第五章 結(jié)構(gòu)位移計算

1、基本要求：基本要求： 理解理解實功、虛功、廣義力、廣義位移的概念，變形體虛功原理和互等定理。掌握掌握荷載產(chǎn)生的位移計算。熟練掌握熟練掌握圖乘法求位移。了解了解了解溫度改變、支座移動引起的位移計算。 AAAAAH AVPAHAV絕對位移相對位移：指兩點相對位移：指兩點或兩截面相互之間或兩截面相互之間位置的改變量。位置的改變量。FP1CHDHFP2FP3ABABCDABCDCD兩點的相對水平位移兩點的相對水平位移CDCHDH ABAB兩截面的相對角位移兩截面的相對角位移ABABFP1CHDHFP2FP3ABABCDABt 鐵路工程技術規(guī)范規(guī)定鐵路工程技術規(guī)范規(guī)定: (1) 驗算結(jié)構(gòu)剛度驗算結(jié)構(gòu)剛度

2、在工程上，吊車梁允許的撓度在工程上，吊車梁允許的撓度 1/600 跨度；跨度；橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度最大撓度 1/700 和和1/900跨度跨度高層建筑的最大位移高層建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。 最大層間位移最大層間位移 1/800 層高。層高。校核結(jié)構(gòu)的位移是否超過允許限值，以防止構(gòu)校核結(jié)構(gòu)的位移是否超過允許限值，以防止構(gòu)件和結(jié)構(gòu)產(chǎn)生過大的變形而影響結(jié)構(gòu)的正常使件和結(jié)構(gòu)產(chǎn)生過大的變形而影響結(jié)構(gòu)的正常使用。用。 如屋架在豎向荷載作用下，下弦各結(jié)點產(chǎn)生虛線所示位移。將各下弦桿做得比實際長度短些，拼裝后下弦向上起拱。在屋蓋自重作用

3、下，下弦各桿位于原設計的水平位置。(2）建筑起拱和施工要求）建筑起拱和施工要求(3)為超靜定結(jié)構(gòu)計算打基礎為超靜定結(jié)構(gòu)計算打基礎超靜定結(jié)構(gòu)的計算要同時滿足平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件。超靜定結(jié)構(gòu)的計算要同時滿足平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件。abABC1c?FP=1ABCabRAF四、虛力原理四、虛力原理已知已知1c求求虛功方程虛功方程設虛力狀態(tài)設虛力狀態(tài)abFbFaFRAPRA0011cFRA1cab小結(jié)：小結(jié)： （1）形式是虛功方程，實質(zhì)是幾何方程；）形式是虛功方程，實質(zhì)是幾何方程；（2）在擬求位移方向虛設一單位力，利用平衡條件求出與已知位移相）在擬求位移方向虛設一單位力，利用平衡條件求出與已知位移相

4、應的支座反力。應的支座反力。構(gòu)造一個平衡力系構(gòu)造一個平衡力系；（3）特點是用靜力平衡條件解決幾何問題。）特點是用靜力平衡條件解決幾何問題。單位荷載其虛功正好等于擬求位移。單位荷載其虛功正好等于擬求位移。虛設力系求剛體體系位移虛設力系求剛體體系位移五、支座位移時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算五、支座位移時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算（1）C點的豎向位移點的豎向位移c（2）桿）桿CD的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角l3l 23lABCDABCD13132ABCD1l 21l2l 23已知位移已知位移Ac求求:cAc 03111DccAcc31 02112AclAcl 21 所得正號表明位移方所得正號表明位移方向與假設的單位力方向向與假設的

5、單位力方向一致。一致。求解步求解步驟驟（1）沿所求位移方向加單位力，求出虛反力；）沿所求位移方向加單位力，求出虛反力；（3）解方程得）解方程得kRkcF定出方向。定出方向。（2）建立虛功方程）建立虛功方程01kRkcF練習： 已知剛架支座B向右移動a,求 。CVDHc、解：1）求CV1()( )44CVddaahh CABhd/2d/2aDCAB1d/4hd/4h0.50.5求CVDCADB10.50.5h/dh/dd/2d/22）求DH)(2)21(1aaDHCADB1/h1/h00d/2d/2113）求C)()1(1haahCCABhd/2d/2aD5.2 5.2 結(jié)構(gòu)位移計算一般公式結(jié)構(gòu)

