小學數(shù)學解題技巧大全

1、【小學數(shù)學解題思路大全】式題的巧解妙算 （一）1.特殊數(shù)題(1)2112當被減數(shù)和減數(shù)個位和十位上的數(shù)字(零除外)交叉相等時，其差為被減數(shù)與減數(shù)十位數(shù)字的差乘以9。因為這樣的兩位數(shù)減法，最低起點是2112，差為9，即(21)×9。減數(shù)增加1，其差也就相應地增加了一個9，故3113(31)×918。減數(shù)從1289，都可類推。被減數(shù)和減數(shù)同時擴大(或縮小)十倍、百倍、千倍，常數(shù)9也相應地擴大(或縮小)相同的倍數(shù)，其差不變。如210120(21)×9090，0.650.56(65)×0.090.09。(2)31×51個位數(shù)字都是1，十位數(shù)字的和小于1

2、0的兩位數(shù)相乘，其積的前兩位是十位數(shù)字的積，后兩位是十位數(shù)字的和同1連在一起的數(shù)。若十位數(shù)字的和滿10，進1。如證明：(10a1)(10b1)100ab10a10b1100ab10(ab)1(3)26×86 42×62個位數(shù)字相同，十位數(shù)字和是10的兩位數(shù)相乘，十位數(shù)字的積與個位數(shù)字的和為積的前兩位數(shù)，后兩位是個位數(shù)的積。若個位數(shù)的積是一位數(shù)，前面補0。證明：(10ac)(10bc)100ab10c(ab)cc100(abc)cc (ab10)。(4)17×19十幾乘以十幾，任意一乘數(shù)與另一乘數(shù)的個位數(shù)之和乘以10，加個位數(shù)的積。原式(179)×107&

3、#215;9323證明：(10a)(10b)10010a10bab(10a)b×10ab。(5)63×69十位數(shù)字相同，個位數(shù)字不同的兩位數(shù)相乘，用一個乘數(shù)與另個乘數(shù)的個位數(shù)之和乘以十位數(shù)字，再乘以10，加個位數(shù)的積。原式(639)×6×103×972×60274347。證明：(10ac)(10ad)100aa10ac10adcd10a(10ac)dcd。(6)83×87十位數(shù)字相同，個位數(shù)字的和為10，用十位數(shù)字加1的和乘以十位數(shù)字的積為前兩位數(shù)，后兩位是個位數(shù)的積。如證明：(10ac)(10ad)=100aa10a(cd

4、)cd100a(a1)cd(cd10)。(7)38×22十位數(shù)字的差是1，個位數(shù)字的和是10且乘數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字相同的兩位數(shù)相乘，積為被乘數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)的平方差。原式(308)×(308)30282836。(8)88×37被乘數(shù)首尾相同，乘數(shù)首尾的和是10的兩位數(shù)相乘，乘數(shù)十位數(shù)字與1的和乘以被乘數(shù)的相同數(shù)字，是積的前兩位數(shù)，后兩位是個位數(shù)的積。(9)36×15乘數(shù)是15的兩位數(shù)相乘。被乘數(shù)是偶數(shù)時，積為被乘數(shù)與其一半的和乘以10；是奇數(shù)時，積為被乘數(shù)加上它本身減去1后的一半，和的后面添個5。54×10540。55×15(1

5、0)125×101三位數(shù)乘以101，積為被乘數(shù)與它的百位數(shù)字的和，接寫它的后兩位數(shù)。1251126。原式12625。再如348×101，因為3483351，原式35148。(11)84×49一個數(shù)乘以49，把這個數(shù)乘以100，除以2，再減去這個數(shù)。原式8400÷2844200844116。(12)85×99兩位數(shù)乘以9、99、999、。在被乘數(shù)的后面添上和乘數(shù)中9的個數(shù)一樣多的0、再減去被乘數(shù)。原式8500858415不難看出這類題的積：最高位上的兩位數(shù)(或一位數(shù))，是被乘數(shù)與1的差；最低位上的兩位數(shù)，是100與被乘數(shù)的差；中間數(shù)字是9，其個數(shù)

6、是乘數(shù)中9的個數(shù)與2的差。證明：設任意兩位數(shù)的個位數(shù)字為b、十位數(shù)字為a(a0)，則如果被乘數(shù)的個位數(shù)是1，例如31×999在999前面添30為30999，再減去30，結果為30969。71×999970999970709929。這是因為任何一個末位為1的兩位自然數(shù)都可表示為(10a1)的形式，由9組成的自然數(shù)可表示為(10n1)的形式，其積為(10a1)(10n1)10n1a(10n1)10a。(13)1÷19這是一道頗為繁復的計算題。根據(jù)“如果被除數(shù)不變，除數(shù)擴大(或縮小)若干倍，商反而縮小(或擴大)相同倍”和“商不變”性質(zhì)，可很方便算出結果。÷1.

