淺述電四極矩的物理圖象

1、淺述電四極矩的物理圖象姜云梅（玉溪師范學(xué)院物理與教育技術(shù)系 04級物理2班 云南 玉溪 653100）指導(dǎo)教師 ：陳洛恩摘要：本文比較了電四極矩的兩種定義，討論了電四極矩的特點及應(yīng)用兩種定義求解電勢的異同，并使用Flash直觀形象的呈現(xiàn)電四極矩的物理圖象。關(guān)鍵詞：電勢；多極展開；電多極矩；電四極矩；Flash1.引言求解靜電場的方法是引入電勢，電勢的求解是一個經(jīng)典問題1。解法較多，諸如分離變量法、電象法、格林函數(shù)法、有限差分法、電勢多極展開法等等2。 用電勢多極展開法求解電勢時，電勢的多極展開式中，出現(xiàn)了包括電單極子在內(nèi)的電多極子。這些電多極子是數(shù)學(xué)推演的結(jié)果，而非真實存在。原本是一定空間范圍

2、內(nèi)的電荷系統(tǒng)(體系)在遠(yuǎn)處所激發(fā)(產(chǎn)生)的電勢，卻被想象中的電多極子激發(fā)同樣電勢所取代，對此，許多教材只言“等效”而不涉及等效的模型或物理圖象。Constantino Grosse 對電勢的多極展開進(jìn)行了分析研究3。 蘭州師范高等?？茖W(xué)校的蔣德翰給出了電勢多極展開的物理圖象4。在用電勢的多極展開法解決實際問題時，經(jīng)常會遇到電荷集中在一個小區(qū)域內(nèi)的情況。在處理這種問題時，作為初級近似，我們可以把原來的電荷體系集中起來看作是一個點電荷，但當(dāng)體系的總電荷為零，或考慮某些進(jìn)一步的效應(yīng)需要更高的精確度時，就必須考慮到體系的電偶極矩，同樣在體系的電偶極矩為零,或需要更高的精確度時，就要引入電四極

3、矩或更高的極矩。當(dāng)然,在引入更高極矩的同時，給計算帶來了很大的麻煩，傳統(tǒng)的電動力學(xué)求解方法比較困難。所以, 衡陽師范學(xué)院物理與電子信息科學(xué)系的陳秋成嘗試?yán)脭?shù)學(xué)物理方法的理論來求解，即用分離變量法求出電多極子所滿足的拉普拉斯方程,導(dǎo)出勒讓德多項式,從而解出電多極子所處的電場的電勢5。青島建筑工程學(xué)院基礎(chǔ)課教學(xué)二部的孫瑛，又做了進(jìn)一步的工作，將電勢的多極展開式與用分離變量法解拉普拉斯方程所得的通解進(jìn)行比較，得出通解中各項的物理意義，加深了對電多極子的場的理解6。在普通物理中，電勢的多極展開法不便使用。因此，程稼夫給出了電多極矩矢勢的微商法及這種方法的應(yīng)用7。內(nèi)蒙古師范大學(xué)物理系的徐守淳，對一些教

4、科書中計算電四極子電勢的習(xí)題答案中出現(xiàn)的錯誤作了分析和討論，并給出一種計算任意電四極子的電勢的簡化方法，使電四極矩的概念更容易被學(xué)生接受和理解8。隨著科技的發(fā)展,電多極子的影響在科研前沿領(lǐng)域得到了發(fā)展5。尤其是電四極矩，不僅可以用來求解電荷體系在遠(yuǎn)處的電勢，還可以將其應(yīng)用到原子核物理中。因此，對電四極矩的理解和掌握就更重要了，但電四極矩的內(nèi)容比較復(fù)雜、抽象，尤其是電四極矩的物理意義、特點和物理圖象。所以，本人針對這一問題，通過查找資料、綜合分析、歸納概括等方法，整理出電四極矩的定義、物理意義、特點和物理圖象，并使用Flash動畫直觀、形象的呈現(xiàn)電四極矩的物理圖象，希望使電四極矩的理解和掌握更簡

