分形理論的發(fā)展概況及研究現(xiàn)狀

1、科技信息 SCIENCE INFORMATION 2007年 第 15期0. 引言分形理論創(chuàng)始于二十世紀(jì)七十年代初期 , 其研究對象為自然界和 現(xiàn)實生活中廣泛存在的非規(guī)則而具有自相似特性的幾何形態(tài) 。 所生活 的自然界是豐富多彩的 , 天空中飄浮著的變幻莫測的云團(tuán) , 遼闊無際 的地貌 , 海洋上風(fēng)起云涌時的巨大海浪 , 各種犬牙交錯的海岸線 , 以及 身邊無處不在的花草 、 樹木等等 。 對于這么多的千變?nèi)f化的不規(guī)則的 形態(tài) , 多少年來 , 人們習(xí)慣于用傳統(tǒng)的歐幾里得幾何理論來描述 , 主要 是用直線段 、 圓弧 、 平面 、 及曲面等手段來對他們進(jìn)行分析 。 這種用規(guī) 則的幾何理論去描述

2、非規(guī)則的幾何形態(tài)所得到的結(jié)果應(yīng)該說是有巨 大差異的 , 有時甚至是不可能的 。 一方面是自然界中無處不在的非規(guī) 則幾何形體 , 另一方面是很難確切地來描述它 , 這給帶來了極大的困 惑 。 分形幾何學(xué)的創(chuàng)立 , 為準(zhǔn)確地描述非規(guī)則的幾何形態(tài)提供了強(qiáng)有 力的工具 。一 、 分形理論的產(chǎn)生和發(fā)展分形的發(fā)展大致經(jīng)歷了三個階段 :二 、 分形的基本概念到底什么是分形呢 ? 開始時 , Mandelbrot 把那些 Hausdorff 維數(shù)不 是整數(shù)的集合稱為分形 。 按這個定義 , 某些看來應(yīng)該是分形成員的 , 例 如著名的 Pcano 曲線 , 就被排除在外 , 于是 Mandelbrot 又修改了

3、原來 的定義 , 說分形是那些局部和整體按某種方式相似的集合 , 這是目前 關(guān)于分形定義普遍被接受的說法 。 研究分形 , 似乎如同研究生命一樣 , 先弄清楚定義再研究 , 還是在研究 、 發(fā)展之中給出科學(xué)的定義 , 看來還 是后者更有道理 。到目前為止 , 分形尚無最后的定義 。 對分形的定義 , 可以用生物學(xué) 中對 “ 生命 ” 定義的辦法 ?！?生命 ” 是很難定義的 , 但卻可以給出一系列 生命對象的特征 , 例如繁殖能力 , 運動能力 。 除了有些對象例外 , 大部 分情形都能因此而得到分類 , 于是就不會因為暫時沒有嚴(yán)格的定義而 停步不前 。 對分形似乎也宜于給出一系列特征性質(zhì) ,

4、 當(dāng)集合具備這些 性質(zhì)時就可以認(rèn)為是分形 ; 當(dāng)因此而排除掉一些自己的同類時 , 再作 特殊的研究 。 按這種觀點 , 稱集合 F 是分形 , 是指它具有下面典型的性 質(zhì) :(1F 具有精細(xì)的結(jié)構(gòu) , 也就是說 , 在任意小的尺度下 , 它總是有復(fù) 雜的細(xì)下 ;(2F 是不規(guī)整的 , 它的整體與局部都不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描 述 ;(3F 通常有自相似形式 , 這種自相似可以是近似的或統(tǒng)計意義 的 ;(4 一般地 , F 的某種定義之下的分形維數(shù)大于它的拓?fù)渚S數(shù) ;(5 在大多數(shù)令人感興趣的情形下 , F 以非常的方法確定 , 可能由 迭代過程產(chǎn)生 。分形是自然形態(tài)的幾何抽象 , 如同自然界找

5、不到數(shù)學(xué)上所說的直 線和圓周一樣 , 自然界也不存在 “ 真正的分形 ” 。 只要注意到分形包含 一個無窮小尺度的內(nèi)涵 , 便可以知道自然形態(tài)只是停留在一定層次內(nèi) 可以合理地按分形模型來考慮 。三 、 研究分形的一般方法利用分形方法模擬植物形態(tài)結(jié)構(gòu)的方法主要有 L-系統(tǒng)法 、 迭代 函數(shù)系統(tǒng) (IFS 法 、 受限擴(kuò)散凝聚 (DLA 法 、 粒子系統(tǒng)法等 。1. 迭代函數(shù)系統(tǒng)法IFS (Iterated Function System 法 是 分 形 繪 制 的 典 型 方 法 。 它 是 Hutchinson(1981 和 Barnsley(l985 提出并發(fā)展起來的一種研究分形的 數(shù)學(xué)方法