7、9，把1.9看作2，計算程序：÷20.05。(2)把商向右移動一位，寫到被除數(shù)里，繼續(xù)除如此除到循環(huán)為止。仔細分析這個算式：÷×÷×0.10.005，就是把商向右移動一位寫到被除數(shù)里，除以1.9。這樣我們又可把除數(shù)看作2繼續(xù)除，依此類推。除數(shù)末位是9，都可用此法計算。例如1÷÷3計算。1÷÷40計算。數(shù)學素養(yǎng)與能力(含估算能力)的強弱，直接影響到人們的生活節(jié)奏和工作、學習、科研效率。已經(jīng)引起世界有關專家、學者的重視，是個亟待研究的課題。美國數(shù)學督導委員會，提出的12種面向全體學生的基本數(shù)學能力中，第6種能

8、力即估算：“學生應會通過心算或使用各種估算技巧快速進行近似計算。當解題或購物中需要計算時，估算可以用于考查合理性。檢驗預測或作出決定”(1)最高位估算只計算式中幾個運算數(shù)字的最高位的結果，估算整個算式的值大概在什么范圍。例1 113750443169最高位之和1533，結果在3000左右。如果因為忽視小數(shù)點而算成560，依據(jù)“一個不等于零的數(shù)乘以真分數(shù)，積必小于被乘數(shù)”估算，錯誤立即暴露。×整體思考。50，而50×50×1.575，又51.950，1.511.5，×1.5175。另外9×19，所以原式結果大致是75多一點，三位小數(shù)的末位數(shù)字是9

9、。例4 3279÷79把3279和79，看作3200和80。準確商接近40，若相差較大，則是錯的。(2)最低位估算例如，6403232157832813，原式和的末位必是3。(3)規(guī)律估算和大于每一個加數(shù)；兩個真分數(shù)(或純小數(shù))的和小于2；一個真分數(shù)與一個帶分數(shù)(或一個純小數(shù)與一個帶小數(shù))的和大于這個帶分數(shù)(或帶小數(shù))，且小于這個帶分數(shù)(或帶小數(shù))的整數(shù)部分與2的和；兩個帶分數(shù)(或帶小數(shù))的和總是大于兩個帶分數(shù)(或帶小數(shù))整數(shù)部分的和，且小于這兩個整數(shù)部分的和加上2；奇數(shù)±奇數(shù)偶數(shù)，偶數(shù)±偶數(shù)偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)奇數(shù)；差總是小于被減數(shù)；整數(shù)與帶分數(shù)(或帶小數(shù)

10、)的差小于整數(shù)與帶分數(shù)(或帶小數(shù))的整數(shù)部分的差；帶分數(shù)(或帶小數(shù))，與整數(shù)的差大于帶分數(shù)(或帶小數(shù))的整數(shù)部分與整數(shù)的差。帶分數(shù)(或帶小數(shù))與真分數(shù)(或純小數(shù))的差小于這個帶分數(shù)(或帶小數(shù))，且大于帶分數(shù)(或帶小數(shù))減去1的差；帶分數(shù)與帶分數(shù)(或帶小數(shù)與帶小數(shù))的差小于被減數(shù)與減數(shù)的整數(shù)部分的差，且大于這個差減去1；如果兩個因數(shù)都小于1，則積小于任意一個因數(shù)；若兩個因數(shù)都大于1，則積大于任意一個因數(shù)；帶分數(shù)與帶分數(shù)(或帶小數(shù)與帶小數(shù))的積大于兩個因數(shù)的整數(shù)部分的積，且小于這兩個整數(shù)部分分別加1后相乘的積； 例如，AABB。奇數(shù)×偶數(shù)偶數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)偶數(shù)；若除數(shù)1，則商被除

11、數(shù)；若除數(shù)1，則商被除數(shù)；若被除數(shù)除數(shù)，則商1；若被除數(shù)除數(shù)，則商1。(4)位數(shù)估算整數(shù)減去小數(shù)，差的小數(shù)位數(shù)等于減數(shù)的小數(shù)位數(shù)；例如，3200.68，差為兩位小數(shù)。最高位的乘積滿十的兩個整數(shù)相乘的積的位數(shù)，等于這兩個數(shù)的位數(shù)和；例如，451×7103最高位的積4×728，滿10，結果是347(位數(shù))。在整除的情況下，被除數(shù)的前幾位不夠除，商的位數(shù)等于被除數(shù)的位數(shù)減去除數(shù)的位數(shù)；例如，147342÷2714不夠27除，商是422(位數(shù))。被除數(shù)的前幾位夠除，商的位數(shù)等于被除數(shù)的位數(shù)與除數(shù)位數(shù)的差加上1。例如，30226÷238302夠238除，商是531

12、3(位數(shù))。(5)取整估算把接近整數(shù)或整十、整百、的數(shù)，看作整數(shù)，或整十、整百的數(shù)估算。21，和定小于3。12×10×10，積接近100。應用交換律、結合律，把能湊整的數(shù)先并起來或去括號。12.96(3.346.66)330例3 15.74(8.523.74)例4 1600÷(400÷7)1600÷400×74×7 28根據(jù)乘法分配律，可逆聯(lián)想。(3.256.75)×0.410×4×10×1875 8716.擴 縮 式××36×(6436)×10

13、040例2 16×457.分 解 式例如，14×7242×7614×3×2442×7642×(2476)42×10042008.約 分 式3×7×242例2 169÷4÷7×28÷13 =1988÷9.拆 分 式10.拆 積 式例如，32××25 8××(4×25)10×100100011.換 和 式×8(0.1250.0007)×8(8.370.32)(5.680.

