精選牛吃草問題含例題答案講解

1、精選牛吃草問題 （含例題、 答案、 講解） 小學(xué)數(shù)學(xué)牛吃草問題知識點(diǎn)總結(jié)： 牛吃草問題：牛吃草問題又稱為消長問題或牛頓牧場，是 17 世紀(jì)英國偉大的科 學(xué)家牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設(shè)草的生長速度固定不變，不 同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以 吃多少天。由于吃的天數(shù)不同，草又是天天在生長的，所以草的存量隨牛吃的 天數(shù)不斷地變化。 小升初沖刺第 2 講 牛吃草問題 基本公式： 1） 設(shè)定一頭牛一天吃草量為“ 1” 2） 草的生長速度=（對應(yīng)的牛頭數(shù) X 吃的較多天數(shù)一相應(yīng)的牛頭數(shù) X 吃的較少 天數(shù)）*（吃的較多天數(shù)一吃的較少天數(shù)）； 3） 原有草

2、量=牛頭數(shù) X 吃的天數(shù)一草的生長速度 X 吃的天數(shù)； 4） 吃的天數(shù)=原有草量十（牛頭數(shù)草的生長速度）; 5） 牛頭數(shù)=原有草量十吃的天數(shù)+草的生長速度。 例 1、牧場上長滿了牧草，牧草每天勻速生長，這片牧草可供 10 頭牛吃 20 天， 可供 15 頭牛吃 10 天。問：這片牧草可供 25 頭牛吃多少天？ 解:假設(shè) 1 頭牛 1 天吃的草的數(shù)量是 1 份 草每天的生長量：（200-150）-（20-10 ） =5 份 10X 20=200 份原草量+20 天的生長量 原草量：200-20 X 5=100 或 150-10 X 5=100 份 15X 10=150 份原草量+10 天的生長量

3、 100 -（ 25-5） =5 天 自主訓(xùn)練 牧場上長滿了青草，而且每天還在勻速生長，這片牧場上的草可 供 9 頭牛吃 20 天，可供 15 頭牛吃 10 天，如果要供 18 頭牛吃，可吃幾天？ 解:假設(shè) 1 頭牛 1 天吃的草的數(shù)量是 1 份 草每天的生長量：（180-150）-（20-10） =3 份 9X 20=180 份原草量+20 天的生長量 原草量:180-20 X 3=120 份 或 150-10 X 3=120 份 15X 10=150 份原草量+10 天的生長量 120 -（ 18-3） =8 天 例 2、由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定速度在減少。 已

4、知某塊 草地上的草可供 20 頭牛吃 5 天，或可供 15 頭牛吃 6 天。照此計算，可供多少 頭牛吃 10 天？ 解：假設(shè) 1 頭牛 1 天吃的草的數(shù)量是 1 份 草每天的減少量：(100-90)十(6-5 ) =10 份 20X 5=100 份原草量-5 天的減少量 原草量：100+5X 10=150 或 90+6X 10=150 份 15X6=90 份原草量-6 天的減少量 (150-10 X 10)十 10=5 頭 自主訓(xùn)練 由于天氣逐漸寒冷，牧場上的牧草每天以均勻的速度減少，經(jīng) 測算，牧場上的草可供 30 頭牛吃 8 天，可供 25 頭牛吃 9 天，那么可供 21 頭牛 吃幾天？ 解

5、：假設(shè) 1 頭牛 1 天吃的草的數(shù)量是 1 份 草每天的減少量：(240-225) - (9-8 ) =15 份 30X 8=240 份原草量 -8 天的減少量 原草量： 240+8X 15=360 份或 220+9X 15=360份 25X 9=225 份原草量-9 天的減少量 360 -( 21+15) =10 天 例 3、自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已 知男孩每 分鐘走 20 級梯級，女孩每分鐘走 15 級梯級，結(jié)果男孩用了 5 分鐘到達(dá)樓上， 女孩用了 6 分鐘到達(dá)樓上。問：該扶梯共有多少級？ 男孩： 20X 5 =100(級) 自動扶梯的級數(shù) -5