6、位移計算一般公式1. 1.局部變形時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算局部變形時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算dBAaamaaBAdm1aaABMiiaMsin1虛功方程：虛功方程：01dMmdMmBAiiBAQdQ1AQFsin1QF01dFQQdFQQ 例例1、懸臂梁在截面、懸臂梁在截面B處由于某種原因處由于某種原因產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)角產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)角d ，試求，試求A點在點在ii方向的方向的位移位移 。m 例例2、懸臂梁在截面、懸臂梁在截面B處由于某種原因處由于某種原因產(chǎn)生相對剪位移產(chǎn)生相對剪位移d ，試求試求A點在點在ii方向方向的位移的位移 。Q 例例3、懸臂梁在截面、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生軸向位移處由于某種原因

7、產(chǎn)生軸向位移d 試求試求A點在點在方向的位移方向的位移 。NBABAii NNBA 1NFNF由平衡條件：由平衡條件：cos1NF虛功方程：虛功方程：01dFNNdFNN 當截面當截面B同時產(chǎn)生三種相對位移時，在同時產(chǎn)生三種相對位移時，在ii方向所產(chǎn)生的位移方向所產(chǎn)生的位移 ，即是三者的疊加，有：即是三者的疊加，有：dFdFdMNQNQMd推導位移計算公式的兩種途徑推導位移計算公式的兩種途徑由變形體虛功原理來推導；由變形體虛功原理來推導；由剛體虛功原理來推導由剛體虛功原理來推導局部到整體局部到整體。2、局部變形時的位移計算公式、局部變形時的位移計算公式基本思路：基本思路：dsdddRii dd

8、sddsddRdsR1（1）三種變形：）三種變形：在剛性桿中，取微段在剛性桿中，取微段ds設為變形體，分析局部變形設為變形體，分析局部變形所引起的位移。所引起的位移。dsRdsddsddsddsdddRiiddsddsddRds 1QNFFM,（2）微段兩端相對位移：）微段兩端相對位移：續(xù)基本思路：設續(xù)基本思路：設,0ds 微段的變形以截面微段的變形以截面B左右兩端的相對位移的左右兩端的相對位移的形式出現(xiàn)，形式出現(xiàn)，即剛體位移即剛體位移，于是可以利用剛體虛功原理求位移。，于是可以利用剛體虛功原理求位移。（3）應用剛體虛功原理求位移）應用剛體虛功原理求位移d 即前例的結(jié)論。即前例的結(jié)論?；蚧騞s

9、FFMdQN)(dFdFdMdNQNQM3、結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式、結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式ii一根桿件各個微段變形引起的位移總和：一根桿件各個微段變形引起的位移總和：如果結(jié)構(gòu)由多個桿件組成，則整個結(jié)構(gòu)變形引起某點的位移為：如果結(jié)構(gòu)由多個桿件組成，則整個結(jié)構(gòu)變形引起某點的位移為：若結(jié)構(gòu)的支座還有位移，則總的位移為：若結(jié)構(gòu)的支座還有位移，則總的位移為：dsFFMdQN)(dsFFMdQN)(0dsFFMdQN)(0KRKQNcFdsFFMd)(0適用范圍與特點：適用范圍與特點：2） 形式上是虛功方程，實質(zhì)是幾何方程。形式上是虛功方程，實質(zhì)是幾何方程。關于公式普遍性的討論：關于公式普遍性的討論：（1

10、）變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。）變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。（2）變形原因：荷載與非荷載。）變形原因：荷載與非荷載。（3）結(jié)構(gòu)類型：各種桿件結(jié)構(gòu)。）結(jié)構(gòu)類型：各種桿件結(jié)構(gòu)。（4）材料種類：各種變形固體材料。）材料種類：各種變形固體材料。1） 適于小變形，可用疊加原理。適于小變形，可用疊加原理。KRKQNcFdsFFM)(04. 4.求位移步驟如下：求位移步驟如下：沿擬求位移方向虛設性質(zhì)相應的單位載荷；求結(jié)構(gòu)在單位載荷作用下的內(nèi)力和支座反力；利用位移計算一般公式求位移。 5.廣義位移的計算求圖a）結(jié)構(gòu)A、B截面相對水平位移 。ABAHBH +a) 給定位移qABAHBH,

