和倍差倍和差問題

1、和倍差倍和差問題 WORD文檔使用說明：和倍差倍和差問題 來源于PDFWORDPDF轉(zhuǎn)換成WROD 本W(wǎng)OED文件是采用在線轉(zhuǎn)換功能下載而來，因此在排版和顯示效果方面可能不能滿足您的應(yīng)用需求。如果需要查看原版WOED文件，請(qǐng)?jiān)L問這里和倍差倍和差問題 文件原版地址: 和倍差倍和差問題|PDF轉(zhuǎn)換成WROD_PDF閱讀器下載和倍問題 和倍問題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與它們的倍數(shù)關(guān)系， 求大小兩個(gè)數(shù)的應(yīng)用題.為了 幫助我們理解題意，弄清兩種量彼此間的關(guān)系，常采用畫線段圖的方法來表示兩種量 間的這種關(guān)系，以便于找到解題的途徑。 例 1 甲班和乙班共有圖書 160 本.甲班的圖書本數(shù)是乙班的 3 倍，甲班和

2、乙班各有圖 書多少本？ 分析 設(shè)乙班的圖書本數(shù)為 1 份，則甲班圖書為乙班的 3 倍，那么甲班和乙班圖書 本數(shù)的和相當(dāng)于乙班圖書本數(shù)的 4 倍.還可以理解為 4 份的數(shù)量是 160 本， 求出 1 份的 數(shù)量也就求出了乙班的圖書本數(shù)，然后再求甲班的圖書本數(shù).用下圖表示它們的關(guān)系：解：乙班：160÷（3+1）=40（本） 甲班：40×3=120（本） 或 160-40=120（本） 答：甲班有圖書 120 本，乙班有圖書 40 本。 這道應(yīng)用題解答完了，怎樣驗(yàn)算呢？ 可把求出的甲班本數(shù)和乙班本數(shù)相加，看和是不是 160 本；再把甲班的本數(shù)除以 乙班本數(shù)，看是不是等于 3 倍.

3、如果與條件相符，表明這題作對(duì)了.注意驗(yàn)算決不是把 原式再算一遍。 驗(yàn)算：12040=160（本） 120÷40=3（倍）。 例 2 甲班有圖書 120 本，乙班有圖書 30 本，甲班給乙班多少本，甲班的圖書是乙班 圖書的 2 倍？分析 解這題的關(guān)鍵是找出哪個(gè)量是變量，哪個(gè)量是不變量.從已知條件中得出， 不管甲班給乙班多少本書，還是乙班從甲班得到多少本書，甲、乙兩班圖書總和是不 變的量.最后要求甲班圖書是乙班圖書的 2 倍，那么甲、乙兩班圖書總和相當(dāng)于乙班現(xiàn) 有圖書的 3 倍.依據(jù)解和倍問題的方法，先求出乙班現(xiàn)有圖書多少本，再與原有圖書本 數(shù)相比較，可以求出甲班給乙班多少本書（見上圖）

4、。 解：甲、乙兩班共有圖書的本數(shù)是： 30120=150（本） 甲班給乙班若干本圖書后，甲、乙兩班共有的倍數(shù)是： 213（倍） 乙班現(xiàn)有的圖書本數(shù)是：150÷3=50（本） 甲班給乙班圖書本數(shù)是：50-30=20（本） 綜合算式： （30120）÷（2+1）=50（本） 50-30=20（本） 答：甲班給乙班 20 本圖書后，甲班圖書是乙班圖書的 2 倍。 驗(yàn)算：（120-20）÷（30+20）2（倍） （120-20）+（30+20）150 （本）。 例 3 光明小學(xué)有學(xué)生 760 人，其中男生比女生的 3 倍少 40 人，男、女生各有多少人？ 分析 把女生人數(shù)

5、看作一份，由于男生人數(shù)比女生人數(shù)的 3 倍還少 40 人，如果用 男、女生人數(shù)總和 760 人再加上 40 人，就等于女生人數(shù)的 4 倍（見下圖）。解：女生人數(shù)：（76040）÷（31）=200（人） 男生人數(shù)：200×3-40=560（人） 或 760-200=560（人）答：男生有 560 人，女生有 200 人。 驗(yàn)算：560200=760（人） （560+40）÷200=3（倍）。 例 4 果園里有桃樹、梨樹、蘋果樹共 552 棵.桃樹比梨樹的 2 倍多 12 棵，蘋果樹比梨 樹少 20 棵，求桃樹、梨樹和蘋果樹各有多少棵？ 分析 下圖可以看出桃樹比梨樹的

