三次函數(shù)零點(diǎn)存在性探討(共4頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上三次函數(shù)零點(diǎn)存在性探討利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性，最值，極值等問(wèn)題是高考的一個(gè)難點(diǎn)同時(shí)也是熱點(diǎn)，尤其是對(duì)于含參的未知函數(shù)的性質(zhì)討論更是每年各省高考必然涉及的問(wèn)題。而三次函數(shù)的考查能夠?qū)?dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)和二次函數(shù)的考點(diǎn)巧妙結(jié)合在一起，具有較強(qiáng)的綜合性，在高考中頗受青睞，所以研究三次函數(shù)的圖象和一些簡(jiǎn)單性質(zhì)，讓它們服務(wù)于高考解題勢(shì)在必行。本文從三次函數(shù)的圖象入手，討論三次函數(shù)的零點(diǎn)存在性條件，在此基礎(chǔ)上節(jié)選近兩年高考中涉及的三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行分析，并滲透等價(jià)轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法，旨在幫助學(xué)生站在一個(gè)高度審視三次函數(shù)的一些性質(zhì)。一.知識(shí)準(zhǔn)備三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，記，設(shè)

2、的兩根為，則可以得出下面結(jié)論：（一） 圖像研究的圖象的圖象（二） 零點(diǎn)研究結(jié)合三次函數(shù)的圖象，我們可以得出以下結(jié)論：性質(zhì) 若三次曲線與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，則且；若三次曲線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則且；若三次曲線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，則且或。二鏈接高考題一（2014年高考課標(biāo)1理科卷第11題）已知函數(shù)若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ） 分析 該題的核心條件是“在唯一的零點(diǎn)，且”，作以下分析：第一步 時(shí)顯然不符合題意；第二步 時(shí)，求導(dǎo)，令，解得。由性質(zhì)我們可以得出該三次函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，即為且 ，即。結(jié)合該三次函數(shù)圖象以及特殊點(diǎn)（0,1）分析可得；第三步 解不等式組可得，選C。總結(jié) 本題的切入點(diǎn)即為三次函

3、數(shù)有唯一零點(diǎn)，在具體的解題過(guò)程中，應(yīng)該充分把握函數(shù)的特殊點(diǎn)，并結(jié)合函數(shù)的圖像加以分析，可以取得事半功倍的效果。無(wú)獨(dú)有偶，在2015年的江蘇卷中，再次出現(xiàn)了三次函數(shù)的零點(diǎn)存在性問(wèn)題，許多考生在解題時(shí)束手無(wú)策，關(guān)鍵還是對(duì)三次函數(shù)的圖象以及零點(diǎn)存在的條件把握不到位。題二（2015高考題江蘇卷第19題）已知函數(shù).（1） 試討論的單調(diào)性；（2） 若（實(shí)數(shù)是與無(wú)關(guān)的常數(shù)），當(dāng)函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍恰好是，求的值.分析 第（1）題是常規(guī)題，著重考慮求導(dǎo)以后對(duì)參數(shù)a的討論。第（2）題許多學(xué)生會(huì)感覺(jué)參數(shù)混亂，事實(shí)上把握住三次函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)的等價(jià)條件，并將其轉(zhuǎn)化成關(guān)于的四次不等式問(wèn)題，結(jié)合多項(xiàng)式不等式

4、的解集與對(duì)應(yīng)方程的解的關(guān)系，整個(gè)題目就迎刃而解了。簡(jiǎn)解（1）當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）第一步 函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于，即不等式，由題可得該四次不等式的解集為；第二步 令，討論該函數(shù)的圖象。的導(dǎo)函數(shù)為，其中恒成立，即有兩解；第三步 依次分析的圖象,由圖象可得，即可求得總結(jié) 本題的第一問(wèn)是討論含參的三次函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)其導(dǎo)函數(shù)二次函數(shù)的根的情況作為最終研究對(duì)象加以分析可得；第二問(wèn)利用三次函數(shù)三個(gè)零點(diǎn)的等價(jià)關(guān)系，巧妙的引入一個(gè)新的函數(shù)進(jìn)行討論，突出了轉(zhuǎn)化的思想，同時(shí)再次體現(xiàn)了三次函數(shù)作為導(dǎo)函數(shù)出現(xiàn)對(duì)該題的重大意義，導(dǎo)函數(shù)的工具性作用亦是發(fā)揮得淋漓盡致。利用上述性質(zhì)討論三次函數(shù)的零點(diǎn)存在性問(wèn)題十分便捷，但是在研究中結(jié)合三次函數(shù)的圖象必不可少，因此熟練掌握三次函數(shù)的圖象走勢(shì)十分重要，尤其研究三次函數(shù)在定區(qū)間上的零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，更應(yīng)該兼顧極值點(diǎn)處的函數(shù)值以及定區(qū)間上的圖象分布，以下題目作為練習(xí)可供大家深入研究。題三 （2015新課標(biāo)全國(guó)卷高考題第21題）已知函數(shù)，.(1) 當(dāng)為何值時(shí)，軸為曲線的切線；(2) 用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的特殊性決定了它在高考中的重要地位，回顧三次函數(shù)在高考中的考點(diǎn)，可以說(shuō)是涉及了三次函數(shù)圖象，切線，極值，最值，單調(diào)性，零點(diǎn)等