5、單一些。本文包括四部分內(nèi)容：第一部分描述了電勢的多極展開（電四極矩的來源）；第二部分給出了電四極矩的兩種定義及特點；第三部分是電四極矩的物理圖景和電四極矩的應(yīng)用舉例，第四部分將Flash動畫呈現(xiàn)的物理圖景應(yīng)用于教學(xué)，并分析其對教學(xué)的促進(jìn)作用。2.電勢的多極展開對于局限在一小區(qū)域內(nèi)任意分布的電荷所激發(fā)的電場，電荷密度和電荷分布的區(qū)域的形狀都是任意的，它的電勢該如何求解呢？2.1.小區(qū)域的電荷分布的電勢的多極展開根據(jù)文獻(xiàn)19，真空中給定電荷密度的電荷激發(fā)的電勢PVzxyo圖1 小區(qū)域電荷分布 （1）式中體積分遍及電荷分布區(qū)域，為場點到源點的距離。在許多物理問題中，電荷只分布于一個小區(qū)域內(nèi)，而需要求

6、電場強(qiáng)度的地點距離電荷分布區(qū)域比較遠(yuǎn),即在(1)式中，遠(yuǎn)大于區(qū)域的線度。所以，我們只需要將(1)式表示為的展開式，由此得出各極子電勢的近似值9。即： （2）令 (3) (4) (5)故(2)式可寫為1: （6）（6）式是電荷體系激發(fā)的電勢在遠(yuǎn)處的多極展開式。現(xiàn)討論展開式的各項的物理意義：展開式的第一項 (7)等效于在坐標(biāo)原點的點電荷產(chǎn)生的電勢。因此，小電荷體系在電荷分布區(qū)外產(chǎn)生的電勢，在零級近似下可視為將電荷集中于原點處產(chǎn)生的電勢。展開式的第二項 (8)等效于體系總電偶極矩集中于原點處，對場點產(chǎn)生的勢，它作為體系在觀察點的勢的一級近似。 展開式的第三項 (9)等效于體系總電四極矩集中于原點處，

7、對場點產(chǎn)生的勢，它作為體系在觀察點的勢的二級近似。 綜上所述：一個小區(qū)域內(nèi)連續(xù)分布的電荷在遠(yuǎn)處激發(fā)的場，等于一系列多極子在遠(yuǎn)處激發(fā)的場的迭加10。 由上述描述可知，電勢的多極展開內(nèi)容抽象、復(fù)雜，學(xué)生較難理解。因此，考慮在教學(xué)中引入Flash動畫，以求直觀、形象地呈現(xiàn)。3.電四極矩的兩種定義及特點 電四極矩有兩種定義，兩種定義的物理意義各不相同，此外，電四極矩還具有其獨特的特點。3.1.電四極矩的定義一電四極矩在電勢展開的第三項，是一個張量11。定義張量為體系的電四極矩。電四極矩也可以用并矢形式寫為 （10）圖2 電四極矩的六個分量電四極矩張量是對稱張量，它有6個分量：， ，1。其物理圖象用Fl

8、ash動畫呈現(xiàn)較直觀，如圖： 電四極矩的第一個定義是直接從電勢的多極展開式中提出的，每個分量都具有較明顯的物理意義。表示分布在軸上的電荷體系對電四極矩的貢獻(xiàn)，表示分布在軸上的電荷體系對電四極矩的貢獻(xiàn)，表示分布在軸上的電荷體系對電四極矩的貢獻(xiàn)，表示分布在平面上的電荷體系對電四極矩的貢獻(xiàn)，表示分布在平面上的電荷體系對電四極矩的貢獻(xiàn)， 表示分布在平面上的電荷體系對電四極矩的貢獻(xiàn)12。如圖3所示，軸上一對正電荷和一對負(fù)電荷組成的體系，可視為一對電偶極子+和-組成。設(shè)正、負(fù)電荷分別位于與，它的電四極矩由（5）式算出其中，是其中一對電荷的電偶極矩，是兩個電偶極子中心的距離。這電荷體系產(chǎn)生的電勢是一對反向電

9、偶極子所產(chǎn)生的電勢1。圖3 軸上一對正負(fù)電荷組成的電四極矩 3.2.電四極矩的定義二電四極矩有6個分量，但是只有5個分量是獨立的?，F(xiàn)證明如下：當(dāng)時，有 (11)引入符號，定義為 （12）則（11）式可寫為 （13）則可寫為 （14）我們重新定義電四極矩張量 （15）則仍可寫為 （16）（15）式定義的電四極矩張量滿足關(guān)系 （17）由此可見電四極矩只有5個獨立分量。以后我們將沿用電四極矩的定義二 此式用并矢形式寫為 （18）其中為單位張量10。電四極矩的第二個定義是考慮到恒成立的特點來定義的，由于，使變量的個數(shù)在第一個定義的基礎(chǔ)上減少一個，但、 分量沒有第一個定義中的明顯的物理意義12。3.3.