6、 , IFS 的基本思想并不復(fù)雜 , 它認(rèn)定幾何對象的全貌與局部 , 在仿射變換的意義下 , 具有自相似結(jié)構(gòu) 。 幾何對象的整體被定義以后 , 選定若干仿射變換 , 將整體形態(tài)變換到局部 , 并且這一過程可以迭代 地進(jìn)行下去 , 直到滿意的造型 。 其理論依據(jù)及應(yīng)用效果是基于著名的 壓縮映射不變集定理和拼帖定理 。 IFS 可以定義為由一組滿足一定條 件的映射函數(shù) W i (例如壓縮的仿射變換 及一組變換發(fā)生的概率 P i , 組 成 :IFS=(W i ,P i |I=1, 2.n, 利用 IFS 生成植物圖像的方法是對初始植物 圖像按照己知概率選擇函數(shù)而實施的一種迭代變換 。 迭代函數(shù)系統(tǒng)

7、用 很少的數(shù)據(jù)就能完成圖像的模擬 , 在圖像壓縮方面顯示了很大優(yōu)勢 , 也是一個很誘人的研究領(lǐng)域 。 IFS 主要用于分形繪制和圖像壓縮 。 這方 面的研究主要集中在利用 IFS 碼進(jìn)行圖像繪制和求已 (下轉(zhuǎn)第 170頁 分形理論的發(fā)展概況及研究現(xiàn)狀尹玉亮 李培珍 康與云 顧宗磊(臨沂師范學(xué)院工程學(xué)院 山東 臨沂 276005摘要 :分形理論創(chuàng)始于二十世紀(jì)七十年代初期 , 其研究對象為自然界和現(xiàn)實生活中廣泛存在的非規(guī)則而具有自相似特性的幾何形態(tài) 。 本文 對分形理論的產(chǎn)生和發(fā)展 , 分形理論的基本概念 , 以及其主要研究方法包括 L-系統(tǒng)法 、 迭代函數(shù)系統(tǒng) (IFS 法 、 受限擴(kuò)散凝聚 (

8、DLA 法 、 粒子系統(tǒng) 法等做了介紹 , 并對對分形的研究領(lǐng)域及分形未來前景作了展望 。關(guān)鍵詞 :分形理論 ; L-系統(tǒng)法 ; 迭代函數(shù)系統(tǒng) (IFS 法 ; 受限擴(kuò)散凝聚 (DLA 法 ; 粒子系統(tǒng)法 高校講臺 科技信息 SCIENCE INFORMATION 2007年 第 15期 科(上接第 172頁 知圖像的 IFS 碼 , 以及圖像壓縮 。 2. 受限擴(kuò)散凝聚法 受限擴(kuò)散凝聚 (DLA 法是美國科學(xué)家 Witten 和 Sander 提出的 , 其 基本方法是 :在一個平面網(wǎng)格上選定一個靜止的微粒作為種子 , 然后 在距種子較遠(yuǎn)的格點上產(chǎn)生一個微粒 , 令微粒沿網(wǎng)格上下左右的方向

9、隨機(jī)行走 。 如果該微粒在行走過程中與種子相碰 , 就凝聚在種子上 ; 如 果微粒走到邊界上 , 就被邊界吸收而消失 。 如此重復(fù)上述步驟 , 就會以 種子為中心形成一個不斷增長的凝聚集團(tuán) , 利用 DLA 或其修改的模 型可以對部分植物的形態(tài)結(jié)構(gòu)進(jìn)行計算機(jī)模擬 , 如植物根系的生長過 程模擬和海藻類植物的形態(tài)結(jié)構(gòu)模擬等 。 DLA 模型主要用于模擬各種 分形生長和凝聚現(xiàn)象 。 3. 粒子系統(tǒng)法 粒子系統(tǒng)法的基本思想是用大量的 、 具有一定生命的粒子圖元來 描述自然界不規(guī)則的模糊景物 。 每個粒子在任一時刻都具有隨機(jī)的形 狀 、 大小 、 顏色 、 透明度 、 運動方向和運動速度等屬性 , 并

10、隨時間推移發(fā) 生位置 、 形態(tài)的變化 。 每個粒子的屬性及動力學(xué)性質(zhì)均由一組預(yù)先定 義的隨機(jī)過程來說明 。 粒子在系統(tǒng)內(nèi)都要經(jīng)過 “ 產(chǎn)生 ” 、 “ 活動 ” 和 “ 死 亡 ” 這三個具有隨機(jī)性的階段 , 在某一時刻所有存活粒子的集合就構(gòu) 成了粒子系統(tǒng)的模型 。 粒子系統(tǒng)適合用來模擬山 、 水 、 樹叢 、 草地等模 糊 、 隨機(jī)圖像 。 4.L-系統(tǒng) 美國植物學(xué)家 Arestid Lindenmayer 提出了著名的 L-系統(tǒng)法 , 成為 植物生長建模的主要方法之一 。 L-系統(tǒng)是一種字符串重寫系統(tǒng) , 通過 對植物對象生長過程的經(jīng)驗式概括和抽象 , 構(gòu)造公理與產(chǎn)生式集 , 生 成字符發(fā)