11、0 , c) 虛設單位荷載1AB1111,NQFFMb)AB1NQFFM,1d) 虛設單位荷載2AB1222,NQFFM=虛設單位載荷如上頁圖c) ，d)所示。11011AHQNMdsFdsFds22021BHQNMdsFdsFds1212012 =+=()()()ABAHBHQQNNMMdsFFdsFFds由上圖b)可得：121212QQQNNNMMMFFFFFF所以得：0ABQNM dsFdsFds 所以，為了求兩個截面的相對位移，只需要在該兩個截面同時加一對大小相等，方向相反，性質(zhì)與所求位移相應的單位荷載即可。下面給出幾種情況的廣義單位荷載：1)q求11單位荷載AB1/l1/l單位荷載A

12、BlAVBV求AB+)/l=(AVBV2)1AB求AV -BV1AB11求AV+BV(A，B截面豎向位移之和）(A，B截面相對豎向位移）ABFPAVBV原結(jié)構(gòu)3)例例: 1)求求A點水平位移點水平位移 所加單位廣義力與所求廣義位移相對應所加單位廣義力與所求廣義位移相對應,該單位該單位廣義力在所求廣義位移上做功廣義力在所求廣義位移上做功.PAB2)求求A截面轉(zhuǎn)角截面轉(zhuǎn)角3)求求AB兩點相對水平位移兩點相對水平位移4)求求AB兩截面相對轉(zhuǎn)角兩截面相對轉(zhuǎn)角1P1P1P1P 5.3荷載作用下結(jié)構(gòu)的位移計算荷載作用下結(jié)構(gòu)的位移計算CABDNQFFM,FP=1給定位移、變形,0 , DH,DV,D(MP,

13、FQP,FNP )FPCABqDD01()QNMdsFFds 若結(jié)構(gòu)只有荷載作用，則位移計算一般公式為：PMEI0QPkFGANPFEA 上式適用的條件是：小變形，材料服從虎克定律，即體系是線性彈性體。1QPNPPQNkFFMMdsFdsFdsEIGAEA 1QQPNNPPkF FF FM MdsdsdsEIGAEA 在荷載作用下，應變 與內(nèi)力0、 、PQPMF、 的關系式如下：（式中k為剪應力不均勻系數(shù)）NPF正負號規(guī)則：1） 不規(guī)定 和 的正負號，只規(guī)定乘積MPMPMM的正負號。若 和 使桿件同一側(cè)纖維受MPM拉伸長，則乘積為正，反之為負；正MMP正MMP負MMP2） 和 以拉力為正，壓力

14、為負；NFNPF3） 和 的正負號見下圖。QFQPFQFQFQFQF各類結(jié)構(gòu)的位移計算公式1. 梁和剛架 在梁和剛架中，由于軸向變形及剪切變形產(chǎn)生的位移可以忽略，故位移計算公式為：=PMMdsEI 在高層建筑中，柱的軸力很大，故軸向變形對位移的影響不容忽略。 對于深梁，即h/l 較大的梁，剪切變形的影響不容忽略。 5.4荷載作用下結(jié)構(gòu)的位移計算舉例荷載作用下結(jié)構(gòu)的位移計算舉例2. 桁架 桁架各桿只有軸力，所以位移計算公式為：=NNPF FdsEANNPNNPF FF F ldsEAEA4. 拱NNPPF FMMdsdsEIEA 拱軸截面軸向變形的影響通常不能忽略：3. 組合結(jié)構(gòu)NNPPF F

15、lMMdsEIEA 用于彎曲桿 用于二力桿解：解：例例:求圖示桁架求圖示桁架(各桿各桿EA相同相同)k點水平位移點水平位移.Paak100PPP211122)()21 (2222) 1)() 1)(1EAPaaPaPaPEA練習練習:求圖示桁架求圖示桁架(各桿各桿EA相同相同)k點豎向位移點豎向位移.aaPk1110200P2P)()221 (2)2)(2(11EAPaaPaPEANFNPFNNPkHF F lEANPFNFNNPkVF F lEAPP=1例：求圖示曲桿（1/4圓?。╉旤c的豎向位移。解：1）虛擬單位荷載 cosFQ sinFN sinRMcosPFQPsin PFNPsin P

16、RMP虛擬荷載下內(nèi)力3）位移公式為QNMGAPREAPREIPR4443pkppds=Rddds鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)G0.4E矩形截面, k =1.2,I/A=h2/1212001MN4001MQ2MNARI2412MQRhGAREIk可見剪切變形和軸向變 形引起的位移與彎曲變形 引起的位移相比可以忽略 不計。但對于深梁剪切變 形引起的位移不可忽略.2）實際荷載下內(nèi)力dGAPRdEAPREIPRcossin20203 kpp22h101R如2121RhPGAdsFQPFQEAdsFNPFNEIdsMMk例題53如圖所示為等截面簡支梁，其左半跨內(nèi)均布荷載q，梁橫截面的彎曲慣性矩為I，試求該梁中點截面C