10、電四極矩的特點電四極矩具有以下特點：（1）電四極矩是一個對稱張量1。（2）電四極矩只有五個分量是獨立分量1。（3）具有球?qū)ΨQ分布的電荷體系的電四極矩為零1。反之，若電荷分布偏離球?qū)ΨQ性，一般就會出現(xiàn)電四極矩13。電四極矩的出現(xiàn)標(biāo)志著對球?qū)ΨQ的偏離，因此我們測量遠(yuǎn)場的四極勢項，就可以對電荷分布形狀作出一定的推論。（4）一般情況下，電四極矩與原點選取有關(guān)9。任何電荷分布的最低階非零的電多極矩才與原點的選擇無關(guān)，而更高階的電多極矩有賴于原點的位置14。4. 電四極矩的物理圖景通過對電四極矩的兩種定義的比較及對電四極矩的特點的討論，可知電四極矩的應(yīng)用非常廣泛。4.1.利用電四極矩求解電荷體系在遠(yuǎn)處的電

11、勢電四極子是兩個大小相等、方向相反，并有一微小距離的電偶極子的復(fù)合體，可用電四極矩求解其在遠(yuǎn)處的電勢2。上述是用電四極矩來求簡單電荷體系的電勢。當(dāng)然，我們也可用來求復(fù)雜體系的電勢2。以求解均勻帶電的長形旋轉(zhuǎn)橢球體的電四極矩和電勢為例，利用電四極矩的兩種定義求解電四極矩和電勢。均勻帶電的長形旋轉(zhuǎn)橢球體，半長軸為，半短軸為，總電荷，求它的電四極矩和遠(yuǎn)處的勢1。首先，可以用電四極矩的第一個定義求解。取Z軸為旋轉(zhuǎn)軸，橢球方程為， 電荷密度，電四極矩的定義一為由對稱性得（19）所以， （20）令，由對稱性得（21）（22）所以， （23） （24）電四極矩產(chǎn)生的電勢為（25）我們還可以用電四極矩的第二個

12、定義求解。取Z軸為旋轉(zhuǎn)軸，橢球方程為，電荷密度，電四極矩的定義二為由對稱性得所以， （26） 令，由對稱性得因此， （27） （28）電四極矩產(chǎn)生的電勢為 （29）通過使用兩種定義求解橢球體的電四極矩和電勢，可以發(fā)現(xiàn)：學(xué)生可以根據(jù)電四極矩的定義來進(jìn)行求解，但解出的電四極矩、電勢的具體的物理圖象如何學(xué)生卻很難理解，因此我們可以用Flash動畫來直觀、形象地呈現(xiàn)，并且可以方便的對用兩種定義解出的電四極矩、電勢進(jìn)行比較。在Flash動畫中，呈現(xiàn)并比較了使用兩種定義求解橢球體的電四極矩的異同。從Flash動畫中可見：半長軸為，半短軸為，總電荷，均勻帶電的長形旋轉(zhuǎn)橢球體的電四極矩只有三個分量，利用定義一

13、求解時用，表示，利用定義二求解時用，表示。（1）利用定義一求解時，為軸上一對正電荷和一對負(fù)電荷組成的體系，它可視為一對電偶極子+和-組成。正、負(fù)電荷分別位于與,由（23）式得（30）其中是其中一對電荷的電偶極矩，是兩個電偶極子中心的距離。利用定義二求解時，為軸上一對正電荷和一對負(fù)電荷組成的體系，它可視為一對電偶極子+和-組成。正、負(fù)電荷分別位于與,由（28）式得（31）圖4 和的物理圖象其中是其中一對電荷的電偶極矩，是兩個電偶極子中心的距離。 （2）利用定義一求解時，為軸上一對正電荷和一對負(fù)電荷組成的體系，它可視為一對電偶極子+和-組成。正、負(fù)電荷分別位于與,由（23）式得（32）其中是其中一