11、展序列 , 表現(xiàn)植物的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) 。 它以形式化的語言描述植物 的結(jié)構(gòu)和生長 , 在語言的終結(jié)符與植物結(jié)構(gòu)對應(yīng)時 , 由文法生成的句 子代表植物 , 而句子生成的中間過程是植物生長發(fā)育的過程 。 最簡單 的 L-系統(tǒng)簡稱為 D0L-系統(tǒng) , D 表示確定性 , 0表示與上下文無關(guān) 。 隨 機(jī) L-系統(tǒng)克服了確定性 L-系統(tǒng)只能生成規(guī)則分形圖形的局限 , 可構(gòu) 造隨機(jī)的植物拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) 。 參數(shù)化 L-系統(tǒng)使 L-系統(tǒng)能夠模擬時延信 息 。 Smith 等人將 L-系統(tǒng)引入到植物模擬的分枝拓?fù)溲芯恐?, 并稱之 為文法構(gòu)圖 (Graftal 方法 。 L-系統(tǒng)法的特點 :它能簡潔地描述植物的拓 撲結(jié)構(gòu)

12、 , 例如枝條和花序結(jié)構(gòu) 。 具有定義簡單 、 結(jié)構(gòu)化程度高 、 易于實 現(xiàn)等特點 。 綜上所述 , 可以看出 :雖然說 IFS 法 、 DLA 法 、 粒子系統(tǒng)法和 L-系 統(tǒng)法都能用來模擬植物的形態(tài)結(jié)構(gòu) , 但是它們各有所長 , 利用 IFS 法 能生成各種植物 , 又能模擬各種山 、 水 、 云等 , 但合適的 IFS 碼的選擇 是一個令人非常頭疼的問題 , IFS 在圖像壓縮方面具有很大的優(yōu)勢和 廣闊的前景 。 DLA 法最適合模擬各種凝聚現(xiàn)象 。 粒子系統(tǒng)法在模擬森林 、 草地等方面具有其無可比擬的優(yōu)點 。 而 L-系統(tǒng)法無疑是描述植物 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的一種簡潔 、 有效的方法 。 參考文

13、獻(xiàn)1Prusinkiewicz P,Lindenmayer A. “ The Algorithmic beauty of plants ” .科由上 , 可以看到在提取水印的時候我們并沒有用到原圖像 , 所以 這種檢測方法應(yīng)稱為盲檢測 。 如果想要得到指示性數(shù)據(jù) , 可采用相關(guān) 檢測法來檢測提取出的水印與原始水印的相關(guān)性 , 具體公式如下 :D=W×W/" (6其中 , W是檢測出的水印 , W 是用于驗證 的原水印 。 對于 D 我們 可以設(shè)定一個閥值 , 如果檢測結(jié)果大于這個閥值就說明水印已經(jīng)被檢 測出來了 。4. 實驗結(jié)果在實驗中 , 我們采用的是 256×

14、256的灰度圖像 , 如下圖 a 所示 , 圖 a 中的圖片是我們即將加入數(shù)字水印的原始圖片 , 圖 b 中的圖片是用 來作為水印的 60×110二值圖像 。 將圖片 a 和圖片 b 作為我們的數(shù)字 水印算法的輸入 , 將圖片 b 作為水印嵌入到圖片 a 中 , 生成了圖片 c 。 圖 c 是加入水印后的圖像 。 可以看出 , 如果僅從視覺效果上來看 , 圖 a 和圖 c 是沒有什么區(qū)別的 。 由此可知 :水印信號在宿主圖像中是不可 見的 。圖 d 是在沒有任何攻擊的情況下 , 從加入水印的圖像中提取出來 的水印 。 為檢驗算法的魯棒性 , 我們對已加入水印的圖像做了一些比 較常見的

15、攻擊 , 具體情況和實驗結(jié)果如下圖所示 。 通過圖 1與圖 2的 實驗結(jié)果比較 , 我們可以看出 :本文提出的基于視覺模型的數(shù)字水印 算法是可行的 。 而且 , 從實驗結(jié)果來看 , 當(dāng)某些攻擊已經(jīng)造成圖像質(zhì)量 的嚴(yán)重下降時 , 水印的不可見性和魯棒性之間的矛盾在這里得到了很 好的調(diào)和 , 該算法是有效的 。圖 1本文算法的實驗結(jié)果圖 2基于 DCT 的數(shù)字水印算法實驗結(jié)果 圖 3加入噪音后的實驗結(jié)果5. 小結(jié)本章通過對 HVS 模型中的兩個局部特性 (亮度遮蔽和對比度遮 蔽 地充分利用 , 優(yōu)化了水印分量在嵌入位置上的嵌入強(qiáng)度 , 使得在保 證了水印的不可見性的前提下 , 最大限度地嵌入水印分量 , 增強(qiáng)了水 印的魯棒性 。 選取圖像作為水印信息 , 使得水印的檢測結(jié)果更具視覺 效果 。 實驗證明 , 該算法簡單 , 易行 , 有效 。 參考文獻(xiàn)1武兵 . 數(shù)字水印技術(shù)淺析 . 中國科技信息 , 2006, 11.2翁敏嫦 , 譚兆信 . 數(shù)字水