函數(shù)零點問題的一點思考

1、函數(shù)零點問題的一點思考如何找到f a f b樣0摘要：函數(shù)零點問題是高考的熱點，也是學生學習的難點函數(shù)零點問題的解決方法也靈活多樣，充斥于各種模擬卷和教輔資料中的解答一般都是采用數(shù)形結合的方法然而用數(shù)形結合的方法書寫解答題的嚴謹性使筆者產(chǎn)生了懷疑，筆者通過查找這類高考題的官方答案發(fā)現(xiàn)，他們的解答過程都是依據(jù)零點存在性定理和函數(shù)單調性. .但是這個解答過程的難點是滿足f a f b：0的零點區(qū)間a,b有時很難直接找到關于這個問題筆者最近兩年一直在思 考和探索，試圖發(fā)現(xiàn)其中的一般規(guī)律. .關鍵詞：零點存在定理函數(shù)單調性2試題 1 1 :已知函數(shù)f x = -X2 2ex，m-1，g x = x x

2、 0, ,設xFx二gx-fx，若Fx有兩個不同零點，求實數(shù)m的取值范圍. .法 1 1：因為F x有兩個不同零點，所以方程g x - f x=0有 兩個不同的實根，即函數(shù)f x與g x的圖像有兩個不同的交點作出g x，f x的大致圖像如圖 因為.2 2 2f(x)=x +2ex+m-1 =-(xe)-1 + e，所以其圖像的對稱軸為x = e,開口向下，最大值為m -1 e2，故當m -1 e22e，即m兮-e22e 1時，f x與g x的圖像有兩個不同的交點， 即程g x?-f x = 0有兩個不同的實根所以m的取值范圍是(e2+2e+1,址).評注：法 1 1 是利用數(shù)形結合的思想解答了

3、該問題，這種方法直觀易懂，學生喜歡聽，老師也喜歡講這是教輔資料上給出的解答過程，但是解答過程的嚴謹性值得商榷二次函數(shù)f x的特征是學生熟知的， 而且解答過程也可以直接用二次函數(shù)的性質，但是g x的圖像說理不清22e2xe1 -2e x m 1,所以F x = 2x 1 -2e x法 2 2 :因為F x = x2F xJ _2ex2x2-e，令h x二2x3亠1 - 2e x2- e2, h x = 6x22 1 - 2e x, ,X1,X2是方程k x二0的兩實根，且X1：X2，因為e e - 1(x二e-；是二次函數(shù)k x的對稱軸），且k e=-e2e-e0 = k x2,所以x2e,其中

4、+ 匸蘭一1.由F(e)vO,F(X2)AO知F(x底區(qū)間(ex )上至少有l(wèi) 2丿一個零點，又因為F x在e, :上遞增的，所以函數(shù)F x在e,=：上有且只有一個零點下面探究當m -e22e 1時，F(xiàn) x在x三O e上有且只有一個零點.當0一m e22e 1時，由F e：0，F(xiàn) 1二e2- 2e 3-m 0知F x在區(qū)間1,e上 至少有一個零點，又因為F x在0,e上遞減，所以F x在0,e上有且只有一個零點；當m 0時，F(xiàn)e4二em，飛，24em- m，因為1 -2_10，em 4-m 0，所以F e 0，又因為F e：0,所以F x在區(qū)間e,e上至少有 一個零點，又因為F x在0,e上遞

5、減，所以F x在0,e上有且只有一個零點.綜上所述：當m -e2 2e 1時，F(xiàn) x在x 0,e上有且只有一個零點.綜上所述：函數(shù)F(x )有兩個不同零點時，實數(shù)m的取值范圍是(-e2+2e + 1,址).2e 1由hx 0得xf2e_1、.所以h(x)在0,-上遞減，在逖+j上遞增，且22e 1hO=e,he=O，e -，所以任意x 0,e，3h x : 0,F x : 0,F x在0, e上遞減； 任意x(e,邑)，h(x)O,F(X)AO,F x在e,=上遞增；所以2Fxmin=Fe=-e 2e1-m.m虧e22e 1時22eF x = x 1-2e xm 1xx21 -2e x-m 1