14、對電荷的電偶極矩，是兩個電偶極子中心的距離。利用定義二求解時，為軸上一對正電荷和一對負(fù)電荷組成的體系，它可視為一對電偶極子+和-組成。正、負(fù)電荷分別位于與,由（28）式得（33）其中是其中一對電荷的電偶極矩，是兩個電偶極子中心的距離。圖5 和的物理圖象（3）利用定義一求解時，為軸上一對正電荷和一對負(fù)電荷組成的體系，它可視為一對電偶極子+和-組成。正、負(fù)電荷分別位于與,由（24）式得（34）其中是其中一對電荷的電偶極矩，是兩個電偶極子中心的距離。利用定義二求解時，為軸上一對正電荷和一對負(fù)電荷組成的體系，它可視為一對電偶極子+和-組成。正、負(fù)電荷分別位于與,由（27）式得 （35） 其中是其中一對

15、電荷的電偶極矩，是兩個電偶極子中心的距離 。圖6 和的物理圖象（4）用定義一解得電四極矩產(chǎn)生的電勢等于，用定義二解得電四極矩產(chǎn)生的電勢也等于。圖7 兩種解法得出的橢球體的電勢橢球體的總電荷為Q，電荷分布對于原點對稱，因此電偶極矩為零15，則體系在遠(yuǎn)處的總電勢準(zhǔn)確至四極項，等價于電單極矩和為電四極矩產(chǎn)生的電勢 （36）由此可知：對于同一個問題用不同的定義方法求出的電四極矩雖然不同，但它們產(chǎn)生的勢卻是相同的。即和的形式和意義是不同的，在空間產(chǎn)生的勢是相同的。在實際問題中視情況可采用不同的方式求解不會影響結(jié)果12。在原子核物理中，電四極矩是表征原子核性質(zhì)的重要物理量16。它反映著原子核變的大小。通常

16、情況下，可以把原子核內(nèi)電荷近似看作均勻分布。由于它有自旋，又可以把它看成是以自旋方向為軸的軸對稱系統(tǒng)，原子核的電四極矩只有一個獨立的分量， （40）如果原子核的表面方程為：，則電四極矩。所以，當(dāng)時，原子核為球形；當(dāng)時，原子核為長旋轉(zhuǎn)橢球形；當(dāng)時，原子核為扁旋轉(zhuǎn)橢球形17 。電四極矩在原子核物理中有非常重要的作用，如電四極矩對固體的核磁反應(yīng)吸收的作用18，還有利用原子核的電四極矩，從電四極矩超精細(xì)分裂分子旋轉(zhuǎn)的光譜和其他光譜技術(shù)，可以測量溴的超精細(xì)分裂原子譜線13。5.對電四極矩教學(xué)的促進(jìn)作用在電四極矩的教學(xué)中，有一些內(nèi)容比較抽象、復(fù)雜，諸如電四極矩的定義、物理意義、物理圖象。學(xué)生根據(jù)課本的介紹

17、，了解了電四極矩的定義，但由于知識的抽象性和復(fù)雜性，學(xué)生的理解和掌握都還比較膚淺，很難掌握電四極矩的物理意義，尤其是物理圖象。Flash動畫將這些內(nèi)容都直觀、形象地呈現(xiàn)了出來。電四極矩的六個分量一一呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，通過一些講解，學(xué)生很容易就能掌握了。橢球體的例子中，將兩種方法解出的橢球體的電四極矩先分別呈現(xiàn)，學(xué)生不僅掌握了電勢多極展開法求解電四極矩和電勢，還掌握了具體的物理圖象和物理意義。將兩種解法的電四極矩和電勢的圖象進(jìn)行比較，直觀的把它們的不同之處展現(xiàn)出來，讓學(xué)生清楚的看到。而不像傳統(tǒng)的教學(xué)那樣，只是說不同而無法將不同之處呈現(xiàn)?？梢?，F(xiàn)lash動畫可以促進(jìn)電四極矩教學(xué)，我們可以具體的從以下

