2021學年靜安一模(文)

1、第一學期髙三2014.01數(shù)學(文科)試卷(試卷滿分150分 考試時間120分鐘)1、已知集合 A = (x,y)lx+y l = 0, 8 = (x, y) I y =，_ 則人門 b=.2、函數(shù)y= 的定義域是.V-x" 一x + 63、當x>0時，函數(shù)y = (a-sy的值恒大于1,則實數(shù)"的取值范圍是 4、關(guān)于未知數(shù)X的實系數(shù)方程x2-bx + c = 0的一個根是l + 3i (期中i是虛數(shù)單位)，寫岀一個一元二次方程為.5、 方程 log 3 (% -1) + log 3(X +1) = 1 + log 3 (x + 9)的解為.6、不等式2x2+x-1&

2、gt;0的解集為.> >>>7、已知向量a =(1,1) ,b=(2, x).若a+b與2a+4b平行，則實數(shù)a的值是.8、若(l +、，0)6=a + bQ (其中 a、b 為有理數(shù))，則 a+b=.9、排一張4獨唱和4個合唱的節(jié)目表，則合唱不在排頭且任何兩個合唱不相鄰的概率是(結(jié)果用最簡分數(shù)表示).10、設某拋物線y2 =/nr的準線與直線x = 1之間的距離為3 ,則該拋物線的方程為.11、橢圓C的焦點在x軸上，焦距為2,直線= 0與橢圓C交于A、B兩點，F(xiàn)】是左焦點，且許人丄F、B,則橢圓C的標準方程是.12、已知數(shù)列«fl(ne N*)的公差為3,從

3、仏中取出部分項(不改變順序)為.偽，山0組成等比數(shù)列,則該等比數(shù)列的公比是.Q y13、若x > 0, y > 0且y =，則x+y的最小值為.x-214、設與圓(x-1)2 + (>'-1)2 =1相切的直線/經(jīng)過兩點A,0),B(0,b)，其中a>2,b>2,O為坐標原點，則AOB而積的最小值為.15、設a.beR.i是虛數(shù)單位，則= 是“復數(shù)a + -為純虛數(shù)”的()iA、充要條件B、充分不必要條件C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件16、已知命題a：如果x<3,那么x<5；命題0：如果x>3,那么x>5：命題了：如果；

4、那么x>3.關(guān)于這三個命題之間的關(guān)系，下列三種說法正確的是（） 命題a是命題“的否命題，且命題了是命題0的逆命題. 命題Q是命題“的逆命題，且命題了是命題0的否命題. 命題0是命題&的否命題，且命題了是命題&的逆否命題.A. ®： B.； C. D.®17、已知函數(shù)f（x） = -x2+4x, xe/«,5的值域是5,4,則實數(shù)加的取值范圍是（）A. （-00-1）:B. （-1,2 ； C. -1,2 ； D. 2,5）.18、已知三個正實數(shù)a、b、c,則下列三個數(shù)2a + 1,b +丄,c +丄（）b c 2aA、都大于2；B、都小于2C

5、、至少有一個小于2； D、至少有一個不小于2三、解答題（本大題滿分74分）19. （本題滿分12分）本題共兩個小題.第一小題滿分7分，第二小題滿分5分九章算術(shù)是我國古代數(shù)學成就的杰岀代表，其中方陽章給出訃算弧田而積所用的經(jīng)驗公式為: 弧田面積二丄（弧X矢+矢2）,弧田（如圖），由圓弧和其所對的弦所圍成,公式中“弦”指圓弧所對弦長, 2“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差。按照上述經(jīng)驗公式訃算所得呱田而積與英實際而積之間存在誤差?，F(xiàn)有圓心角為斗，弦長等于9米 的弧田:（1）計算弧田的實際而積;（2）按照九章算術(shù)中弧田而積的經(jīng)驗公式計算所得 果與（1）中計算的弧田實際面積相差多少平方米？（結(jié)果保

6、兩位小數(shù)）20. （本題滿分14分）本題共有2個小題，第一小題滿分6分，第二小題滿分8分. 求證：(1) “ns 一 0)= gg-an0cos a cos 0 cosO° cosl°cosl° cos 2°cos 2° cos3°1+ '+cos88ucos89°cos 10sin 121、（本題滿分14分）本題共有2個小題，第一小題滿分5分，第二小題滿分9分.已知雙曲線x2-y2 =2（1）若直線/的斜率為2 ,直線/與雙曲線相交于A、B兩點，線段AB的中點為P,求點P的坐標（忑y）滿足的方程（不要求寫岀變量的取

7、值范弗I）：（2）過雙曲線的左焦點F】，作傾斜角為Q的直線m交雙曲線于M、N兩點，期中 F2 44是雙曲線的右焦點，求厶F2MN的而積S關(guān)于傾斜角a的表達式。22、（本題滿分16分）本題共有3個小題，第一小題滿分4分，第二小題滿分6分，第三小題滿分6分. 設無窮數(shù)列"”的首項絢=1,前”項和為片（“e"）,且（30 -+ 3）S”=3/ 5已N", n>2） （Z為與"無關(guān)的正實數(shù)）.（1）求證：數(shù)列仏（，疋“）為等比數(shù)列：（2）記數(shù)列“”的公比為f,數(shù)列乞滿足勺=1,饑=/（丄），設cn=bn-blltb,求數(shù)列c”的前m項和人；若（2）中數(shù)列匕

8、的前"項和7；當neAT時，不等式Tn < 恒成立，求實數(shù)d的取值范 圍。23、(本題滿分18分)本題共有3個小題，第一小題滿分4分，第二小題滿分5分，第三小題滿分 9分.已知函數(shù)/(x) = logn上竺是奇函數(shù),(其中Q1)x-1(1) 求實數(shù)加的值：(2) 討論函數(shù)/(x)的增減性：(3) 當- 2血)時，/(x)的值域是(1,+s),求"lja的值。2013學年第一學期靜安文科數(shù)學試卷解答與評分標準1. (一2,3),(1,0)：2. (一3,2)；3 a >9 :4. x2-2x + 10 = 0 :5 x = 7；6-（F，T）uG，+s）； 7.

