分式運(yùn)算技巧匯編(整合版)

1、v1.0可編輯可修改分式運(yùn)算技巧分式運(yùn)算，一要準(zhǔn)確，二要迅速，其中起著關(guān)鍵作用的就是通分.但對(duì)某些較復(fù)雜的題目，使用一般方法有時(shí)計(jì)算量太大，導(dǎo)致出錯(cuò)，有時(shí)甚至算不出來，對(duì)于分式的通分，要講究技巧.下面介紹幾種常用的通分技巧.、逐步通分法111例1計(jì)算，1x1x1x分析：此題若采用將各項(xiàng)一起通分后相加的方法，計(jì)算量很大.注意到前后分母之間存在著平方差關(guān)系，可逐步通分達(dá)到目的.一，224解：原式二JJ二1x1x1x評(píng)注：若一次通分，計(jì)算量太大，利用分母間的遞進(jìn)關(guān)系，逐步通分，避免了復(fù)雜的計(jì)算.依次通分構(gòu)成平方差公式，采用逐步通分，則可使問題簡(jiǎn)單化。二、整體通分法2例2計(jì)算一aa1a1分析題目中既有

2、分式又有整式，不相統(tǒng)一，我們可以尋求到可以做為整體的部分，那么計(jì)算起來就可以簡(jiǎn)便一些.解:原式"(a1)(a1)a211,a1a1a1a1評(píng)注：此題是一個(gè)分式與多項(xiàng)式的和，若把整個(gè)多項(xiàng)式看作分母為1的分式，再通分相加，使得問題的解法更簡(jiǎn)便.三、分裂整數(shù)法例3.計(jì)算:分析如果幾個(gè)分母不同通分時(shí)可使用分裂整數(shù)法，對(duì)分子降次后再通分.解：原式上L x 2 1(1 - x1x 11-7)1x 2(11 x1x 2)1x 4(1(1x 3 1x 31xn)(x 1)(x4)(x 1)(x 2)1(x 4)(x 3)1(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 3)(x 4)(x 1)(x 2

3、)(x1)(x2)(x3)(x4)2_2_x7x12x3x2(x1)(x2)(x3)(x4)10x10(x1)(x2)(x3)(x4)般要先利用分裂整數(shù)法對(duì)評(píng)注：當(dāng)算式中各分式的分子次數(shù)與分母次數(shù)相同次數(shù)時(shí),分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整數(shù)法。四、裂項(xiàng)相消法+-125例4.計(jì)算：K-K如+至f+2合+5y-日H+7W+121 1 1 1 =lr 41解：原式 111:1- 1 :“：:61_1xx+4z+4-x況(耳+4)說明：對(duì)形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式& a十1然3十1),各個(gè)分式拆項(xiàng)，正負(fù)抵消一部分，再通分。在解某些分式方程中，也可使用裂項(xiàng)

4、相消法。五.活用乘法公式04+與8'+二）（£+&及+1）（區(qū):t）G耍1）例4.計(jì)算：K£工*/矛解：當(dāng)K戶口且笈=1時(shí)，=仁)依乂/+與®%43)(1+4)(/一1"5)原式一二一./二2=(M-十+±)(臚十4)(/T)占±_1KX2£KK翼=(鏟-最我說明：在本題中，原式乘以同一代數(shù)式，之后再除以同一代數(shù)式還原，就可連續(xù)使用平方差公式，分式運(yùn)算中若恰當(dāng)使用乘法公式，可使計(jì)算簡(jiǎn)便。六.見繁化簡(jiǎn)法例6.計(jì)算:2x 22 一 _X2 3x 2x 23 x-2 -2 "x x 6 x 4x 3分析分

5、式加減時(shí)，如果分母不同要先分解因式,再找到公分母，把每個(gè)分式的分母都化為公分母的形式解.原式一2(x_1)_x_2x_3八(x2)(x1)(x3)(x2)(x3)(x1)211x2x3x1_22_22(x4x3)(x3x2)(x5x6)(x1)(x2)(x3)2(x1)(x2)(x3)評(píng)注：若運(yùn)算中的分式不是最簡(jiǎn)分式，可先約分，再選用適當(dāng)方法通分，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便。在分式運(yùn)算中，應(yīng)根據(jù)分式的具體特點(diǎn)，靈活機(jī)動(dòng)，活用方法。方能起到事半功倍的效率。七、挖掘隱含條件，巧妙求值x25x6x-解：x290,.x3但考慮到分式的分母不為0,故x=3所以，原式(x2)(x3)0x3說明：根據(jù)題目特點(diǎn)，挖掘題中的

6、隱含條件，整體考慮解決方案是解決本類題目的關(guān)鍵。八、巧用特值法求值例8已知二Y三則2x一3y_4z=。4563z解：此題可直接令x=4,y=5,z=6,代入得：243546原式361718說明：根據(jù)題目特點(diǎn)，給相關(guān)的字母賦予特定的數(shù)值，可簡(jiǎn)化求解過程。九、巧設(shè)參數(shù)(輔助未知數(shù))求值例9已知實(shí)數(shù)x、y滿足x:y=1:23k 2k 1k 2k 3xy斛：僅1-k,則xk,y2k,故原式說明：在解答有關(guān)含有比例式的題目時(shí)，設(shè)參數(shù)(輔助未知數(shù))求解是一種常用的方法。十、整體代入例10若13=5,求3x5xy3y的值.xyx3xyy分析：將11=5變形，得x-y=-5xy,再將原式變形為3(xy)5xy

7、，把x-y=-5xyxy(xy)3xy代入，即可求出其值.11斛：因?yàn)橐灰?5,所以x-y=-5xy.xy所以原式=3(xy)5xy=3(5xy)5xy=10xy=5(x y) 3xy5xy 3xy8xy 4說明：在已知條件等式的求值問題中，把已知條件變形轉(zhuǎn)化后，通過整體代入求值,可避免由局部運(yùn)算所帶來的麻煩.卜一、倒數(shù)法例11、已知a+l=5.則a2a2a a 1分析：若先求出a2的值再代入求值，顯然現(xiàn)在解不出.如果將-a- 的分子、分a4 a2 14母顛倒過來，即求2a-2 a1c 11=a2+1 + J2的值，再進(jìn)一步求原式的值就簡(jiǎn)單很多.a解：因?yàn)閍+l=5, a所以(a+1 ) 2=

8、25aa2+4=23.2a所以42.a a 12a=a2+1 + 12 =24,a所以2a42a a_ = 11 241一，一，一,，一八，說明：利用x和1互為倒數(shù)的關(guān)系，溝通已知條件與所求未知式的聯(lián)系，使一些分式x求值問題思路自然，解題過程簡(jiǎn)潔.十二、主元法 222x y z例 12 已知 xyz w 0,且 3x 4y z=0,2x + y 8z=0,求的值.xy yz 2zx解：將z看作已知數(shù)，把 3x 4y z=0與2x+y 8z=0聯(lián)立，得 3x 4y z=0,2x + y 8z=0.解得 x=3z,y=2z.所以，原式=-2_222(3z)(2z) z =14z一 一 一一一2(3z) (2z) (2 z) z 2z (3z) 14z1.說明：當(dāng)已知條件等式中含有多元（未知數(shù)）時(shí)（一般三元），可視其中兩個(gè)為主元,另一個(gè)為常量，解出關(guān)于主元的方程組后代入求值，可使問題簡(jiǎn)化.十三、特殊值法例13已知 abc=1,貝U1ab a 1 bc b一 H1 ca c 1分析：由已知條件無法