一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系教學(xué)案

1、答：(1)X+X2=-3； X1 (2)(3)(4)m =6n2 321. m=18n =18()2 315 2 = 4050X2X11為X2 1(3TX1x2 1-2-(-)-1 -22根的平方(C)A. 3 或 12.當(dāng) m =和等于11 , k的取值是/、2-(X1 X2) - 2X1X2_13.關(guān)于x的二次方程一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系 (第1課時(shí))【目標(biāo)導(dǎo)航】1 .會(huì)根據(jù)一元二次方程求出兩根之和和兩根 之積.2 .利用根與系數(shù)關(guān)系求代數(shù)式的值 .【預(yù)習(xí)引領(lǐng)】問(wèn)題：利用公式法求出一元二次方程2ax +bx+c=0 ( a =0)的兩個(gè)根Xi =, X2 =； 貝 U X1 +x2 =,

2、X1 ,X2 =.【要點(diǎn)梳理】歸納一元二次方程的根與系數(shù)之間存在以下關(guān) 系,一、2aX +bX+c = 0( a 0)的兩個(gè)根為 x1, X2 ,貝U X1 +x2 =, X1 X2=. 方程x2 + px + q =0的兩根為x1, x2 ,貝 U X1 +X2 =,Xi x2=.考前須知：使用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān) 系時(shí)要注意兩個(gè)問(wèn)題：必須為一元二次方程(a=0);一定在有根的條件下( 0).練習(xí) 不解方程,求以下各方程的兩根之和與兩根 之積：(1) x2 +3x+1 =0 ； (2) 3x2 -2x-1 =022(3) -2x +3 =0 ;(4) 2x +5x =0X1 *X2=2

3、； X1,X2= 一 3X1 內(nèi)=0； X1 %= 32X1 X2=- 5； X1 J2方程一根,求另一根及未知系數(shù)的值.例1方程 ax2-7x-6=0( aw 0)一根為2, 求方程的另一根及 a的值.答：將x=2代入方程得 4a-20=0 , a=563設(shè)另一根為 m, 1- 2m=- 5 ,得m=-521.萬(wàn)程2x - 3x - m = 0的一個(gè)根是1一,求匕的另一個(gè)根和 m的值.2答：將x=代入方程得 -_3 -m=0, 1. m=-122 2設(shè)另一根為 x2, - - m = 1 x2 ,故 X2=12 2m=-1,另一個(gè)根為 12.假設(shè)一元二次方程(m1)x2+m2+2m-3 =

4、0的一根為零,求 m的值.答：將x=0代入方程,得,m2+2m-3=0, m=-3 或 m=1方程兩根的關(guān)系,求未知系數(shù)的值例2假設(shè)方程3x28x+m = 0的兩根之比為 3: 2,求m的值.8_8答：設(shè)兩根分另1J為 3n,2n,5n= 3 , n= 151 .方程 x2-2(m+1)x+m2-2=0, m=_-1時(shí),方程兩根互為相反數(shù) ；m=1時(shí),方程兩 根互為負(fù)倒數(shù).22 .假設(shè)方程X2+px+ q =0的一個(gè)根是另一2個(gè)根的2倍,那么p、q之間的關(guān)系是2P -四 不解方程求與根有關(guān)的代數(shù)式的值例3 設(shè)x1、x2是一元二次方程2x2 -5x +1=0的兩個(gè)根,利用根與系數(shù)關(guān)系求以下各式的

5、值：(1) (x1 3)(x2 3)；22(2)(x+1) +(X2 + 1) ;(3)(4) X1 - X2 .答：(1) (X1 3)(X23)=x1 x2-3 ( x1 + x2) +91 5= 1-3 - 9=22 2(2)(X1 1)2 (X2 1)2 =22x 12x1 1 x 2 2x2 12.2=X 1 +X 2+2 ( X1 + X2 ) +2 2= (x1 x2) - 2x1x2 2(x1 x2) 2=(一)-2 2 22221= 124(x1 x2)2 - 2x1x2 (x1 x2)X1X2 (X1 x2) 1X1-X2 =22.(X1 - X2) = . (X1 X2)

6、 - 4X1X2根據(jù)題意,求方程中某些待定字母系數(shù)的值例4 關(guān)于x的方程2 2k2x2 + (2k 1)x +1 = 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根X1、x2 .求k的取值范圍；k為何值時(shí),x1與x2互為倒數(shù).答：(1)依題意得：(2k 1)2 4k2)01故得k -41. .一 1(2) x1 ,X2=f = 1 ,得 k = 1,而 kLk4故,k - -11.方程x2+ (2k + 1)x+ k2 2= 0的兩實(shí)B. 3 C. 1 D. 3-6 時(shí), 方程2X + 5x+m= 0的兩根之差是7.例5關(guān)于x的方程3x2 + mx 2= 0的兩 一, 13根的平方和為一,求m的值.9答：設(shè)兩根分別為