6、分鐘減少的級數(shù) 女孩;15 X 6=90(級) 自動扶梯的級數(shù) -6 分鐘減少的級數(shù) 每分鐘減少的級數(shù)=(20 X 5-15 X 6) - (6-5)=10(級) 自動扶梯的級數(shù) = 20X 5+5X 10=150(級) 自主訓(xùn)練 兩個頑皮孩子逆著自動扶梯行駛的方向行走，男孩每秒可走 3 級階梯，女孩每秒可走 2 級階梯， 結(jié)果從扶梯的一端到達(dá)另一端男孩走了 100 秒， 女孩走了 300 秒。問該扶梯共有多少級？ 3X 100=300 自動扶梯級數(shù) +100 秒新增的級數(shù) 2X 300=600 自動扶梯級數(shù) +300 秒新增的級數(shù) 每秒新增的級數(shù)：(2X 300-3 X 100)-( 300

7、-100) =1.5 (級) 自動扶梯級數(shù)=3 X 100-100 X 1.5=150 (級) 1. 有一片牧場，操每天都在勻速生長(每天的增長量相等)，如果放牧 24 頭 牛，則 6 天吃完草，如果放牧 21 頭牛，則 8 天吃完草，設(shè)每頭牛每天的吃草量 相等，問：要使草永遠(yuǎn)吃不完，最多只能放牧幾頭牛？ 假設(shè) 1 頭 1 天吃 1 個單位 24*6=144 21*8=168 168-144=24 每天長的草可供 24/2=12 頭牛吃 最多只能放 12 頭牛 2，有一片草地，草每天生長的速度相同。這片草地可供 5 頭牛吃 40 天，或 6 供頭牛吃 30 天。如果 4 頭牛吃了 30 天后，

8、又增加 2 頭牛一起吃，這片草地還 可以再吃幾天？ 假設(shè) 1 頭 1 天吃 1 個單位 5*40=200；6*30=180 200-180=20 每天長的草 :20/(40-30)=2 原有草： 200-2*40=120 4*30=120 ，30*2=60 60/4=15 天 3，假設(shè)地球上新增長資源的增長速度是一定的，照此推算，地球上的資源可供 1 1 0 億人生活 90 年，或可供 90 億人生活 21 0 年，為了人類不斷繁衍，那么地球 最多可以養(yǎng)活多少億人？ 假設(shè) 1 億人頭 1 天吃 1 個單位 1 1 0*90=9900；90*21 0=18900 18900-9900=9000

9、9000/(210-90)=75 4，一游樂場在開門前有 1 00 人排隊(duì)等候，開門后每分鐘來的游客是相同的，一 個入口處每分鐘可以放入 10 名游客， 如果開放 2 個入口處 20 分鐘就沒人排隊(duì)， 現(xiàn)開放 4 個入口處，那么開門后多少分鐘后沒人排隊(duì)？ 2*20*10=400 400-100=300 300/20=15 100+15*4=160 160/(4*10)=4 ( 1)因?yàn)椴萘?=原有草量 +新長出的草量，而且草量是均勻增長的。 所以“對應(yīng)的牛頭數(shù) X 吃的較多天數(shù)”就代表了第一次情況下的總草量， 即 為：吃的較多天數(shù)時的總草量 =草地原有草量 +草的生長速度 *較多天數(shù)時的時 間

10、。 同理“相應(yīng)的牛頭數(shù) X 吃的較少天數(shù)”代表了第二次情況下的總草量，即為： 吃的較少天數(shù)時的總草量 =草地原有草量 +草的生長速度 * 較少天數(shù)時的時間。 兩個一做差，式子中的“原有草量”就被減掉了，等號的左邊就是兩次情況之 下總草量的差，右邊等于草的生長速度 *兩次情況下的時間差，所以直接把時間 差除到左邊去，就得到了草的生長速度了。 （2）牛吃的草的總量包括兩個方面，一是原來草地上的草，而是新增長出來的 草。所以“牛頭數(shù) X 吃的天數(shù)”表示的就是牛一共吃了多少草，牛在這段時間 把草吃干凈了，所以牛一共吃了多少草就也表示草的總量。當(dāng)然草的總量減去 新增長出來的草的數(shù)量，就剩下原來草地上面草

11、的數(shù)量了。 牛吃草問題概念及公式 牛吃草 問題又稱為消長問題或牛頓牧場， 是 17 世紀(jì)英國偉大的科學(xué)家 牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設(shè)草的生長速度固定不變，不 同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地 可以吃多少天。由于吃的天數(shù)不同，草又是天天在生長的，所以草的存量 隨牛吃的天數(shù)不斷地變化。解決牛吃草問題常用到四個基本公式，分別是 1） 設(shè)定一頭牛一天吃草量為 “1” 1 ）草的生長速度=（對應(yīng)的牛頭數(shù) X 吃的較多天數(shù)一相應(yīng)的牛頭數(shù) X 吃的較少天數(shù)） 十（吃的較多天數(shù)一吃的較少天數(shù)）； 2） 原有草量=牛頭數(shù) X 吃的天數(shù)-草的生長速度 X 吃的天數(shù)；