18、三方面來看：從建構(gòu)主義大的角度看。建構(gòu)主義認(rèn)為，知識是意義建構(gòu)的結(jié)果而學(xué)習(xí)是意義建構(gòu)的過程，教師的任務(wù)就是努力創(chuàng)造一個適宜學(xué)習(xí)的環(huán)境使學(xué)習(xí)者能積極主動地建構(gòu)他們的知識19。因此，在電四極矩的教學(xué)中，引入Flash動畫，將學(xué)生難以理解和想象的物理圖景以Flash動畫的形式呈現(xiàn)，打造建構(gòu)主義學(xué)習(xí)情境，充分發(fā)揮學(xué)生的主動性、積極性和首創(chuàng)精神，最終達(dá)到使學(xué)生有效地實現(xiàn)對當(dāng)前新學(xué)知識的意義建構(gòu)的目的。從創(chuàng)新的角度看。要培養(yǎng)具有創(chuàng)新意識、創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力的人才，教育本身要創(chuàng)新，教師更要具有創(chuàng)新意識、創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力20。因此，教師要善于創(chuàng)設(shè)激發(fā)學(xué)生求知欲的學(xué)習(xí)環(huán)境。在電多極矩的教學(xué)中引入Flash動畫

19、，就是創(chuàng)新教學(xué)的一個嘗試，希望以形象，直觀、生動的Flash動畫，創(chuàng)設(shè)激發(fā)學(xué)生求知欲和興趣的學(xué)習(xí)環(huán)境，以教學(xué)方法上的創(chuàng)新來激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。從多媒體輔助教學(xué)的角度看。將Flash動畫引入課堂輔助教學(xué)，創(chuàng)設(shè)情景，建立物理模型，有利于降低教材難度。設(shè)計合理的教學(xué)課件，能化抽象為形象，變靜態(tài)為動態(tài)，變微觀為宏觀，把復(fù)雜的物理過程條理化、清晰化、動態(tài)化，幫助學(xué)生對知識的理解和掌握，提高課堂教學(xué)的效率和質(zhì)量，利于突破教學(xué)難點和重點。在課堂教學(xué)中，利用Flash動畫的多變性、生動性的特點能將學(xué)生的無意注意引向有意注意，從而提高課堂教學(xué)效率。運用Flash動畫，有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

20、。Flash動畫具有聲、光、色、形，綜合能力強(qiáng)，通過圖形的翻滾、重復(fù)、定格、色彩變化及聲響效果等，能給學(xué)生以新異的刺激感受，從而激發(fā)學(xué)生想學(xué)、樂學(xué)，提高學(xué)習(xí)興趣。6.結(jié)論本文介紹了電四極矩的來源，比較了電四極矩的兩種定義，討論了電四極矩的特點及應(yīng)用兩種定義求解電勢的異同，展示了電四極矩的物理圖景，列舉了電四極矩的應(yīng)用及舉例，并將Flash動畫呈現(xiàn)的物理圖景應(yīng)用于教學(xué)。從中發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)lash動畫應(yīng)該可以促進(jìn)電四極矩的教學(xué)，幫助學(xué)生建構(gòu)知識，提高教學(xué)效果，使學(xué)生易學(xué)、樂學(xué)，還可以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。當(dāng)然，由于環(huán)境等因素，尚未將Flash動畫應(yīng)用于實際教學(xué)中，因此，對于Flash對

21、教學(xué)的實際促進(jìn)作用還有待實踐驗證，但我仍衷心希望Flash動畫對電四極矩的教學(xué)有所幫助。 致 謝論文寫作過程中得到陳洛恩教授、任繼陽老師的關(guān)心、指導(dǎo)和幫助，在此表示衷心的感謝！參考文獻(xiàn)：1 郭碩鴻.電動力學(xué)M.高等教育出版社,1997,7:84-912 張文超.有關(guān)電四極矩的幾點討論J.高等函授學(xué)報,教學(xué)研究卷（2006）第1 期:63-663 Grosse Constantino. On the teaching of the multipole expansion. American Journal of Physics J. 52, (1984):1254 蔣德瀚.電勢多極展開

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