7、X1,X2,那么,X1+X2 = _U3X1 X2322X1X2 二m2413一 一二 一 ,m 二939x2 + 2(m- 2)x+ (m2+ 4)= 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根, 并且兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21.求m的值.16答：設(shè)兩根分別為X1,X2,那么,x1 x2 = - 2(m 2)x1 x2=m2 422x1x2 - x1x2 = 21(x1 x2 )2 - 3x1x2 = 21.4 (m- 2)2 - 3(m2 4)= 21m=17 或 m=-1;方程有實(shí)數(shù)根4(m - 2)2 - 4(m2 4)_0,m40m=-1例6關(guān)于x的一元二次方程x2 (2k- 1)x- k-1 = 0(1)

8、試判斷此一元二次方程根的存在情況；(2)假設(shè)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 X1和X2,且滿(mǎn)足+ =1 ,求k的值.X1x2答：(2k -1)2 -4(-k -1) =4k2 5 0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1 x2 = -(2k -1)Xi X2 = - k -111x1 x2 2k 1 / , c.一一=-=1, k =2x1 x2x1x21 k例7關(guān)于x的方程 kx2- 2 (k+1) x+k-1=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,(1)求k的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 的倒數(shù)和等于0 ?假設(shè)存在,求出k的值；假設(shè) 不存在,說(shuō)明理由.答：依題意得,214(k 1) -4k(k -1)

9、0,. k -(1)3(2)假設(shè)存在k滿(mǎn)足題意,設(shè)兩根分別為x1, x2,那么,2(k 1)x1x2 =kk -1x1 x2 = k1 . 1x1 x22(k 1)二二二0 k = T,x1x2x1x2k -1k -1這與 3矛盾,故不存在k滿(mǎn)足題意.例8當(dāng)k取何值時(shí),一元二次方程2_一x -(2k -3)x 2k -4 =0(1)有兩個(gè)正根；(2)有兩個(gè)異號(hào)根,且正根的絕對(duì)值較大;(3) 一根大于3, 一根小于3.答：設(shè)兩根分別為 x1,x2,那么,x x2 = 2k -3(2k -3)2 -4(2k -4) -4k2 -12k 9-8k 16= 4k2 -20k 25 =(2k -5)21

10、.方程x1 x2 = 2k -4(1)有兩正根,那么“土內(nèi)?0x 為 Q 故 k )2(2)依題意,得x1 +/2x1 哎2 s 故 1.5k?2(3)依題意,得方程的兩個(gè)根中,一個(gè)大于3, 一個(gè)小于3,只須且僅須f(3)0即 9-3(2k-3)+2k-40k7/21 .關(guān)于x的一元二次方程2ax +2x+1 = 0的兩個(gè)根同號(hào),貝U a的取值范圍是0V aw22 .假設(shè)關(guān)于x的一元二次方程2x2-2x+ 3m -1 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1,x2,且x1 x2x1 + x2-4,那么實(shí)數(shù)( D )八5A . m 3-5C. m 一一3m的取值范圍是B. mW 一2D.- m x1 + x2且

11、m為整數(shù),求m的值.答：.A =4-8-8m=-4- 8m0 .me -1/22.x 1x2= (m+1) /2 x1+x2=1原不等式可改寫(xiě)成：7+6x1x2(x1+x2 ) A2即 3m+1Q 1m-3m=-1 或 m=-2【課后盤(pán)點(diǎn)】- 22x 2x + 3 = 0的兩根為x1和3x2,貝U x1+x2=_1 _, x1x2 = 2,一 2 一一一 .一 一一2 .方程3x 9x+m=0的一個(gè)根是1,那么m的值是 6,另一根為2.22_ .3 .右萬(wàn)程x -(m -4)x+m= 0的兩根互為相反數(shù),那么m=-2 -4 .兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)m, n滿(mǎn)足 m2-6m=4,n2-6 n=4,那么

12、 mn 的值為(D )A. 6 B . -6 C . 4 D. -425 .右一兀一次方程x -x+m=0有兩個(gè)不 一,一 11 八相等的實(shí)數(shù)根x1、x2,且滿(mǎn)足+ = -2,xx2那么m的值是(B )A .-2 B.- C.- D . 2226 .x1、x2是方程x23x+1 = 0的兩個(gè)實(shí)1 1數(shù)根,那么+的值是(A )x1 x2A. 3 B. -3 C. 1 D. 137 .“、3是方程x23x+2= 0的兩根,2-求a + a 3 - 3 a的值.答：a + 3 =3, a 3 =2,故原式=a ( a + 3 ) -3 a =028 .實(shí)數(shù)a、b分別是方程2x -6x + 3= 0

