.的式子叫做二次根式.注：在二次根式中,被開方數(shù)可以是數(shù),也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式,但必須注意：由于負(fù)數(shù)沒有平方 根,所以.2.是有為二次根式的前提條件,如 右,JU+1,等是二次根式,而7-2 ,都不是二次根式.知識(shí)點(diǎn)二：取值范圍1. 二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知,當(dāng) aM 0時(shí),有意義,是二次根式,所以要使二次根式有意義,只要使被開方數(shù)大于或等于零即可._2. 二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根,所以當(dāng)a 0的非負(fù)性如a2.表示a的算術(shù)平方根,也就是說,小江20是一個(gè)非負(fù)數(shù),即 & M江20.注：

2、由于二次根式 小 白2 表示a的算術(shù)平方根,而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù),0的算術(shù)平方根是0,所以非負(fù)學(xué)習(xí)必備歡迎下載的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù),即 0弓20,這個(gè)性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì),和絕對值、 偶次方類似.這個(gè)性質(zhì)在解做題目時(shí)應(yīng)用較多,如假設(shè) 小+=.,那么a=0,b=0 ;假設(shè)E+RI=.Ja+b2 = 0 ,貝U a=0,b=0.知識(shí)點(diǎn)四：二次根式有！的性質(zhì)戚心0文字語言表達(dá)為：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù).注：一次根式的性質(zhì)公式 :了 f一頊 是逆用平方根的定義得出的結(jié)論. 上面的公式也可以反過來應(yīng)用： 假設(shè)L?0 , 那么 a 二屆,如：2 =北一 & .知識(shí)點(diǎn)五

3、：二次根式的性質(zhì)aaO-0文字語言表達(dá)為：一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對值.注：1、化簡時(shí),一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù) a是正數(shù)還是負(fù)數(shù),假設(shè)是正數(shù)或0,那么等于a本身,即 =|.| = 口.20；二 M0.假設(shè)a是負(fù)數(shù),那么等于a的相反數(shù)-a,即2、中的a的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù),即不管 a取何值, 3、化簡時(shí),先將它化成k知識(shí)點(diǎn)六： 妨與摒 的異同點(diǎn) 1、不同點(diǎn)：與扃 表示的意義是不同的,的平方的算術(shù)平方根；在R中,而 M一定有意義;,再根據(jù)絕對值的意義來進(jìn)行化簡.JZ表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方,而中a可以是正實(shí)數(shù),0,負(fù)實(shí)數(shù).但J云向2 0, *20.因而它的運(yùn)算的結(jié)果是

4、有差異的,W = aa20,而 I 2、相同點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù),即心.時(shí),由,* ；白 0,、.9x 1 3 3.當(dāng)9x+1=0,即x = -1時(shí),J9x十1+3十3有最小值,最小值為 3. 9【解題策略】 解決此類問題一定要熟練掌握二次根式的非負(fù)性,即Va 0 (a0).專題2二次根式的化簡及混合運(yùn)算【專題解讀】 對于二次根式的化簡問題,可根據(jù)定義,也可以利用J/=|a|這一性質(zhì),但應(yīng)用性質(zhì)時(shí),要根據(jù)具體情況對有關(guān)字母的取值范圍進(jìn)彳討論例2以下計(jì)算正確的選項(xiàng)是A. J-.,2B. 27=.、_.,4=13C. (2+ .5)(2- . 5) =1D. 6 一二2 =3；2、2分析 根據(jù)

5、具體選項(xiàng),應(yīng)先進(jìn)行化簡,再計(jì)算 .A選項(xiàng)中, 扼J2 = 2J2J2 = J2,B選假設(shè)可化為球一2虹挪,c選項(xiàng)逆用平方差公式可求得(2 +西 (2-西 =4-5=- 1,而D選項(xiàng)應(yīng)將33分子、分母都乘 &得互2 =3扼-1.應(yīng)選A.2例3計(jì)算(扼+1 )2006(很-1 )2007的結(jié)果是()A. 1B. -1 C. .2 1 D. ,2-1分析 此題可逆用公式(ab) %3七及平方差公式,將原式化為(拒+1)(T2-1)2006(72-1) = V21.應(yīng)選 d.x2 x 8例 4 書知 y = Jx 4 十4 -x +,求 xJV + y JX 2ji的值.2 x分析此題主要利用二次根式

