強(qiáng)化班余紅兵

1、10.1 強(qiáng)化班講稿余紅兵1. 設(shè)a,b為有理數(shù),a5+b=2ab.證明:1-ab522 為有理數(shù)的平方.2. 平面上存在三個(gè)點(diǎn),使得平面上任意一點(diǎn)到這三點(diǎn)的距離中,至少有一個(gè)是無理數(shù).3. 設(shè)x1,x2, ,xn為任意實(shí)數(shù).求證:存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得x-x1+x-x2+ +x-xn n-12.這里,y表示實(shí)數(shù)y的小數(shù)部分,即y=y-y.4. 設(shè)f(n):N®N,已知對(duì)任意正整數(shù)n*,有不等式2 f(n)-qn<qq,其中=證明:f(f(n)=f(n)+n對(duì)所有正整數(shù)n成立.5. 將1,2, ,2n任意分成兩組數(shù): a1<a2< <an,b1>b2>

2、; >bn.求證:a1-b1+a2-b2+ +an-bn=n. 26. 設(shè)f:R®R,對(duì)任意x,yÎR有f(xy)+f(x-y)?f(xy).證明:對(duì)任意x有f(x)³0.7. 圓周上寫著紅、藍(lán)兩色數(shù),每個(gè)紅色數(shù)等于兩個(gè)相鄰數(shù)之和,每個(gè)藍(lán)色數(shù)等于兩相鄰數(shù)和的一半.證明:所有紅色數(shù)的和為零.8. 試確定:對(duì)n³2,能否在n´n方格表的每一格中填一個(gè)正整數(shù),這些整數(shù)互不相同,且每一行、每一列格子中的數(shù)之和均為2的方冪.9. 一個(gè)2n´2n數(shù)表中,每格填了0或者1,其中共有3n個(gè)0.證明:可刪去n行和n列,使得剩下的格子中的數(shù)均是1.

3、10. 將正整數(shù)集合分為無窮多個(gè)子集A1,A2, 的并.其中,每個(gè)A1,A2, 均含有無窮多個(gè)元素,并且AiAj= ,對(duì)任意i¹j成立.余紅兵上課語錄（看完后豁然開朗?。。?. “如果你來這兒就是為了一等獎(jiǎng)，請(qǐng)滾蛋！如果你來這兒是為了進(jìn)冬令營，也請(qǐng)滾蛋！來這里，你是要提高你自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。為什么大學(xué)重視數(shù)學(xué)好的人，因?yàn)樗麄儽徽J(rèn)為擁有更高的思維檔次?！弊ⅲ罕е活w功利的心去學(xué)，很少有人能攀至高峰；即使真的到了峰頂，上了大學(xué)之后，對(duì)自己的專長沒有興趣，在其它的學(xué)科又不夠擅長，依然會(huì)相當(dāng)痛苦。2. “比起高斯，你微不足道；比起數(shù)學(xué)，高斯也微不足道。數(shù)學(xué)這玩意，太博大精深了，懂不懂?。俊?注

4、：不要覺得自己做出了一些小成績，就是數(shù)學(xué)高手。在數(shù)學(xué)里，沒有高手，只有扶手。每一個(gè)問題既要縱向（想得透徹），也要橫向（廣開題路），因?yàn)閿?shù)學(xué)的很多領(lǐng)域是相通的，很多問題是多解的。3. “學(xué)生上課睡覺我非常厭惡，但吃東西我不反對(duì)，例如早餐什么的。但不是讓你上課時(shí)拿出一瓶酒來?！弊ⅲ涸诟傎愔?，態(tài)度非常重要。不管從前的根基多么好，高中驕傲自滿、吊兒郎當(dāng)三年之后，一定落后于人。4. “九幾年的時(shí)候他好像拿過一次 IMO 金牌，現(xiàn)在嘛，應(yīng)該還活著。” 注：在競賽成績中斬獲頗豐，并不等價(jià)于真正得益很大。對(duì)數(shù)學(xué)有興趣、熱情、耐心的人，不管他在數(shù)學(xué)競賽層次中走多遠(yuǎn)，他的實(shí)際收益總是最大的。5. “當(dāng)叫我們干什么

5、我們就干什么，所以中國沒有諾貝爾獲得者?！弊ⅲ翰灰心嘤诶蠋煹娜蝿?wù)安排。自己給自己有計(jì)劃的學(xué)習(xí)，附以最大的熱情，才能有滿意的收獲。6. “寫解答的時(shí)候少用我，而用我們。你寫我們來證明某個(gè)玩意，實(shí)際上就是你要證明它，只是恭敬一些。別動(dòng)不動(dòng)就下面，請(qǐng)看我的結(jié)論?！弊ⅲ涸诖蠹颐媲?、在數(shù)學(xué)面前，最好低調(diào)一點(diǎn)。謙虛嚴(yán)謹(jǐn)，是科學(xué)論文里很重要的素養(yǎng)。7. “ “得有攻擊性。如果把你困在一個(gè)房間里，你會(huì)怎么做呢？如果只有當(dāng)人把門打開的時(shí)候才會(huì)乖乖地出去，那是豬；如果死命地撞門撞墻期望逃生，那是牛；而人呢，則四周瞅瞅，哦，發(fā)現(xiàn)這里有一塊墻是虛的，便拿起鐵鍬在這兒一敲，就造出一個(gè)出口。 “遇到難題別立馬退縮，要看

