文獻(xiàn)綜述呂懷遠(yuǎn)

1、本 科 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì)（論文）( 2012屆)（文 獻(xiàn) 綜 述）題 目：一元次方程解的存在性與求解方法的發(fā)展史學(xué) 院: 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)專業(yè): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級: 08數(shù)本1姓 名:呂懷遠(yuǎn)學(xué) 號(hào):指導(dǎo)老師:何文明一元次方程解的存在性與求解方法的發(fā)展史文獻(xiàn)綜述摘要：一元次方程解的存在性與求解方法在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中曾起過非常重要的作用，在中學(xué)數(shù)學(xué)中我們主要接觸了一元一次方程與一元二次方程的解法，但并沒有學(xué)習(xí)一元三次方程與一元四次方程的解法，在復(fù)變函數(shù)中我們知道任意一個(gè)一元次方程在復(fù)數(shù)域中都存在解，但并沒有學(xué)習(xí)對于一般的一元次方程，是否存在解法。關(guān)鍵字: 一元次方程/存在性/求解方法學(xué)習(xí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)理

2、論告訴我們：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，是一個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)知過程，其實(shí)質(zhì)是一個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展變化過程，數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中發(fā)揮著極為重要的作用。數(shù)學(xué)思想也可以看做是數(shù)學(xué)知識(shí)的組成部分。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容是數(shù)學(xué)課本中的表層內(nèi)容，數(shù)學(xué)思想處于潛形態(tài)。對一元二次方程的研究與應(yīng)用在古代中國，一元二次方程的研究有著極其悠久的歷史，是中國古代數(shù)學(xué)的非凡成就之一。早在古老的數(shù)學(xué)名著<<九章算術(shù)>>中就有一元二次方程求解問題，不僅給出了“開帶平方”法，還給出其他的一些解法，這在當(dāng)時(shí)都是無與倫比的成就。后來還有一大批中國數(shù)學(xué)家在理論和應(yīng)用方面繼續(xù)深入研究，并取得了重大的成果。公元3世紀(jì)，我國出現(xiàn)了利用

3、公式求二次方程根的做法。三國時(shí)的趙爽對二次方程做出的貢獻(xiàn)十分突出，他巧妙的應(yīng)用“出入相補(bǔ)原理”，由幾何圖形的直觀出發(fā)，在勾股圓方圖注中，列出了關(guān)于直角三角形三邊關(guān)系和由此引申的一系列命題和結(jié)論。公元724年唐朝數(shù)學(xué)家張一行，對方程采用了公式來求解。公元3世紀(jì)，楊輝又分別使用了公式和求和的根。中國人發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及求根公式的運(yùn)用比法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)要早1000多年。外國對二次方程的研究要遠(yuǎn)落后于中國，埃及人和巴比倫人都嘗試過解形如的二次方程。亞歷山大時(shí)代的希臘數(shù)學(xué)家赫龍對這種二次方程作了一般性的處理。將這種二次方程以作為最一般的形式加以研究討論是印度數(shù)學(xué)家阿里阿巴他、布拉馬格普他和

4、巴斯卡，當(dāng)時(shí)他們都了解正數(shù)和負(fù)數(shù)，也懂得正數(shù)有兩個(gè)平方根，所以二次方程有兩個(gè)根。公元前2世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家海倫用配方法解出了的解，因?yàn)楹悰]有負(fù)數(shù)的概念，所以他得出的也只是一個(gè)正根。公元7世紀(jì)，印度天文學(xué)家婆羅摩籍多給出了與海倫類似的公式。公元9世紀(jì)，中亞細(xì)亞的烏茲別克人阿爾.花喇子模在他的名著代數(shù)里羅列了各種類型的二次方程的解法，但這些解法都任是幾何的，其實(shí)質(zhì)和中國的出入相補(bǔ)原理相似，但是他有另一個(gè)重要的貢獻(xiàn)就是他提出了“移項(xiàng)”，“合并同類項(xiàng)”的方法，這不僅使方程變形容易的多而且還可以用過移項(xiàng)使方程的負(fù)數(shù)項(xiàng)變?yōu)檎禂?shù)項(xiàng)，能求含有負(fù)系數(shù)項(xiàng)的二次方程的根。公元12世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅在婆羅摩籍

5、多的基礎(chǔ)上發(fā)展了她的成就：一是把婆羅摩籍多的公式給出了完整而又清楚的表述;二是給出了求根公式；三是確認(rèn)二次方程有兩個(gè)根，承認(rèn)了復(fù)根的存在。一元高次方程的發(fā)展 1799年，年僅22歲的德國數(shù)學(xué)家高斯在他的博士論文中首先證明了“代數(shù)基本定理”：復(fù)數(shù)域上任一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式，至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根。 根據(jù)代數(shù)基本定理可以推出：復(fù)數(shù)域上次多項(xiàng)式恰有個(gè)復(fù)數(shù)根，其中重根以個(gè)根計(jì)算。這一結(jié)論也可以用多項(xiàng)式的因式分解語言來敘述：“復(fù)數(shù)域上任何次多項(xiàng)式都可以分解成個(gè)一次式的乘積?！?代數(shù)基本定理是一個(gè)純粹的多項(xiàng)式根的存在定理，它沒有給出求根的具體方法 三次以及高于三次的方程是否有根式解？也就是說，是否有求根公式？