6、的定義及非負(fù)性確定x的值,但要注意所得 x的值應(yīng)使分式有意義.解：由二次根式的定義及分式性質(zhì),得4 x20x = 2,2 + x 0,J一2 一 一 _y = .,m J=7, 2 22. x y y .x -2 一 14 =2、； - ；、2 -2、14=、14 7 2 -2、. 14 = 7 2 -、. 14. 22【解題策略】此題中所求字母x的取值必須使原代數(shù)式有意義.2235例 5 化間 J4a -12a+9-J4a -20a+25( - a 5).2235解：,- a0,2a-50,22原式=J( 2a 3)2 J(2a5)2 =| 2a -3| -1 2a -5 |= (2a -3

7、) (2a -5) =4a -8.【解題策略】此題應(yīng)根據(jù)條件直接進(jìn)行化簡,主要應(yīng)用性質(zhì)JO2 =|a|= 心),1 1 -a(a 0).例6實(shí)數(shù),a, b, c在數(shù)軸上的位置如圖21-8所示,化簡J,ti a 0 h圖 21-8|a| 一、. (a c)2.(c a)2 .b2.解：由a, b, c在數(shù)軸上的位置可知：X a 0a X 0,c -a0,原式=|a|a+c| + |ca|b|=-a (a c)(ca)b=-a a c -c a -b=ab.【解題策略】利用間接給出的或隱含的條件進(jìn)行化簡時(shí),要充分挖掘題目中的隱含條件,再進(jìn)行化簡例7 化簡 |x+1| _Jx2 -4x+4.解：原式

8、 =|x 1| 一. (x -2)2 =|x 1| - |x - 2|.令x,1 =0,x-2=0,得 x1 - -1,x2=2,于是實(shí)數(shù)集被分為x -1, -1 x2三局部, 當(dāng) x -1 時(shí),x 10,x-20,原式=-(x+1) + (x-2) =-3. 當(dāng)-1x2寸,x 10,x-20,x-2A0,原式=(x+1)-(x-2)=3.-3(x -1),原式=2x-1(-1V x 2),3(x2).規(guī)律方法對于無約束條件的化簡問題需要分類討論,用這種方法解題分為以下步驟：首先,求出絕對值為零時(shí)未知數(shù)的值,這些未知數(shù)的值在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)稱為零點(diǎn)；其次,以這些零點(diǎn)為分點(diǎn),把數(shù)軸劃分為假設(shè)干局部

9、,即 把實(shí)數(shù)集劃分為假設(shè)干個(gè)集合,在每個(gè)集合中分別進(jìn)行化簡,簡稱“零點(diǎn)分區(qū)間法例 8 a +b = 3,ab =12,求bj +3的值.分析 這是一道二次根式化簡題,在化為最簡二次根式的過程中,要注意 a, b的符號,此題中沒明確告訴,a, b的符號,但可從 a+b=-3 , ab=12中分析得到.解：, a+b=-3 , ab=12, . . av 0, b/3. b a-b-a【解題策略】此題最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤就是不考慮a, b的符號,把所求的式子化簡,直接代入.專題3利用二次根式比較大小、進(jìn)行計(jì)算或化簡例9估計(jì)J32 x +J20的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在()A. 6到7之間B. 7到8之間C. 8到

10、9之間D. 9到10之間分析 此題應(yīng)計(jì)算出所給 算式的結(jié)果,原式=J16+J20 = 4+2J5 ,由于 J4vJ/6T25即2V /5y 0),使得xy=b, x+y=a, 那么 a2b =(M 77)2,于是 Ja2Vb = J(衣占)2 = 衣土jy,從而使哀2而得到化簡.例12假設(shè)a, b為實(shí)數(shù),且b= J35a+J5a3十15,試求Jb+a + 2Jb+a 2的值. a b . a b分析 此題中根據(jù)b=q5Ea+J53+15可以求出a, b,對Jb+a+2- a bb a ,+2的被開方數(shù)進(jìn)行配方、化間.a b 3-5a 0,3解：由二次根式的性質(zhì)得.3-5a=0. a= .5a