6、m+1.因為me22e 1,所以m 1-2eY-Ii 2丿- 1e,故方程!4（丄12e丄x +- 1 =m +1 2丿主 I必有兩個不同的實數(shù)解.設kx/4 2exm1，22e-1xm2評注：法 2 2 是基于零點存在性定理和函數(shù)單調性解答問題的，整個過程是很嚴謹?shù)? .顯然法 2 2 也是很繁瑣的，特別是想找到滿足f a f b : 0的零點區(qū)間a,b是很困難的，費 時又費力當今的教學理念是追求高效課堂、高效學習，那么又有多少人能夠靜下心來思考 這樣的問題呢如果學生和老師都滿足于法1 1 不敢或不愿去研究法 2 2,那么我們的備考方向是否有失偏頗。更重要的是，長此以往學生的思維能力的發(fā)展也

7、可能受到阻礙一點思考：其實法 1 1 和法 2 2 也是有聯(lián)系的，從法 1 1 圖中可以看出隨著m的增大，函 數(shù)F x的零點越來越靠近坐標原點，是無限逼近，這個逼近狀態(tài)是使我們在法2 2 中很難在x0,e內(nèi)找到函數(shù)值為正的根本原因發(fā)現(xiàn)了這個特征后，我們就可以不斷地取逼近零的正數(shù)，并計算其函數(shù)值，觀察是否為正數(shù)在m .0條件下，我們通過多次嘗試找到了 0,e，且F0. .之所以選擇e的指數(shù)幕，是基于指數(shù)函數(shù)的性質：當m0時，趨于零的速度較快為了在 erer：內(nèi)找到一個正的函數(shù)值， 我們利用不等式放2縮的方法當x 0時，F(xiàn) x = x2 1 - 2e x邑 -m Tx2 1 - 2e x - mT

8、 恒成立,x構造二次函數(shù)，在e, :內(nèi)找到二次函數(shù)的一個零點即可縱觀 1616 和 1717 年的全國卷 1 1 中的高考題可以發(fā)現(xiàn)，一般題目都會設計一個難點：極值點某一側滿足f a f b : 0的零點區(qū)間a,b是很難找到的比如已知函數(shù)f(x)(x-2)exa(x -1)2有兩個零點求a的取值范圍當a0時，很難在 ,1內(nèi)找到一個正的函數(shù)值通過考察函數(shù)y = (x-2bx和Iy = -a(x-1丫的圖像不難發(fā)現(xiàn)：當a趨向于零時，f(x)的零點趨 二二口 * 向于負無窮大. .f(0)=a 2，當a2時，f (0) 0，f(1)c0，、丿所以f x在0,1內(nèi)至少有一個零點；當a =2時，f x有

9、一個零a、(a、f In0，又f(1) 0，所以f(x)在In ,1|內(nèi)至少有一個零點之所以選擇In點是零；當0：a：r a)af昇2af In _ | =2 In i一3In l 2丿2I 2丿2a因為01，所以2a，是l2丿l2丿a因為當a趨向于零時，In趨向于負無窮大再如已知函數(shù)f x = ae2xa-2ex-x有兩2個零點，求a的取值范圍當0 : a 1時，這個問題難點的突破是利用不等式exx對函數(shù) 進行放縮，得到f x = ae2xa一2 ex_ x . ae2xa - 2 ex一ex. exaex a - 3，由e*(ae* +a 3 )= 0得x = In 1，且Inn丄，從而得到f n1卜0,2 丿 2 丿a12丿丿f1 (1f37又f In i0，所以函數(shù)f (x)在In-,ln _1 i內(nèi)至少有一個零點Ia丿ia(a丿丿小結：通過以上分析，不難發(fā)現(xiàn)找到滿足f a f b : 0的零點區(qū)間a,b的途徑一般有兩種：一是利用重要不等式(exx 1,In x：x-1等)