12、3）吃的天數(shù)二原有草量 十（牛頭數(shù)-草的生長速度）； 4）牛頭數(shù)=原有草量 斗吃的天數(shù)+草的生長速度。 這四個公式是解決消長問題的基礎(chǔ)。 由于牛在吃草的過程中，草是不斷生長的，所以解決消長問題的重點(diǎn) 是要想辦法從變化中找到不變量。牧場上原有的草是不變的，新長的草雖 然在變化，但由于是勻速生長，所以每天新長出的草量應(yīng)該是不變的。正 是由于這個不變量，才能夠?qū)С錾厦娴乃膫€基本公式。 牛吃草問題經(jīng)常給出不同頭數(shù)的牛吃同一片次的草，這塊地既有原有 的草，又有每天新長出的草。由于吃草的牛頭數(shù)不同，求若干頭牛吃的這 片地的草可以吃多少天。 解題關(guān)鍵是弄清楚已知條件，進(jìn)行對比分析，從而求出每日新長草的 數(shù)量

13、，再求出草地里原有草的數(shù)量，進(jìn)而解答題總所求的問題。 這類問題的基本數(shù)量關(guān)系是： 1. （牛的頭數(shù) X 吃草較多的天數(shù)-牛頭數(shù) X 吃草較少的天數(shù)） （吃的較多的 天數(shù) -吃的較少的天數(shù) ）=草地每天新長草的量。 2. 牛的頭數(shù) X 吃草天數(shù)-每天新長量 X 吃草天數(shù)=草地原有的草。 解多塊草地的方法 多塊草地的 “牛吃草 ”問題，一般情況下找多塊草地的最小公倍數(shù)，這 樣可以減少運(yùn)算難度，但如果數(shù)據(jù)較大時，我們一般把面積統(tǒng)一為 “1”相對 簡單些。 “牛吃草 ”問題分析 華圖公務(wù)員考試研究中心數(shù)量關(guān)系資料分析教研室研究員 姚璐 【華圖名師姚璐例 1】有一塊牧場，可供 10 頭牛吃 20 天，1

14、5 頭牛吃 10 天，則它可供 25 頭牛吃多少天？ A.3 B.4 C.5 D.6 【華圖名師姚璐答案】 C 【華圖名師姚璐解析】設(shè)該牧場每天長草量恰可供 X 頭牛吃一天，這 片草場可供 25 頭牛吃 Y 天 根據(jù)核心公式 代入 (200-150)/(20-10)=5 10*20-5*20=100 100/(25-5)=5( 天) 璐例 2 】有一塊牧場，可供 10 頭牛吃 20 天， 15 頭牛吃 10 天，則它 可供多少頭牛吃 4 天？ A.20 B.25 C.30 D.35 【華圖名師姚璐答案】 C 【華圖名師姚璐解析】設(shè)該牧場每天長草量恰可供 X 頭牛吃一天， 根據(jù)核心公式代入 (2

15、0 X10-15 X 10)=5 10X20-5 X20=100 1004+5=30(頭) 【華圖名師姚璐例 3】如果 22 頭牛吃 33 公畝牧場的草， 54 天后可以 吃盡， 17 頭牛吃 28 公畝牧場的草， 84 天可以吃盡，那么要在 24 天內(nèi)吃 盡 40 公畝牧場的草，需要多少頭牛？ A.50 B.46 C.38 D.35 【華圖名師姚璐答案】 D 【華圖名師姚璐解析】 設(shè)每公畝牧場每天新長出來的草可供 X 頭牛吃 1 天，每公畝草場原有牧草量為 Y ， 24 天內(nèi)吃盡 40 公畝牧場的草，需要 Z 頭牛 根據(jù)核心公式： ，代入 ，因此 ，選擇 D 【華圖名師姚璐注釋】這里面牧場的