11、-3 0,5b =15, a b0, a -bv 0.fx;=)2:a ba b ab . ab=a b、.ab-ba、ab abab=嚇上、屆ab ab2VOR b當(dāng) a=3, b=15 時(shí),原式=&3、15=2.515.55【解題策略】對于形如b +a旦十2或b 十爻_2形式的代數(shù)式都要變?yōu)閎 a ba；或氣三 的形式,當(dāng)它們作為被開方式進(jìn)行化簡時(shí),要注意 a +b和a -b以及ab的符號.專題5換元法【專題解讀】通過換元將根式的化簡和計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為方程問題例13 計(jì)算3項(xiàng)+ J3+扼解：令x=、.,3- /5 .,3 5 ,兩邊同時(shí)平方得：x2 =】3草 +J3+T52, x2= 3 志

12、3 + 扼+2.3-75 x J3 +75=10x0, . x=、10,即原式=10.專題6代入法【專題解讀】通過代入求代數(shù)式的值.例 14 a2b =2400,ab2 =5760,求Ja2 +b2的值.解：由 a2b =2400, ab2 =5760,兩式相除得 b =2.4a,:a2b=2400,. 2.4a3 =2400,. a3 =1000,. a =10, b = 2.4 10 =24,.a2 b2 = ,102 242 = .676 =26.專題7約分法【專題解讀】通過約去分子和分母的公因式將第二次根式化簡例15化簡-2 .326 10 .15.2 、3_.2 “32+扼+ 而十屈

13、很龍十*炳成 + V3,2 /3_1,2.3 、2 +、5 一、2 +、5.5 - 2_ 5 - 25 一、2、5 a 5 一 J2 一 5一2 一 3x V V、x例16 化間 一丫_=x丈v.x 2 xy v解：原式=虧_項(xiàng)=予x 、y x , y；xy x 一y _ x y y x.x . y x -、. y x - y三、思想方法專題專題8類比思想【專題解讀】類比是根據(jù)兩對象都具有一些相同或類似的屬性,并且其中一個(gè)對象還具有另外某一些屬性,從而推出另一對象也具有與該對象相同或相似的性質(zhì).本章類比同類項(xiàng)的概念,得到同類二次根式的概念,即把二次根式化簡成最簡二次根式后,假設(shè)被開方數(shù)相同,那

14、么這樣的二次根式叫做同類二次根式.我們還可以類比合并同類項(xiàng)去合并同類二次根式.例17計(jì)算.173+2 挺2y3.2原式=3、.2-、2+2.3+2 .一3=2、.2+4、3 .【解題策略】 對于二次根式的加減法,應(yīng)先將各式化為最簡二次根式,再類比合并同類項(xiàng)的方法去合同類二次 根式.專題9轉(zhuǎn)化思想【專題解讀】當(dāng)問題比較復(fù)雜難于解決時(shí),一般應(yīng)采取轉(zhuǎn)化思想,化繁為簡,化難為易,本章在研究二次根式有意義的條件及一些化簡求值問題時(shí),常轉(zhuǎn)化為不等式或分式等知識(shí)加以解決例18 函數(shù)y= J2x -4中,自變量x的取值范圍是.分析 此題比較容易,主要考查函數(shù)自變量的取值范圍的求法,此題中J2x-4是二次根式,

15、所以被開方數(shù)2x-4 0,所以x 2.故填x 2.例19如圖21-9所示的是一個(gè)簡單的數(shù)值運(yùn)算程序,假設(shè)輸入 x的值為J3,那么輸出的數(shù)值為 .頃斗期人/陽卜一同/17結(jié)束,圖 21-9分析此題比較容易,根據(jù)程序給定的運(yùn)算順序?qū)栴}化為二次根式求值問題,易知圖中所表示的代數(shù)式為 x2-1,代入可知后2-1=2.故填2.專題10 分類討論思想.本意在運(yùn)用公式 一 a2 =1 a |進(jìn)行化簡時(shí),【專題解讀】當(dāng)遇到某些數(shù)學(xué)問題存在多種情況時(shí),應(yīng)進(jìn)行分類討論假設(shè)字母的取值范圍不確定,應(yīng)進(jìn)行分類討論例20假設(shè)化簡|1 x|Jx2 8x+16的結(jié)果為2x -5 ,那么x的取值范圍是()A. x為任意實(shí)數(shù)B