9、2：10. y2 = 8?；?y2 = _16x ；2 211. A= 1；12. 2： 13. 18；14. 2V2+3：2 + G3 1 + V315 C； 16. A. 17. C 18. D19. 解：(1)扇形半徑r = 3V3 , 2分扇形而積等于-ar2 =-xx(3yf3)2 5 分22 3弧田面積等于-ar2 -r2 si» = 9zr- "-(m3) 7分2234（2）圓心到弦的距離等于如所以矢長為卜按照上述弧田而積經(jīng)驗公式計算得-(弦X矢+矢=)二*(9x于+ ?) =斗(巧+ )10 分2 2 2 29兀-込込0- = 1.5166心1.52平方米1

10、2分448按照弧田面積經(jīng)驗公式計算結(jié)果比實際少152平米.sin(a 0) sinacos0-cosQsin0c八20. 址明：(1)-= =tana-tan 6分cos a cos pcos a cos 0(2)由(1)得 =tan(Zr + l)°-tan° 伙=0J288)8分cosk cos伙+ 1)可得 1 .cosOu cosl° cosl° cos2° cos2° cos3°cos88° cos89n =tan 89° - tan 0°12分sin 89° _ cosl&

11、#176;cos89° sinl°14分1cosl°+ + + . . . + =cosO° cosl° cosl° cos2° cos2° cos3°cos88° cos89°sin2 1(21. （1）解法1：設直線/方程為y = 2x + b,代入雙曲線方程得：3x2+4bx + b2+2 = 0,2分 由厶=16慶一12（慶+2）>0得b2>6.設A、3兩點坐標分別為（“）、（32），則有 xx+x2= 2x,y2 +y2=2y； 乂由書達怎理知：+x2 =-.x,

12、x2 = - "4 分3C1所以x = 一二？= 一上，即得點p的坐標（x,y）所滿足的方程x-2y = 0.5分注：2學或樣學點P的軌跡為兩條不包括端點的射線.解法2：設A、B兩點坐標分別為（西）、（加2），則有卅并=2, x芥丈=2,兩式相減(xf + x2)(! -x2)-(y + y2)(y, -y2) = 0 (*)2分 乂因為直線/的斜率為2,所以 =1 = 2.再山線AB中點P的坐標（匕刃，得“-心x+x2= 2x9 y2 + y2 = 2y.4 分代入（*）式即得點P的坐標（兀刃所滿足的方程x-2y = 05分（2）片（一2,0）,応坨| = 4,直線/與x軸垂直時，

13、MN = 2V2，此時，"MN的而積= 1|A/V|F,F2| = 4V2直線/與x軸不垂直時，直線/方程為y = tana（x + 2）,解法1：將兀=_!_y_2代入雙曲線方程，整理得：（_l）y2_t_y_2 = o,tancrtanstana所以，H+2 =4 tan a1-tan2 a2tan2 a1-tan2 a10分（1-tan2 a）28tan2 a（l +tan2 a）那么sine? l-2sin2 a13分所以，S = <4邁。=乞2sin a1-sin2 a14分42即（l-tan? a）y2 -4tancn-2tan2 a = 0 9分解法2：參見理科解

14、法2。22. （1）由已知,有 3$廠（2/ + 3）S,_ =3/ （ n > 2）當 n = 2 時，3/（1 +心）-（2/+ 3） = 3/ ,則 4 ="=乞:2分3/a】當 n>2 時，有 3曝一 + 3）5, = 3t, 兩式相減，得3tg+ 3）勺=0,即紐=蘭工（n>2）,勺 31綜上，乞± =故數(shù)列©是公比為卻三的等比數(shù)列：4分an 3t3t2/ + 3211?（2）由（1）知，/（/）= _ =_ +則bn = /（）=仇-+二（«>2）,3/3/'勺39o 1于是數(shù)列仇是公差d=：的等差數(shù)列，即化

15、7分則 Tn =cx+c2+. + cn = bfi2- b2b3 + b3b4 一+ b2nb2n -b2nb2n=俵（也一仇）+勺（E - ） + b2n （乩一也）4 n(b2+b2n)_ 8m24”329310分QAQ4（3）不等式Tn<a恒成立，即一 一用恒成立，又T=n2-n存屁E.上遞減，則939320 Jmd-&. 14分2016分23. (1) m = -x + (2) /(x) = logfl 的泄義域為(s, l)U(l,+s)， 5分X-1討論在X 1X + 定義域關(guān)于原點對稱，又/(-X)= log“ 一 = log« -一，故/(一切=-/(x),-X+1"X-1所以函數(shù)/（x）為奇函數(shù)。6分下面討論在（h+s）上函數(shù)的單調(diào)性.任取",x2 e (1,+s),設 M < x2 > 令心)=X+177所以心）一“七）=2(兀2 一小)(X) l)(x2 -1)因必心，所以心罟越>0.又當。> 1 時，y = loga x是增函數(shù)，所以 log和 t(x) > logfl t(x2) 由立義知在（1,+s）上函數(shù)是減函數(shù).又因為函數(shù)/（X）是奇函數(shù).所以在（-CO-1）上函數(shù)也是減函數(shù).r 4- 1r 4-1(3)當d>l時,要使/(勸的值域是(1,