16、面積發(fā)生變化，所以每天長出的 草量不再是常量。 下面我們來看一下上述 “牛吃草問題 ”解題方法，在真題中的應(yīng)用。 【華圖名師姚璐例 4】有一個灌溉用的中轉(zhuǎn)水池，一直開著進(jìn)水管往里 灌水，一段時間后，用 2 臺抽水機(jī)排水，則用 40 分鐘能排完；如果用 4 臺 同樣的抽水機(jī)排水，則用 16 分鐘排完。問如果計劃用 10 分鐘將水排完， 需要多少臺抽水機(jī)？【廣東 2006 上】 A.5 臺 B.6 臺 C.7 臺 D.8 臺 【華圖名師姚璐答案】 B 【華圖名師姚璐解析】設(shè)每分鐘流入的水量相當(dāng)于 量，共需 Y 臺抽水機(jī) 有恒等式： 解 ，得 ，代入恒等式 【華圖名師姚璐例 5】 有一水池， 池底有

17、泉水不斷涌出， 要想把水池的 水抽干， 10 臺抽水機(jī)需抽 8 小時， 8 臺抽水機(jī)需抽 12 小時，如果用 6 臺 抽水機(jī)，那么需抽多少小時？【北京社招 2006 】 A.16 B.20 C.24 D.28 【華圖名師姚璐答案】 C 【華圖名師姚璐解析】設(shè)每分鐘流入的水量相當(dāng)于 X 臺抽水機(jī)的排水 量，共需 Y 小時 有恒等式： 解 ，得 ，代入恒等式 【華圖名師姚璐例 6】林子里有猴子喜歡吃的野果， 23 只猴子可在 9 周內(nèi)吃光， 21 只猴子可在 12 周內(nèi)吃光，問如果有 要幾周吃光？（假定野果生長的速度不變）【浙江 A.2 周 B.3 周 C.4 周 D.5 周 【華圖名師姚璐答案】

18、 C 【華圖名師姚璐解析】設(shè)每天新生長的野果足夠 子共需 Y 周吃完 有恒等式： 解 ，得 ，代入恒等式 【華圖名師姚璐例 7】物美超市的收銀臺平均每小時有 60 名顧客前來 排隊(duì)付款，每一個收銀臺每小時能應(yīng)付 80 名顧客付款。某天某時刻，超市 如果只開設(shè)一個收銀臺，付款開始 4 小時就沒有顧客排隊(duì)了，問如果當(dāng)時 開設(shè)兩個收銀臺，則付款開始幾小時就沒有顧客排隊(duì)了【浙江 2006 】 A.2 小時 B.1.8 小時 C.1.6 小時 D.0.8 小時 【華圖名師姚璐答案】 D 【華圖名師姚璐解析】設(shè)共需 X 小時就無人排隊(duì)了。 例題： 1 、旅客在車站候車室等車 ,并且排隊(duì)的乘客按一定速度增加

19、 ,檢查速 度也一定 ,當(dāng)車站放一個檢票口 ,需用半小時把所有乘客解決完畢 ,當(dāng)開放 2 個檢票口時 ,只要 10 分鐘就把所有乘客 OK 了 求增加人數(shù)的速度還有原來 的人數(shù) 設(shè)一個檢票口一分鐘一個人 1 個檢票口 30 分鐘 30 個人 X 臺抽水機(jī)的排水 33 只猴子一起吃，則需 2007 】 X 只猴子吃， 33 只猴 2 個檢票口 10 分鐘 20 個人 (30-20)訊 30-10)=0.5 個人 原有 1X30-30 X0.5=15 人 或 2X10-10 X0.5=15 人 2、有三塊草地，面積分別是 5，15，24 畝。草地上的草一樣厚，而且 長得一樣快。 第一塊草地可供 10 頭牛吃 30 天，第二塊草地可供 28 頭牛吃 45 天，問第三塊地可供多少頭牛吃 80 天？ 這是一道牛吃草問題， 是比較復(fù)雜的牛吃草問題。 把每頭牛每天吃的草看作 1 份。 因?yàn)榈谝粔K草地 5 畝面積原有草量+ 5 畝面積 30 天長的草二 10X30 二 3 00 份 所以每畝面積原有草量和每畝面積 30 天長的草是 300 十 5 二 60 份 因?yàn)榈诙K草地 15 畝面積原有草量+ 15 畝面積 45 天長的草二 28X45 =1260 份 所以每畝面積原有草量和每畝面積 45 天長的草是 1260 十 15 二 84 份 所以 45 30 = 15