16、. 1 x 1D.x 4分析由題意可知|1 x | _| x4 | = 2x5,由此可知|1x|=x 1,且|x 4|=4x,由絕對值的意義可知【解題策略】對 啟 和| a|形式的式子的化簡都應(yīng)分類討論x1A 0,且4x 0,所以 U x 4,即x的取值范圍是1V x 4.應(yīng)選B.例21如圖21-10所示的是一塊長、寬、高分別為7cm, 5cm和3cm的長方體木塊,一只螞蟻要從長方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處,沿著長方體的外表爬到和頂點(diǎn)A相對的頂點(diǎn)B處吃食物,那么它要爬行的最短路徑的長是多少?分析 這是一個(gè)求最短路徑的問題,一個(gè)長方體有六個(gè)面,螞蟻有三種不同的爬行方法,計(jì)算時(shí)要分類討論各種方法,進(jìn)而確

17、定最正確方案解：沿前、右兩個(gè)面爬,路徑長為 (5 7)2 3153 (cm).A 5 cm圖 21-10沿前、上兩個(gè)面爬,路徑長為沿左、上兩個(gè)面爬,路徑長為-(3 7)2 5丁 = wi25 (cm).,(3 5)2 72 =,i13(cm).所以它要爬行的最短路徑長為、.113 cm.規(guī)律方法 沿外表從長方體的一個(gè)頂點(diǎn)爬到相對的頂點(diǎn)去,共有三個(gè)爬行路線,每個(gè)路線長分別是它爬行兩個(gè) 展開圖的對角線的長.二次根式單元測試題(一) 判斷題：(每題1分,共5分)1. (-2)2ab = 2 Jab ()2. 3 2的倒數(shù)是琴3 + 2.()3. J(x-儼=3x-1尸.()4. ab、1 Ja3b、

18、2Ja 是同類二次根式.(3x k b5. V8x , J1,】9+x2都不是最簡二次根式.(二) 填空題：(每題2分,共20分). 1、.6.當(dāng)x時(shí),式子-i=一有意乂. x-38. a- Ja2 -1的有理化因式是 9. 當(dāng) 1v xv 4 時(shí),|x 4|+ Jx22x+1 = 10. 方程J2 (x 1) = x+ 1的解是22ab c d11. a、b、c為正數(shù),d為負(fù)數(shù),化間 ., ab .c2d2一,112.比較大小：一一=2、. 71W3 13. 化簡：(7-5龍)200( - 7-5.2) 2001 =14. 假設(shè) Jx +1 + ,y 3 = 0,那么(x-1)2+ (y+

19、3)2=.15. x, y分別為8 J11的整數(shù)局部和小數(shù)局部,貝U2xy y2=(三) 選擇題：(每題3分,共15分)16. tx3+3x2 = x Jx +3,貝U()(A) x 0(B) x- 3(D) - 3 x 017. 假設(shè) xvyv 0,那么 Jx2 _2xy +y2 + Jx2 +2xy + y2 =()(A) 2x (B) 2y (C) - 2x ( D) 2y18. 假設(shè) 0vxv 1,貝(J j(x _)2 +4 -(x +1)2 4 等于()x . x/ 、 2, 、2, 、(A) -(B) (C) - 2x (D) 2xxx19. 化簡-(av 0)得()a(A) v

20、-a (B) - 1.但等式左邊 x可取任何數(shù).【答案】(二) 填空題：(每題2分,共20分)6、 【提示】 頊X何時(shí)有意義 x 0.分式何時(shí)有意義分母不等于零.【答案】x 0且 好9.7、【答案】一2a .a .【點(diǎn)評】注意除法法那么和積的算術(shù)平方根性質(zhì)的運(yùn)用.8、【提示】(a-Ja1) () = a 一(瑚a 1).a+yfa1 .【答案】a + ya1 .9、 【提示】x2 2x+ 1=() 2, x- 1.當(dāng)1 v xv 4時(shí),x- 4, x- 1是正數(shù)還是負(fù)數(shù)x-4是負(fù)數(shù),x1是正數(shù).【答案】3.10、 【提示】把方程整理成 ax= b的形式后,a、b分別是多少 42-1 , 0),