6、看手頭上還有什么。就好比你揣著二十塊錢到商店買東西，突然發(fā)現(xiàn)東西是二十一塊，這時(shí)你是什么反應(yīng)？不會(huì)掉頭就開溜吧？不一定會(huì)重新數(shù)一遍，看看到底是不是二十塊，也許數(shù)著數(shù)著就多一塊；或者翻一翻上衣口袋，看看有沒有剩余；或者瞄一瞄錢包，看看有沒有意外的硬幣；實(shí)在不行了，還會(huì)四處張望一下，看周圍有沒有熟人能借一塊錢?！蹦呐聼o目標(biāo)的進(jìn)攻，也可能有意外的收獲。這句話的重點(diǎn)不在于“無目標(biāo)”，而在于“進(jìn)攻”因?yàn)檫M(jìn)攻有助于整體把握一個(gè)問題，以致于新一輪的進(jìn)攻變得更有目標(biāo)。8. “要將最一般、最本質(zhì)、最簡練的形式揭示出來。明明這個(gè)形式最簡單，你卻偏在這里加個(gè) 3，那里乘個(gè)根號(hào) 2，那是神經(jīng)病。要是有個(gè)家伙出不等式題

7、，不等號(hào)右邊搞一個(gè)奇形怪狀的無理數(shù)，左邊的變量范圍又復(fù)雜得一塌糊涂，那人也是個(gè)神經(jīng)病。 “思考一個(gè)東西多想想它的來源是什么，這個(gè)長相意味著什么，因?yàn)橐粋€(gè)東西的長相就意味著東西。多從本質(zhì)的地方考慮。就好比你是個(gè)罪犯，我要全方位調(diào)查你，肯定要從你家鄉(xiāng)開始調(diào)查，小時(shí)候什么作風(fēng)，都跟些什么人在一些玩，有沒有什么前科，這些我都要知道，懂不懂?。?“做一個(gè)問題別老逼著自己一定要立即非常接近結(jié)果，別總把它當(dāng)成一個(gè)題目做。要學(xué)會(huì)退一步想東西。就像你踢足球，不是離球門越近就越容易攻門??；你把球帶到底線你想干嘛呢？“唉呀你們這些學(xué)的都是什么歪門邪道??？上來不考慮最本質(zhì)的東西，原本是很簡單的問題，你非要這么搞它。就

8、像我本來只是小感冒，跑醫(yī)生那兒看病，他啥也不問就馬上開刀，這不是神經(jīng)病嗎？你們這些人以后要是做醫(yī)生肯定是黑醫(yī)生。得先切切脈，看看氣色，才能判斷出問題有多嚴(yán)重，需不需要吃藥，需不需要開刀，懂不懂?。俊弊ⅲ嚎匆粋€(gè)問題，別只看到表象。或許它只是羊，卻披了張狼皮。常常思考一下，這個(gè)地方能不能推廣，這個(gè)地方能不能加強(qiáng)，退一步看這個(gè)問題究竟是什么本質(zhì)，進(jìn)一步看這個(gè)問題能夠有什么應(yīng)用。這對(duì)思維能力有極大的好處。9. “數(shù)論這玩意你得小心，盡管有時(shí)給它來個(gè)加強(qiáng)命題可能更好處理，但這個(gè)度很難把握。如果隨便把一個(gè)本來很簡單的小題目加強(qiáng)一下，說不定你就不小心把它加強(qiáng)成一個(gè)著名的超級(jí)難題，這時(shí)候你要把它當(dāng)練習(xí)做，還真

9、需要些非凡勇氣。要記住，數(shù)論問題稍稍邁多一步，就是萬丈深淵。 “別妄想一步成功，別指望把這個(gè)問題一眼望到底，要在探索中等待時(shí)機(jī)，步步為營。就好比一只猩猩看見天花板上掛著一串香蕉，它會(huì)就近爬上某張桌上，從桌上跳起來摘，跳了幾下夠不著時(shí)，哎，它就聰明了，它暫時(shí)不跳了，等待時(shí)機(jī)。工作人員一來，它就找準(zhǔn)機(jī)會(huì)跳到工作人員的肩上，再一蹦把香蕉摘下來。猩猩那就叫聰明，換成公雞就不會(huì)這么做?！?注：隨意地加強(qiáng)命題和妄想一步成功，都是畏難的隱含表現(xiàn)。只有“步步為營”，一步一個(gè)腳印，才能成功，這也鍛煉人的韌性。10. “現(xiàn)在隨便找一個(gè)小學(xué)一年級(jí)的學(xué)生，都知道從 1 加到 100 應(yīng)該怎么算，他們都是高斯？高斯的方