6、經(jīng)過漫長的研究之路，直到16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡當(dāng)（Candano）及其助手才先后給出了三次和四次方程的根式解。不失一般性，可以設(shè)三次方程中的系數(shù)為1，則三次方程為 其中是任意復(fù)數(shù)。若令，則三次方程簡化為 其中， 設(shè)表示簡化方程 的根，則據(jù)根與方程系數(shù)的關(guān)系，得。 若令，。對于適當(dāng)確定的立方根，卡當(dāng)公式是，求解線性方程組，得到，于是，原三次方程的三個(gè)根為，。其中，（是虛數(shù)單位）。 對于四次方程求根，就更加復(fù)雜了。但數(shù)學(xué)家們還是找到了一個(gè)解四次方程的辦法。與三次情形類似，用一個(gè)平移，消去方程的這一項(xiàng)，于是可假定四次方程為 然后構(gòu)造方程的預(yù)解式 這是的三次方程。通過這個(gè)三次方程解出，把得到的代入，

7、可以把原方程化為兩個(gè)二次方程來求根。因而可以說，對于次數(shù)不超過4的方程，都可以找到根的計(jì)算公式，使得方程的每個(gè)根可以用方程的系數(shù)經(jīng)過加減乘除和開方運(yùn)算表示出來。做這件事就叫做根式求解。 由四次方程根式可解的突破，使當(dāng)時(shí)許多著名的數(shù)學(xué)家?guī)缀醵枷嘈湃我獾奈宕畏匠桃惨欢梢愿角蠼猓⒁詷O大的熱情和自信尋找五次或更高次數(shù)方程的求根公式。從16世紀(jì)中葉到19世紀(jì)初，為了獲得五次方程解的類似結(jié)果，最杰出的數(shù)學(xué)家，如歐拉、拉格朗日，都曾做過一些嘗度，但都沒有成功。1771年，拉格朗日，才開始懷疑這種求根公式的存在性。他通過分析發(fā)現(xiàn)，次數(shù)低于5的代數(shù)方程求根，都可以經(jīng)過變量替換，先解一個(gè)次數(shù)較低的預(yù)解式，再

8、代入求原方程的解。到了五次方程，情況完全變了，預(yù)解式的次數(shù)不是降低了，而是升高了。1801年，高斯也意識(shí)到這個(gè)問題也許是不能解決的。直到1813年，拉格朗日的學(xué)生魯非尼（Ruffini）終于證明了，通過找預(yù)解式的辦法來求解五次方程是行不通的。魯非尼的結(jié)果只是說用拉格朗日的辦法解五次方程是不可能的，并不能說不存在其他的解決辦法。1826年阿貝爾發(fā)表了五次方程代數(shù)解法不可能存在一文，第一個(gè)正式從否定的角度來談求根公式的存在。他證明了“具有未定系數(shù)的、高于4次的方程是不能用根式求解的”。不過他的思想當(dāng)時(shí)是有很多人（包括高斯在內(nèi)）表示不理解，而且他的證明也還不很清楚，有一些漏洞。他也沒有給出一個(gè)準(zhǔn)則來

9、判定一個(gè)給定的高次代數(shù)方程是否可以根式求解。阿貝爾的結(jié)論具有廣泛性，但并不排除對一些特殊的5次和5次以上方程具有根式解，例如，就有根式解。于是更深刻的問題被提出了：一個(gè)方程有根式解的充要條件是什么？這個(gè)在代數(shù)方程中至關(guān)重要的問題被法國青年數(shù)學(xué)家伽羅華（Galois）徹底解決（但伽羅華理論在他死后約15年，1846年才發(fā)表）。伽羅華的思想就是把方程的求解問題轉(zhuǎn)化為確定對應(yīng)的伽羅華群是否為所謂的可解群的問題。當(dāng)對應(yīng)的伽羅華群是可解群，則方程就是可以根式求解的，否則就不可以根式求解?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】1英克萊因著,古今數(shù)學(xué)思想 M中譯本第1,第一版，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2002.82 英克萊因著,古今數(shù)學(xué)思想 M中譯本第2,第一版，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2002.83 英克萊因著,古今數(shù)學(xué)思想 M中譯本第3,第一版，上海科學(xué)技術(shù)出版社，2002.84楊世明主編，中國初等數(shù)學(xué)研究文集，M河南：河南教育出版社，1992.65中學(xué)數(shù)學(xué)教師手冊編寫組編，中學(xué)數(shù)學(xué)教師手冊M上海：上海教育出版社，1986.56 路見可，復(fù)變函數(shù),