21、 . ab- c2d2=( 拓十cd ) ( 0, v y-3 0.當(dāng) Jx +1 + y -3 = 0 時(shí),x+ 1 = 0, y-3 = 0.15、 【提示】3 V 11 V 4, V 8-、宥V. 4, 5.由于8- v11介于4與5之間,那么其整數(shù)局部x=?小數(shù)局部y= ? x= 4, y= 4 JU【答案】5.【點(diǎn)評】求二次根式的整數(shù)局部和小數(shù)局部時(shí),先要對無理數(shù)進(jìn)行估算.在明確了二次根式的取值范圍后,其整數(shù)部分和小數(shù)局部就不難確定了.(三) 選擇題：(每題3分,共15分)16、【答案】D.【點(diǎn)評】此題考查積的算術(shù)平方根性質(zhì)成立的條件,(A )、(C)不正確是由于只考慮了其中一個(gè)算術(shù)

22、平方根的意義.17、 【提示】xv yv 0, . x- yv 0, x+ yv 0.Jx2 2xy + y2 = J(x _ y)2 = |x y| = y-x.Jx2+2xy+y2 = (x + y)2 = x+ y|= x-y.【答案】C.【點(diǎn)評】此題考查二次根式的性質(zhì)Ta2 = |a|.18、 【提示】(x -) 2+ 4 = (x+ )2, (x+ -) 2- 4= (x- - )2.又. 0 0, x v 0.【答案】D. xx1【點(diǎn)評】此題考查完全平方公式和二次根式的性質(zhì).(A)不正確是由于用性質(zhì)時(shí)沒有注意當(dāng)0vxv 1時(shí),x v 0.19、【提示】 寸a = v aa = J-

23、a v a = |a | J - a = a J a .【答案】C.20、【提示】. av 0, bv 0,a0, b0.并且a = (J-a)2, b= (J-b)2 , Jab = J(a)(b).【答案】C.【點(diǎn)評】此題考查逆向運(yùn)用公式 (0)2 = a (a 0)和完全平方公式.注意(A )、(B)不正確是由于av 0, bv 0時(shí),Va、Jb都沒有意義.(四) 計(jì)算題：(每題6分,共24分)21、【提示】將 J5-J3看成一個(gè)整體,先用平方差公式,再用完全平方公式.【解】原式=(75 構(gòu))2 (V2)2 = 5 215 + 3-2= 6-2W15 .22、 【提示】先分別分母專理化,

24、再合并同匚次根式._【解】原式=5(4布一4(,7) 2(/7) = 4+ 而一而-J3-3+ 后=1.16T111-79-723、【提示】先將除法轉(zhuǎn)化為乘法,再用乘法分配律展開,最后合并同類二次根式.【解】原式=(aj2 -些、布+旦如)杪.m mm , n a b , n1 n m 1 m n mm=聲7 A；mn + b , m nmab ,n ma b , n n111a2 -ab 1=b2 ab + OV = 24、【提示】此題應(yīng)先將兩個(gè)括號內(nèi)的分式分別通分,然后分解因式并約分.解原式= a +或系 + b - Jab + aja(a 而 bb(Ja +而)(a + b)(a b)一

25、 a . b, ab(. a b)(. a - ：；b)a ba2a abb , ab -b2 -a2 b2=廣 + =.a , b . ab(. a 、b)( a -、b)a ba ,b【點(diǎn)評】此題如果先分母有理化,那么計(jì)算較煩瑣.五求值：每題7分,共14分25、【提示】先將條件化簡,再將分式化簡最后將條件代入求值.【解】=(V3+V2)2 = 5+2 J6,*3 _ *3 =(后- = 5-2 0一32x+ y= 10, x y= 4而,xy= 52(2/6)2= 1.x3 -xy2= x(x +y)(x -y) = x y = 4無=2x4y 2x3y2 x2y3x2y(x y)2 xy(x - y) 1 105【點(diǎn)評】此題將x、y化簡后,根據(jù)解題的需要,先分別求出“x+ y、“x y、“xy.從而使求值的過程更簡捷.26、【提示】注意：x2+ a2= (Vx2+a2)2,x2 + a2-xx2+a2 = vx2+a2 ( Jx2+