6、 2 倍多 12 棵，蘋果樹比梨樹少 20 棵，都是同梨 樹相比較、以梨樹的棵數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)、作為 1 份數(shù)容易解答.又知三種樹的總數(shù)是 552 棵. 如果給蘋果樹增加 20 棵，那么就和梨樹同樣多了；再從桃樹里減少 12 棵，那么就相 當(dāng)于梨樹的 2 倍了，而總棵樹則變?yōu)?552+20-12=560（棵），相當(dāng)于梨樹棵數(shù)的 4 倍。解：梨樹的棵數(shù)： （55220-12）÷（112） =560÷4=140（棵） 桃樹的棵數(shù)：140×212=292（棵） 蘋果樹的棵數(shù)： 140-20=120（棵） 答：桃樹、梨樹、蘋果樹分別是 292 棵、140 棵和 120 棵。 例

7、5 549 是甲、乙、丙、丁 4 個(gè)數(shù)的和.如果甲數(shù)加上 2，乙數(shù)減少 2，丙數(shù)乘以 2， 丁數(shù)除以 2 以后，則 4 個(gè)數(shù)相等.求 4 個(gè)數(shù)各是多少？分析 上圖可以看出，丙數(shù)最小.由于丙數(shù)乘以 2 和丁數(shù)除以 2 相等，也就是丙數(shù) 的 2 倍和丁數(shù)的一半相等，即丁數(shù)相當(dāng)于丙數(shù)的 4 倍.乙減 2 之后是丙的 2 倍，甲加上 2 之后也是丙的 2 倍.根據(jù)這些倍數(shù)關(guān)系，可以先求出丙數(shù)，再分別求出其他各數(shù)。 解：丙數(shù)是：（5492-2）÷（2214）=549÷9 =61 甲數(shù)是：61×2-2=120 乙數(shù)是：61×22=124 丁數(shù)是：61×4=

8、244 驗(yàn)算：120+12461+244=549 1202=122 124-2=122 61×2122 244÷2122 答：甲、乙、丙、丁分別是 120、124、61、244.差倍問題 前面講了應(yīng)用線段圖分析“和倍”應(yīng)用題，這種方法使分析的問題具體、形象， 使我們能比較順利地解答此類應(yīng)用題.下面我們?cè)賮硌芯颗c“和倍”問題有相似之處 的“差倍”應(yīng)用題。 “差倍問題”就是已知兩個(gè)數(shù)的差和它們的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)。 差倍問題的解題思路與和倍問題一樣，先要在題目中找到 1 倍量，再畫圖確定解 題方法.被除數(shù)的數(shù)量和除數(shù)的倍數(shù)關(guān)系要相對(duì)應(yīng)，相除后得到的結(jié)果是一倍量，然后 求出另一

9、個(gè)數(shù)，最后再寫出驗(yàn)算和答題。 例 1 甲班的圖書本數(shù)比乙班多 80 本，甲班的圖書本數(shù)是乙班的 3 倍，甲班和乙班各 有圖書多少本？分析 上圖把乙班的圖書本數(shù)看作 1 倍，甲班的圖書本數(shù)是乙班的 3 倍，那么甲班 的圖書本數(shù)比乙班多 2 倍.又知“甲班的圖書比乙班多 80 本”， 2 倍與 80 本相對(duì)應(yīng)， 即 可以理解為 2 倍是 80 本，這樣可以算出 1 倍是多少本.最后就可以求出甲、乙班各有 圖書多少本。 解：乙班的本數(shù)： 80÷（3-1）=40（本）甲班的本數(shù)： 40×3=120（本） 或 4080=120（本）。 驗(yàn)算：120-4080（本） 120÷

10、40=3（倍） 答：甲班有圖書 120 本，乙班有圖書 40 本。 例 2 菜站運(yùn)來的白菜是蘿卜的 3 倍，賣出白菜 1800 千克，蘿卜 300 千克，剩下的兩 種蔬菜的重量相等，菜站運(yùn)來的白菜和蘿卜各是多少千克？分析 這樣想：根據(jù)“菜站運(yùn)來的白萊是蘿卜的 3 倍”應(yīng)把運(yùn)來的蘿卜的重量看作 1 倍；“賣出白菜 1800 千克，蘿卜 300 千克后，剩下兩種蔬菜的重量正好相等”，說 明運(yùn)來的白菜比蘿卜多 1800-300=1500（千克）.從上圖中清楚地看到這個(gè)重量相當(dāng)于 蘿卜重量的 3-1=2（倍），這樣就可以先求出運(yùn)來的蘿卜是多少千克，再求運(yùn)來的白 菜是多少千克。 解：運(yùn)來蘿卜：（1800