10、法我現(xiàn)在也不懂，你們誰懂，隨便出個(gè)題，就把你們?nèi)闼溃?“怎么證 1/1+1/4+1/9+1/16+.<2，這個(gè)是極難的，什么，你懂？馬上就出個(gè)題把你給搞死！” 注：不僅題目是不能靠死記來吸收，而且方法也不能靠硬背來掌握。往往你覺得某個(gè)題用某個(gè)方法很簡單，但其實(shí)這個(gè)題用這個(gè)方法是別人告訴你的；你知道了，當(dāng)然覺得簡單。一個(gè)方法，在不同的問題中，常有不同的表現(xiàn)形式，而且運(yùn)用這個(gè)方法的時(shí)機(jī)要掌握好。所以，要真正掌握一個(gè)方法，要考慮這個(gè)方法本質(zhì)上意味著什么，它能帶來什么作用。11. “對(duì)是對(duì)，只是 Delta 前面少了“判別式”三個(gè)字。Delta 只是一個(gè)符號(hào)，它還可以表示 #$%&*誰

11、知道你指的是判別式（一堆例子）。 “這就好比我在心中給你取了個(gè)綽號(hào)叫胡鬧，然后我突然就對(duì)著你叫胡鬧，周圍的人都肯定迷迷糊糊不知道我在說什么?！?注：書寫一個(gè)問題的解答，或者向別人解釋一個(gè)問題，一定要站在對(duì)方的角度上，該說明的地方一定要說明清楚。向別人解釋一個(gè)問題時(shí)，尤其忌諱用代詞?！八鼘儆谒鼈冎弧?，稀里糊涂，誰知道它是誰？它們又是誰？把問題解釋清楚，不僅能保住因書寫漏洞而容易丟失的分，更重要的是能提高數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，因此相當(dāng)關(guān)鍵。12. “如果你在兩個(gè)月把這個(gè)問題給想通了，那么你是值得贊揚(yáng)的。 “如果你在兩年以后還能回憶起這個(gè)問題是怎么做的，說明你才真正理解了這個(gè)問題的動(dòng)機(jī)。 “你這不是在

12、看書，是在校稿！看解答有什么用，看一萬道題也沒用，哦，這一步是對(duì)的，哦，這一步是沒問題的，所以這題就是這么做的，可你體會(huì)了這么做的動(dòng)機(jī)了嗎？ “我的一個(gè)朋友送給了我一本很厚的書，我翻了翻就覺得這本書全都是題目和解答，實(shí)在毫無用處。那個(gè)朋友還很好心的想送我這套書里的其他幾本，被我婉言謝絕了。之后我就把這本書從窗口扔了出去。書架很貴，不能用來放垃圾?！?注：做一個(gè)題目，動(dòng)機(jī)非常重要。知其然，不知其所以然，是大多古代私塾的典型教育模式，也是任何學(xué)習(xí)中的最大障礙，因?yàn)榧壤速M(fèi)了時(shí)間，又沒有任何收獲。記住了再多的題目解答，如果不明白這些解答的動(dòng)機(jī)，很快就會(huì)忘記。動(dòng)機(jī)常常要自己琢磨，加上書上的引導(dǎo)。如果自己

13、在這方面有所欠缺，那么選擇好書就尤為重要。能深入剖析解答動(dòng)機(jī)的書是非常優(yōu)秀的，例如奧數(shù)教程（高三分冊(cè)）。而題典一類的書只能說，大多是垃圾，無論里面選的題有多好，僅供觀賞。13. “” 注：沒什么說的，遞推非常重要。遞推本質(zhì)上是歸納，無窮遞降法本質(zhì)上也是歸納。所以，歸根結(jié)底，歸納極為重要。其余的話不要覺得數(shù)學(xué)一等獎(jiǎng)保送是件容易的事；而且單單拿到一等獎(jiǎng)，保送情況仍然不容樂觀，除非自己的其余科目也不落后?？傊?，若想借助保送機(jī)會(huì)來使自己中學(xué)能夠松懈下來，一定會(huì)吃苦頭。初中的兩大關(guān)鍵是代數(shù)和組合，它們都是為了高中作準(zhǔn)備。代數(shù)如果不好，硬功夫就會(huì)欠缺；組合如果不好，靈活性就會(huì)不夠。這兩方面是相輔相成的。 書寫必須注意。草稿方面，最好分欄，總之要整潔，不要橫七豎八，否則當(dāng)一個(gè)問題的思路卡住的時(shí)候，退到上一步就顯得非常