17、的角位移C。解：在左半跨內(nèi)(0 x l/2):=ixMl223=(34)828PqlqqMxxlxx在右半跨內(nèi)(0 x l/2):=ilxMl=- )8PqlMl x（/220/23 ().(34).()88 384iPclllM MdsEIxqdxlx qldxlxxlxlEIlEIqlEI 作業(yè) 5-1 5-2 5-6 5-8 5-105.5 圖乘圖乘 法法 在桿件數(shù)量多的情況下在桿件數(shù)量多的情況下,不方便不方便. 下面介紹下面介紹計算位移的圖乘法計算位移的圖乘法.diPiPM MsEI剛架與梁的位移計算公式為：剛架與梁的位移計算公式為：kidsEIMMkiCEIdxMMEI1PEIydx

18、EIMM0wyEI01wxtgEI01wBAkdxxMtgEI1BAkMdxxtgMEIi1是直線kidxEIMM直桿MiMi=xtgyxMkdxxy0 x0y0=x0tg一、圖乘公式推導BAkdxxMMK對 y 軸的靜矩。圖乘法是圖乘法是Vereshagin于于1925年提出的，他當時年提出的，他當時為莫斯科鐵路運輸學院為莫斯科鐵路運輸學院的的學生學生。圖乘法的圖乘法的適用條件是適用條件是什么什么?AB1. 圖乘法的應用條件：圖乘法的應用條件：（1）等截面直桿，）等截面直桿，EI為常數(shù)；為常數(shù)；（2）兩個）兩個M圖中應有一個是直線圖形；圖中應有一個是直線圖形；（3） 應取自直線圖中。應取自直

19、線圖中。0y2. 若若 與與 在桿件的同側(cè)，在桿件的同側(cè)， 取正值；取正值；反之，取負值。反之，取負值。cyww0y(1) 曲曲-折組合折組合1 12233Cyyywww例如例如yc0Cyw1w2w3wwy2y1y31 1221 1Cyyywww(2) 階梯形截面桿階梯形截面桿jjjjKiIEyIEyIEyIEyxEIMMw ww ww ww w333322221111d二、幾種常見圖形的面積和形心位置的二、幾種常見圖形的面積和形心位置的確定方法確定方法拋物線的頂點（拋物線的頂點（FQ=0處）在拋物線的中點處）在拋物線的中點或端點或端點.例例. 試求圖示梁試求圖示梁B端轉(zhuǎn)角端轉(zhuǎn)角.解解:cBy

20、EIwABP2/ l2/ lEIBAB1M4/Pl11EIPM 圖iM圖124Pll 1221()16PlEI例例. 試求圖示結(jié)構(gòu)試求圖示結(jié)構(gòu)B點豎向位移點豎向位移.解解:0BVyEIwPl1lPEIBEIllPM 圖iM圖1EI1(2Pl l2.3l)Pl l l 34( )3PlEI21EIqlqllEIB3224121)8132(1（ ）281qlBAq1例例:求圖示梁求圖示梁(EI=常數(shù)常數(shù),跨長為跨長為l)B截面轉(zhuǎn)角截面轉(zhuǎn)角B解解:PM 圖iM圖三、圖形分解三、圖形分解B求求1ABmkN 20mkN 40m10EI)(100)203260(110211EIEIB)(100)21102

21、032601021(1EIEIB402060204020112(10 40231110020 10)()23BEIEIPM 圖iM圖當彎矩圖的形心位置或面積不便于確定時，常將該圖形分解為幾個易于確定形心位置和面積的部分，并將它們分別與另一圖形相乘，然后再將所得結(jié)果相加。下面分兩種情況討論。三、圖形分解三、圖形分解B求求1)(24)1322EIqlqllqllEIBAB4/2qllEIq42ql8/2qlq8/2qlPM 圖iM圖三、圖形分解三、圖形分解C求求C截面豎向位移截面豎向位移16/3l8/2ql4/3l4/ lABEIqC1P32/32qlq32/32ql4/