11、-300）÷（3-1）=750（千克） 運(yùn)來白菜： 750×3=2250（千克） 驗(yàn)算： 2250-1800=450（千克）（白菜剩下部分） 750-300=450（千克）（蘿卜剩下部分） 答：菜站運(yùn)來白菜 2250 千克，蘿卜 750 千克。 例 3 有兩根同樣長的繩子，第一根截去 12 米，第二根接上 14 米，這時(shí)第二根長度是 第一根長的 3 倍，兩根繩子原來各長多少米？分析 上圖，兩根繩子原來的長度一樣長，但是從第一根截去 12 米，第二根繩子 又接上 14 米后， 第二根的長度是第一根的 3 倍.應(yīng)該把變化后的第一根長度看作 1 倍， 而 12+14=26（米），

12、正好相當(dāng)于第一根繩子剩下的長度的 2 倍.所以，當(dāng)從第一根截 去 12 米后剩下的長度可以求出來了， 那么第一根、 第二根原有長度也就可以求出來了。 解：第一根截去 12 米剩下的長度： （12+14）÷（3-1）13（米） 兩根繩子原來的長度：131225（米） 答：兩根繩子原來各長 25 米。 自己進(jìn)行驗(yàn)算，看答案是否正確.另外還可以想想，有無其他方法求兩根繩子原來 各有多長. 小結(jié)：解答這類題的關(guān)鍵是要找出兩個(gè)數(shù)量的差與兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)的差的對(duì)應(yīng)關(guān) 系.用除法求出 1 倍數(shù)，也就是較小的數(shù)，再求幾倍數(shù)。 解題規(guī)律： 差÷倍數(shù)的差=1 倍數(shù)（較小數(shù)） 1 倍數(shù)×

13、幾倍=幾倍的數(shù)（較大的數(shù)） 或：較小的數(shù)+差=較大的數(shù)。 例 4 三（1）班與三（2）班原有圖書數(shù)一樣多.后來，三（1）班又買來新書 74 本， 三（2）班從本班原書中拿出 96 本送給一年級(jí)小同學(xué)，這時(shí)，三（1）班圖書是三（2） 班的 3 倍，求兩班原有圖書各多少本？分析 兩個(gè)班原有圖書一樣多.后來三（1）班又買新書 74 本，即增加了 74 本；三 （2）班從本班原有圖書中取出 96 本送給一年級(jí)同學(xué)，則圖書減少了 96 本.結(jié)果是一 個(gè)班增加，另一個(gè)班減少，這樣兩個(gè)班圖書就相差 96+74170（本），也就是三（1） 班比三（2）班多了 170 本圖書.又知三（1）班現(xiàn)有圖書是三（2）班

14、圖書的 3 倍，可 見這 170 本圖書就相當(dāng)于三（2）班所剩圖書的 3-1=2 倍，三（2）班所剩圖書本數(shù)就 可以求出來了，隨之原有圖書本數(shù)也就求出來了（見上圖）。 解：后來三（1）班比三（2）班圖書多多少本？ 7496=170（本）三（2）班剩下的圖書是多少本？ 170÷（3-1）=85（本） 三（2）班原有圖書多少本？ 8596=181（本）（兩個(gè)班原有圖書一樣多） 綜合算式： （7496）÷（3-1）96 170÷2+96 8596 =181（本） 驗(yàn)算：181+74=255（本） 181-96=85（本） 255÷85=3（倍） 答：兩班原來各

15、有圖書 181 本。 例 5 兩塊同樣長的花布，第一塊賣出 31 米，第二塊賣出 19 米后，第二塊是第一塊的 4 倍，求每塊花布原有多少米？分析 已知兩塊花布同樣長，由于第一塊賣出的多，第二塊賣出的少，因此第一塊 剩下的少，第二塊剩下的多.所剩的布第二塊比第一塊多 31-19=12（米）.又知第二塊 所剩下的布是第一塊的 4 倍，那么第二塊比第一塊多出的 12 米正好相當(dāng)于所剩布的 （4-1）倍，這樣，第一塊所剩布的長度即可求出（見上圖）。 解：第二塊布比第一塊布多剩多少米？ 31-1912（米） 第一塊布剩下多少米？ 12÷（4-1）=4（米）第一塊布原有多少米？ 4+31=35