13、兩根,求2a3-6a2 + 2a2b-6ab 的值.答：由 2a3 6a2+2a2b-6ab=2a (a2-3a+ab-3b )=2aa(a-3)+b(a-3)=2a(a-3)(a+b)2x2 -6x+3=0,=(3+,3)/2 , a2= (3-,3) /2b1=(3-,3)/2 , b2= (3+,3) /2a+b=3代入:2a (a-3) (a+b)=2 (3-,3) /2 x 3=9- 3V3.或者 2 (3+,3) /2 X3=9+3, 3.29 .關(guān)于x的萬(wàn)程x2-6x+ k= 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是 x1、x2,且 x；x； - x1 - x2 = 115(1)求k的值；(2)求為2

14、+ x2+8的值.答：(1) “*%=6x1 x2=k222x1又2 - x - *2 = (x1 *2 ) -( x1 *2)=k2- 6 = 115K= - 11而 36-4k 0, k - 9故 K=-11222(2)x1 x2 8 = (x1 x?) - 2x1x2,8=36-2k+8=6610 .關(guān)于x的方程x22(m+1)x+m2=0.(1)當(dāng)m取什么值時(shí),原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；(2)對(duì)m選取一個(gè)適宜的非車(chē)整藜.,使原方 程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,并求這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方 和.答：由題可知 bA-4ac=2(m+1)2-4m20故,m-1/2(2)m=4x2-10x+16=0(x-2)(x-8)=

15、0x=2,x=822+82=6811 .關(guān)于 x的方程x2 J6x+m=0(m 為正整數(shù))有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x 1、x2,分別求以下 兩式的值：2(1) (x1-1)( x2-1) ；(2) x -V6x+ 3答：x1 x2= . 6x1 x2=m(x 1-1)(x 2-1)=x1 x2-( x1 x2)+1= m- .6+1 3 12 .雙曲線 y=和直線y = kx + 2相 x交于點(diǎn)A(x1,y1)和點(diǎn)B(x2,y2),且22x1 +x2 =10.求 k 的值.答：y=3/x=kx+2kx2+2x-3=0那么 x1+x2=-2/kx1x2=-3/kxR+x22=(x 1+x2)2-2x 1x2

16、=4/k2+6/k=105k2-3k-2=0k1=1 k 2=-2/5所以k=1或k=-2/513.關(guān)于x的方程x2 kx+k2 +n=0有 兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 x1、x2,且(2x1 x2)2 -8(2x1 x2) 15 =0.(1)求證：n0, .nv- k2 .一 2又-k 0,nv 0.2 一(2) . (2xi+X2)-8 ( 2xi+X2)+15=0, M+x2=k,2. . ( X1+X1+X2) -8(X1+X1+X2) +15=0, 一、 2 一(X1+k) -8 (x1+k) +15=0. (x1+k) -3(x1+k) -5=0X1+k=3 或 Xi +k=5,X1=3-

17、k 或 X1=5-k .(3) nv- k 2, n=-3 ,k24,即：-2 k2,原方程化為：x2-kx+k 2-3=0 ,把 X1=3-k 代入,得到 k2-3k+2=0 ,解得k1=1, k2=2 (不合題意),把 X1=5-k 代入,得至ij 3k2-15k+22=0 , =-390,k -42(2) x1+x 2=2k+ 1,xx2= k=1 11 x1 x2 2k 1i =.=.2x1x2k 7x1x2k故K=4. 一元二次方程 2x2 2x+1 3m = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是 x1、x2,且x1x2滿(mǎn)足不等 式x1 x2+2(x1 +x?) 0 ,求實(shí)數(shù)m的取 值范圍.答：1 一

18、3mx1+x2= 1, x1x2=21A土-8 (1-3m)之 0, m -6由于 Xi x22(Xix2)0所以上網(wǎng)+2 025 m 315綜上所述1 m 5 635 .設(shè)關(guān)于x的一元二次方程 2_ . 一. x 4x2(k-1) = 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根Xi、x2 ,問(wèn)是否存在 Xi + x2 =0 所以k=5/4X1+X2=-b/a=4X1X2=c/a=2-2k由于 k=-1/2所以存在X1+X20, k+20,k只能取2. k取2時(shí), ABC是以BC為斜邊的直角三 角形8. AABC 中,/ C=90 , a、b、c、分別為 ABC 三邊,a- b=2 , b ： c=3 : 5 ,且方程 22X2 2(k + 1)x + k2 +12 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的 平方和是 ABC的斜邊的平方,求 k的值.答：由 b: c=3:5 a 2+b2=c2,得 c2=25/16a2進(jìn)一步可以推出 a： b=4:3結(jié)合a-b=2,得a=8故 c2=25/16a2=100X12+X22=(x1+X2)2-2x1X2=4(k+1) 2-2(k2+12)=100.簡(jiǎn),得k2+4k-60=0解之得k=-10 或 k=6(1)用這兩局部紙片除了可以拼成圖2中的Rt BCE外,還可以拼成一些四邊形.請(qǐng)你試一 i,把拼好的四邊形分別畫(huà)在圖3、圖4的虛框內(nèi).(2)假設(shè)利用這兩局部紙片拼成的 RtA BCE