22、3lq32/32qlq32/32ql4/ lq32/32ql8/) 4/3 (2lq8/) 4/(2lqPM 圖iM圖212 3(3 /4)1 3(3 482 16Cl qllEI 21 332 32 4323 16lqll22( /4)1 33 482 16lq ll2132 3)2 4323 16lqll419( )4048qlEI當拋物線的頂點（當拋物線的頂點（FQ=0處）不在拋處）不在拋物線的中點或端點時，可將其分成物線的中點或端點時，可將其分成直線形和簡單拋物線（如圖示），直線形和簡單拋物線（如圖示），然后兩者分別與另一圖形相乘，再然后兩者分別與另一圖形相乘，再把乘得的結(jié)果相加。把乘

23、得的結(jié)果相加。PPaaa例：求圖示梁中點的撓度。PaPaMPP=13a/4MEIPaPaaaaPaEIaa24232222232213432a/2a/2PaaaEI343211Pl/2l/2C例：求圖示梁C點的撓度。MPPlCP=1l/2Ml/6l6EIPl123PlEIC212EIPl4853Pl65llEIyC22210w5Pl/6？兩個圖形均非直線性豎標不是取在直線圖形中四、圖乘法小結(jié)四、圖乘法小結(jié)1. 圖乘法的應用條件：圖乘法的應用條件：（1）等截面直桿，）等截面直桿，EI為常數(shù)；為常數(shù)；（2）兩個）兩個M圖中應有一個是直線；圖中應有一個是直線；（3） 應取自直線圖中。應取自直線圖中。

24、cy2. 若若 與與 在桿件的同側(cè)，在桿件的同側(cè)， 取正值；取正值；反之，取負值。反之，取負值。cywwcy3.當圖乘法的適用條件不滿足時的處理方法：當圖乘法的適用條件不滿足時的處理方法：a）曲桿或）曲桿或EI=EI（x）時，只能用積分法求位）時，只能用積分法求位移；移；b）當）當EI分段為常數(shù)或單位彎矩圖、荷載分段為常數(shù)或單位彎矩圖、荷載彎矩圖均非直線時，應分段圖乘再疊加；彎矩圖均非直線時，應分段圖乘再疊加； 例例 1. 已知已知 EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求C、D兩點相對水平位移兩點相對水平位移 。CD 五、應用舉例五、應用舉例ClqDhq8/2qlh11h解：解：PM 圖iM圖1cCDyE

25、IEIw2238qllh3()12qhlEI 例例 2. 已知已知 EI 為常數(shù)，求鉸為常數(shù)，求鉸C兩側(cè)截面相對轉(zhuǎn)角兩側(cè)截面相對轉(zhuǎn)角 。C五、應用舉例五、應用舉例解：解：AlqBlClq4/ql4/ql0l /123121382()24cCyqlEIEIqlEIw 1M iM圖14/2ql4/2qlPM 圖 例例 3. 圖示梁圖示梁EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求C點豎向位移。點豎向位移。五、應用舉例五、應用舉例iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C22311 33()3824 22845( )128cCVyqllllqllEIEIqlEIw8/2ql231 11322 21( )24c

26、CVyqlllEIEIqlEIw 32/2ql 例例 3. 圖示梁圖示梁 EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求C點豎向位移點豎向位移 。五、應用舉例五、應用舉例iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C222412112(3 2 32 2 22 223 211)2 283 217( )384cCVyEIlqlllqllEIlqllqlEIw8/2qlq8/2ql2/2ql2/2ql8/2ql 例例 3. 圖示梁圖示梁 EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求C點豎向位移點豎向位移 。iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C222411312(3 284 22 243 21)282 217( )384

27、cCVyEIl qlll qllEIl qllqlEIw8/2qlq8/2ql2/qlq8/2ql4/2ql2/ql8/2ql8/2ql5.6 溫度作用時的位移計算溫度作用時的位移計算 靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化作用下各桿能自由變形，所以結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生內(nèi)力。1. 是溫度改變值，而非某時刻的溫度。12tt、某時刻溫度另一時刻溫度t1,t2是溫度改變值C10C10C25C35Ct1510251Ct2510352 2. 溫度沿桿件截面厚度方向成線性變化。截面上、下邊緣溫差：21()tt令21-ttt 101121(- )httdtttth11 21 11 211-(-)=hth th th tthhhh1 22