16、（米）（兩塊布原有長度相等） 綜合列式： （31-19）÷（4-1）+31 =12÷3+31 =431 =35（米） 驗(yàn)算：35-31=4（米） 35-1916（米） 16÷44（倍） 答：每塊布原有 35 米長。 和差問題 和差問題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差， 求大小兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。 為了解答這種應(yīng)用題， 首先要弄清兩個(gè)數(shù)相差多少的不同敘述方式.有些題目明確 給了兩個(gè)數(shù)的差，而有些應(yīng)用題把兩個(gè)數(shù)的差“暗藏”起來，我們管暗藏的差叫“暗 差”。 例：“把姐姐的鉛筆拿出 3 支后，姐姐、弟弟的鉛筆支數(shù)就同樣多.”這說明姐姐 的鉛筆比弟弟多 3 支，也說明

17、姐姐和弟弟鉛筆相差 3 支。 再例： “把姐姐的鉛筆給弟弟 3 支后，兩人鉛筆支數(shù)就同樣多.”如果認(rèn)為姐姐的 鉛筆比弟弟多 3 支（差是 3），那就錯(cuò)了.實(shí)際上姐姐比弟弟多 2 個(gè) 3 支.姐姐給弟弟 3 支后，自己留下 3 支，再加上他們?cè)械你U筆數(shù)，他們的鉛筆支數(shù)才可能一樣多.這里 3×2=6 支，就是暗差。 “把姐姐的鉛筆給弟弟 3 支后還比弟弟多 1 支”，這就說明姐姐的鉛筆支數(shù)比弟 弟多 3×217（支）。 例 1 兩筐水果共重 150 千克，第一筐比第二筐多 8 千克，兩筐水果各多少千克？ 分析 這樣想：假設(shè)第二筐和第一筐重量相等時(shí)，兩筐共重 1508158（千

18、克）； 假設(shè)第一筐重量和第二筐相等時(shí)，兩筐共重 150-8142（千克）.解法 1：第二筐重多少千克？ （150-8）÷2=71（千克） 第一筐重多少千克？ 718=79（千克） 或 150-71=79（千克） 解法 2：第一筐重多少千克？ （150+8）÷279（千克） 第二筐重多少千克？ 79-8=71（千克） 或 150-79=71（千克） 答：第一筐重 79 千克，第二筐重 71 千克。 例 2 今年小強(qiáng) 7 歲，爸爸 35 歲，當(dāng)兩人年齡和是 58 歲時(shí)，兩人年齡各多少歲？分析 題中沒有給出小強(qiáng)和爸爸年齡之差，但是已知兩人今年的年齡，那么今年兩 人的年齡差是 35

19、-7=28（歲）.不論過多少年，兩人的年齡差是保持不變的.所以，當(dāng) 兩人年齡和為 58 歲時(shí)他們年齡差仍是 28 歲.根據(jù)和差問題的解題思路就能解此題。 解：爸爸的年齡： 58（35-7）÷2 =5828÷2 =86÷2=43（歲） 小強(qiáng)的年齡： 58-4315（歲） 答：當(dāng)父子兩人的年齡和是 58 歲時(shí)，小強(qiáng) 15 歲，他爸爸 43 歲。 例 3 小明期末考試時(shí)語文和數(shù)學(xué)的平均分?jǐn)?shù)是 94 分，數(shù)學(xué)比語文多 8 分，問語文和 數(shù)學(xué)各得了幾分？ 分析 解和差問題的關(guān)鍵就是求得和與差，這道題中數(shù)學(xué)與語文成績之差是 8 分， 但是數(shù)學(xué)和語文成績之和沒有直接告訴我們.可

20、是，條件中給出了兩科的平均成績是 94 分，這就可以求得這兩科的總成績.解：語文和數(shù)學(xué)成績之和是多少分？ 94×2188（分） 數(shù)學(xué)得多少分？ （188+8）÷ 2196÷2=98（分） 語文得多少分？ （188-8）÷2=180÷2=90（分） 或 98-8=90（分） 答：小明期末考試語文得 90 分，數(shù)學(xué)得 98 分. 例 4 甲乙兩校共有學(xué)生 864 人，為了照顧學(xué)生就近入學(xué)，從甲校調(diào)入乙校 32 名同學(xué)， 這樣甲校學(xué)生還比乙校多 48 人，問甲、乙兩校原來各有學(xué)生多少人？ 分析 這樣想：甲、乙兩校學(xué)生人數(shù)的和是 864 人，根據(jù)由甲校調(diào)入乙校 32 人， 這樣甲校比乙校還多 48 人可以知道，甲校比乙校多 32×2+48112（人）. 112 是兩 校人數(shù)差。解：乙校原有的學(xué)生： （864-32×2-48）÷2376