參數(shù)方程與普通方程的互化（課堂PPT）

1、1一、曲線的參數(shù)方程一、曲線的參數(shù)方程2在過去的學習中我們已經(jīng)掌握了一些求曲在過去的學習中我們已經(jīng)掌握了一些求曲線方程的方法，在求某些曲線方程時，直線方程的方法，在求某些曲線方程時，直接確定曲線上的點的坐標接確定曲線上的點的坐標x,y的關系并不容的關系并不容易，但如果利用某個參數(shù)作為聯(lián)系它們的易，但如果利用某個參數(shù)作為聯(lián)系它們的橋梁，那么就可以方便地得出坐標橋梁，那么就可以方便地得出坐標x,y所要所要適合的條件，即參數(shù)可以幫助我們得出曲適合的條件，即參數(shù)可以幫助我們得出曲線的方程線的方程f(x,y)0。下面我們就來研究求曲。下面我們就來研究求曲線參數(shù)方程的問題。線參數(shù)方程的問題。33、參數(shù)方程

2、和普通方程、參數(shù)方程和普通方程 的互化的互化4cos3,()sinxMy由參數(shù)方程為參數(shù) 直接判斷點的軌跡的曲線類型并不容易，但如果將參數(shù)方程轉化為熟悉的普通方程，則比較簡單。2222cos3,sincos(3)1sinxxyyM 由參數(shù)方程得：所以點 的軌跡是圓心在（3，0），半徑為1的圓。5將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，有利將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，有利于識別曲線的類型。于識別曲線的類型。 曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式。一般地，可以通過消方程的不同形式。一般地，可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程。如去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程。如果

3、知道變數(shù)果知道變數(shù)x,y中的一個與參數(shù)中的一個與參數(shù)t的關系，的關系，例如例如 ，把它代入普通方程，求，把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關系出另一個變數(shù)與參數(shù)的關系那么那么 就是曲線的參數(shù)方程。就是曲線的參數(shù)方程。 tfx tgy tgytfx6參數(shù)方程和普通方程的互化：參數(shù)方程和普通方程的互化：（1 1）普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù)）普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù)如：如：直線直線L 的普通方程是的普通方程是2x-y+2=0，可以化為參數(shù)方程.22,tytx（t為參數(shù)）為參數(shù)）在普通方程在普通方程xy=1中，令中，令x = tan ,可以化為參數(shù)方程可以化為參數(shù)方程 .cot,t

4、anyx （為參數(shù)）7（2 2）參數(shù)方程通過）參數(shù)方程通過代入消元代入消元或或加減消元加減消元消去參數(shù)消去參數(shù)化為普通方程化為普通方程如：如：參數(shù)方程參數(shù)方程.sin,cosrbyrax消去參數(shù) 可得圓的普通方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2.42,tytx參數(shù)方程（t為參數(shù)）可得普通方程：y=2x-4y=2x-4通過代入消元法消去參數(shù)t ,（x0）注意：注意： 在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x x，y y的取值范圍保的取值范圍保持一致。持一致。 否則，互化就是不等價的否則，互化就是不等價的. . 8例例3 3、

5、把下列參數(shù)方程化為普通方程，把下列參數(shù)方程化為普通方程， 并說明它們各表示什么曲線？并說明它們各表示什么曲線？1()12tytx=t(1)為參數(shù)sincos().1 sin2y x=(2)為參數(shù)9（2）把 平方后減去得到因為所以因此，與參數(shù)方程等價的普通方程是這是拋物線的一部分。(1)1 1231)11xtyx 解解： 因因為為所所以以普普通通方方程程是是（x x這這是是以以（， ）為為端端點點的的一一條條射射線線（包包括括端端點點）1 xt?所以代入ty21?cossinxsin21yyx 24sin2cossinx2,2x2,2xyx 210練習、練習、1.將下列參數(shù)方程化為普通方程：將下

6、列參數(shù)方程化為普通方程：sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2（1）（）（x-2）2+y2=9（2）y=1- 2x2（- 1x1）（3）x2- y=2（X2或或x- 2）步驟：步驟：（1）消參；）消參； （2）求定義域。）求定義域。112.求參數(shù)方程求參數(shù)方程)20()sin1 (21|,2sin2cos|yx表示表示 （ ）（A）雙曲線的一支，這支過點（）雙曲線的一支，這支過點（1，21）：）：（B）拋物線的一部分，這部分過（）拋物線的一部分，這部分過（211， ）；）；（C）雙曲線的一支，這支過點（）雙

7、曲線的一支，這支過點（1，21）；）；（D）拋物線的一部分，這部分過（）拋物線的一部分，這部分過（1，21）12分析 一般思路是：化參數(shù)方程為普通方程求出范圍、判斷。解解x2=2)2sin2(cos=1+sin=2y， 普通方程是x2=2y，為拋物線。 )42sin(2|2sin2cos|x，又02，0 x2，故應選（B）說明說明這里切不可輕易去絕對值討論，平方法是最好的方法。13例例4 4 (1)設x=3cos ， 為參數(shù)；2.tt(2)設y=， 為參數(shù)22194xy求橢圓的參數(shù)方程。解解（1）把 帶入橢圓方程，得到 于是由參數(shù) 的任意性，可取因此橢圓的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)） 1499co

8、s22y?3cosxsin2sin4cos14222yysin2y,sin2cos3yx14思考：為什么（2）中的兩個參數(shù)方程合起來才是橢圓的參數(shù)方程？2222213,191449txtxtx因此橢圓的參數(shù)方程為,2132tytxtytx2132（t為參數(shù)）和（2）把ty2代入橢圓方程，得15x,yx,y范圍與范圍與y=xy=x2 2中中x,yx,y的范圍相同，的范圍相同，2tytx代入代入y=xy=x2 2后滿足該方程，從而后滿足該方程，從而D D是曲線是曲線y=xy=x2 2的一種參數(shù)方程的一種參數(shù)方程. .2224sin A B C Dsinxtxtxtxtytytytyt、曲線曲線y=xy=x2 2的一種參數(shù)方程是（的一種參數(shù)方程是（ ）. . 注意：注意： 在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致。否則，互化就是不等價的. 在在y=xy=x2 2中，中，xR, y