28、 1=h th th對于矩形截面桿件， ， 。12/2hhh012()/2ttthb桿軸線處溫度改變值 ：0th1h2ht1t2t2 - t1dth1h2ht1t2dsdst1dst2dst03. 微段ds的應變拉應變彎曲應變剪應變00t dstds21-1t dst dsdtdsdshh021ttt 4. 位移計算公式1NMdsFd 0=NtMdsFt dsh0( )NtMdstF dsh小結(jié)：1） 正負號規(guī)則： 及溫度變化使桿件同一側(cè)纖M維伸長（彎曲方向相同），則乘積tM dsh為正，反之為負。0t以溫度升高為正，降低為負， 以拉力為正，NF壓力為負。2）21|- |ttt 例 求圖示剛架

29、C截面水平位移 。已知桿件線 CH膨脹系數(shù)為 ，桿件矩形橫截面高為h。120=52otttCo=10-0=10tC解：CABddCt01Ct1021CAB dd圖MCAB圖NF1NF1NF02105210(1)()CHNtMdstF dshdddahh 22122Mdsdd2 12NF dsdd 5-8 變形體虛功原理及位移計算一般公式一、 變形體虛功原理 定義：設變形體在力系作用下處于平衡狀態(tài)，又設該變形體由于其它原因產(chǎn)生符合約束條件的微小連續(xù)變形，則外力在位移上做的外虛功W恒等于各微段應力的合力在變形上作的內(nèi)虛功Wi ，即W=Wi 。下面討論W及Wi 的具體表達式。條件：1）存在兩種狀態(tài)：

30、 第一狀態(tài)為作用有平衡力系； 第二狀態(tài)為給定位移及變形。 以上兩種狀態(tài)彼此無關。 2）力系是平衡的，給定的變形是符合 約束條件的微小連續(xù)變形。 3）上述虛功原理適用于彈性和非彈性 結(jié)構(gòu)。ds1C2C( )w s123第二狀態(tài)（給定位移和變形）dsddsds0dds0ddsddsMMQFQFNFNFsd1RF2RF1PF2PF3PFq(s)q(s)dsds第一狀態(tài)（給定平衡力系）1122331122( ) ( )( ) ( )PPPRRPiiRKKiKWq s w s dsFFFF CF CWq s w s dsFF C 外力虛功：微段ds的內(nèi)虛功dWi：00()iQNQNQNdWMdF dF

31、dM dsFdsF dsMFFds整根桿件的內(nèi)虛功為：0()iiQNWdWMFFdsds1C2C( )w s123第二狀態(tài)（給定位移和變形）1RF2RF1PF2PF3PFq(s)q(s)dsds第一狀態(tài)（給定平衡力系）根據(jù)虛功方程W=Wi，所以有：0( ) ( ) ()PiiRKKiKQNq s w s dsFFCMFFds 結(jié)構(gòu)通常有若干根桿件，則對全部桿件求總和得：0( ) ( ) ()PiiRKKiKQNq s w s dsFF CMFFds 小結(jié)： 只要求兩個條件：力系是平衡的，給定的變形是符合約束條件的微小連續(xù)變形。 上述虛功原理適用于各類結(jié)構(gòu)（靜定、超靜定、桿系及非桿系結(jié)構(gòu)），適用

32、于彈性或非彈性結(jié)構(gòu)。 考慮了桿件的彎曲、剪切及軸向變形。1)2)3)變形體虛功原理有兩種應用形式，即虛力原理和虛位移原理。虛力原理：虛設平衡力系求位移; 虛位移原理：虛設位移求未知力。 用變形體虛力原理求靜定結(jié)構(gòu)的位移，是將求位移這一幾何問題轉(zhuǎn)化為靜力平衡問題。 二、位移計算的一般公式01()RKKQNKF CMFFds所以01()QNRKKKMFFdsF C1=1PF 在變形體虛功方程中，若外力只是一個單位荷載 ，則虛功方程為 ：5.9 互等定理 互等定理適用于線性變形體系，即體系產(chǎn)生的是小變形，且桿件材料服從虎克定律。一、 功的互等定理功的互等本質(zhì)上是虛功互等。下圖給出狀態(tài)I和狀態(tài)II。P

33、bFPaFQFMNF狀態(tài)IIAB12ab21PaFPbFAB2PF1PF12abba2PF1PFQFMNF狀態(tài)I120PQNQQNNWFMdsFdsFdskF FF FM MdsdsdsEIGAEA MdsdsEI0QkFdsdsGANFdsdsEAMdsdsEI0QkFdsdsGANFdsdsEA令狀態(tài)I的平衡力系在狀態(tài)II的位移上做虛功，得到：PbFPaFQFMNF狀態(tài)IIAB12ab21PaFPbFAB2PF1PF12abba2PF1PFQFMNF狀態(tài)I 同樣，令狀態(tài)II的平衡力系在狀態(tài)I的位移上做虛功，得到：210PQNQQNNWFMdsFdsFdskF FF FM MdsdsdsEI

34、GAEA 所以PPFF 即1122PPPaaPbbFFFF 定理 在任一線性變形體系中，第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所做的虛功W12等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所做的虛功W21。二、 位移互等定理定理 在任一線性變形體系中，由荷載FP1引起的與荷載FP2相應的位移影響系數(shù)21等于由荷載FP2引起的與荷載FP1相應的位移影響系數(shù)12。即 12= 211221WW即212121PPFF由功的互等定理可得： 在線性變形體系中，位移ij與力FPj的比值是一個常數(shù)，記作ij，即：i ji jP jF或2112112212PPijPjijFFF于是21121221PPPPFFFF所以2112狀

35、態(tài)II2PF122212狀態(tài)I1PF12211111PF12211121PF122212說明：1） ij也稱為柔度系數(shù)，即單位力產(chǎn)生的位移。 i 產(chǎn)生位移的方位； j 產(chǎn)生位移的原因。2） FP1和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，則相應的12和21就是線位移影響系數(shù)或角位移影響系數(shù)。即荷載可以是廣義荷載，而位移則是廣義位移。兩個廣義位移的量綱可能不等，但它們的影響系數(shù)在數(shù)值和量綱 上仍然保持相等。12()PPW F F 圖示同一結(jié)構(gòu)的兩種狀態(tài)，根據(jù)位移互等定理下列式子正確的是 A 1=3 B 2=4 C 3=2 D 1=4 例 驗證位移互等定理。EIMaMaaEIEIFaFaaEI1621

36、41211162141211212221解：a/2a/21EIFP1=F212a/2a/21EIFP2=M122FFa/4M11a/41/2M/2EIaMEIaF16/16/2121222121所以2112例 驗證位移互等定理。4m1m1EIFP1=5kN.m2124m1m1EIFP2=3kN212解：2121211212121111025 41/52333111223 41/3233EIEIEIEIEIEI 所以2112153111三、反力互等定理 反力互等定理只適用于超靜定結(jié)構(gòu)，因為靜定結(jié)構(gòu)在支座移動時只產(chǎn)生剛體位移，其內(nèi)力和支座反力均等于零。12C1FR21FR11狀態(tài)I12C2FR22

37、FR12狀態(tài)II根據(jù)功的互等定理有：002211222111RRRRFCFCFF212121RRFCFC 在線性變形體系中，反力FRij與Cj的比值為一常數(shù)，記作rij，即R ijijjFrC或2121112122RijijjRRFr CFr CFr C所以21121221r CCr C C得1221rr說明： rij 也稱為剛度系數(shù)，即產(chǎn)生單位位移所需施加的力。其量綱為 。 i 產(chǎn)生支座反力的方位； j 產(chǎn)生支座移動的支座。1 2()W cc某桁架支座B被迫下沉5mm，并測得下弦結(jié)點相應的撓度如題1.7（a）圖所示，此時桁架上無其它荷載。題1.7（b）圖所示荷載作用下引起的支座B的反力為 。

38、 定理 在任一線性變形體系中，由位移C1引起的與位移C2相應的反力影響系數(shù)r21等于由位移C2引起的與位移C1相應的反力影響系數(shù)r12。四、位移反力互等定理根據(jù)功的互等定理有：1122121122120PRPRFFCFFC 令1221122121RPFrCF狀態(tài)I1FP12FR21狀態(tài)II1122C2位移反力互等定理在混合法中得到應用。所以11221 212PPFCFr C 由此得到1221r 即1212221211RPCFr F 上式中力可以是廣義力，位移可以是廣義位移。符號相反表明：虛功方程中必有一項，其力和位移方向相反。 系數(shù) 、 的量綱都是 。1221r1 2()PW F c定理 在任一線性變形體系中，由位移C2引起的與荷載FP1相應的位移影響系數(shù) 在絕對值上等于由荷載FP1引起的與位移C2相應的反力影響系數(shù) ，但二者符號相反。1221r作業(yè) 5-18 5