14、32)12.換 差 式13.換 乘 式例1 123234345456567678(123678)×3801×32403例2(6.726.726.726.72)×25×(4×25)672例3 45000÷8÷12545000÷(8×125)45000÷100045÷÷25÷×4×25)÷80÷例5 33333×3333311111×9999911111×(1000001)11111000001111

15、11111088889綜合應用，例如100071007(11.751.254.150.85)×125.25(轉)(11.751.25)(4.150.85)×125.25(合)8×8×(1250.25)(拆)8×1258×0.25100214.換 除 式例如，5600÷(25×7)5600÷7÷25800÷253215.直 接 除例1 7452369×327如果兩個分數(shù)的分子相同，且等于分母之和(或差)，那么這兩個分數(shù)的和(或差)等于它們的積。知，兩個分數(shù)的分子都是1，分母是連

16、續(xù)自然數(shù)，其差等于其積?？梢?，各分數(shù)的分子都是1。第一個減數(shù)的分母等于被減數(shù)的分母加1。第二個減數(shù)的分母等于被減數(shù)的分母與第一個減數(shù)的分母的積加1，第n個減數(shù)的分母等于被減數(shù)的分母與第一、二、第n-1個減數(shù)的分母的連乘積加上1。(n為不小于2的自然數(shù))其差等于其積 一個整數(shù)與一個整數(shù)部分和分子都是1，分母比整數(shù)(另個乘數(shù))小1 例如，25×123678448123678448×(100÷4)÷43091961200198666213243510÷15(35101170)÷10234÷4÷6×24÷

17、;27觀察其特點，例如，3724993725001871例如，4763024763002778應用“被減數(shù)、減數(shù)同時增加或減少相同的數(shù)，其差不變”的性質(zhì)，使原來減去一個帶分數(shù)或帶小數(shù)，變成減去整數(shù)。=(8.37+0.32)-(5.68+0.32)例如，1992×27.51982×1992×27.5(1992-10)×1992×27.51992××1992×(27.572.5)-725=199200-725=198475或原式=(198210)×27.51982×觀察整數(shù)和分數(shù)部分，顯然原式=3。

18、例如，(12399)(4812396)(12399)4(1+2+399)5(12+399)有的學生通分時用短除法，找了許多數(shù)試除都不行，而斷定57和76為互質(zhì)數(shù)。判斷兩個數(shù)是否互質(zhì)，不必用2、3、5、逐個試除。把其中一個分解質(zhì)因數(shù)，看另一個數(shù)能否被這里的某個質(zhì)因數(shù)整除即可。573×19，如果57和76有公有的質(zhì)因數(shù)，只可能是3或19。用3、19試除，57，7619×3×4228。262×13，65和91是13的倍數(shù)。最小公分母為13×2×5×7910。教材中講分解質(zhì)因數(shù)，主要是為了求幾個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，給通分和約

19、分打基礎。其實，分解質(zhì)因數(shù)在解題中很有用處。提供新解法，啟迪創(chuàng)造思維。例1 184×75原式2×2×46×3×5×5=46×3×(2×5)2=138×100=13800。38.“1、1”法一個整數(shù)減去一個帶分數(shù)，可用這個整數(shù)減去比減數(shù)的整數(shù)部分多1的數(shù)，再從1中減去分數(shù)部分。為便于記憶，稱“1、1”法。39.“1，9，910”法一個整數(shù)減去一個小數(shù)(末位不為0)，可先減去比小數(shù)高位多1的數(shù)，再從9中減去其它位數(shù)，最后從10中減去末位數(shù)。例1 650×74÷65(650

20、7;65)×7410×74740例2 176×98÷49176×(98÷49)176×2352例3 7÷13×52÷4例4 102××99×8102×991×9999×(l00)990099999941.用 數(shù) 據(jù)熟記一些特殊數(shù)據(jù)，可使計算簡捷、迅速。例1 由37×3111知 37×6111×222237×1537×3×5555例3 1000以內(nèi)(不包括整十、整百)只含因數(shù)2或

21、5的2、4、8、16、32、64、128、256、512；5、25、125、625。這些數(shù)作分母的分數(shù)才能化成有限小數(shù)，不需試除。例4 特殊分數(shù)化小數(shù)分母是5、20、25、50的最簡分數(shù)，在化為小數(shù)時，把分子相應地擴大2、5、4、2倍，再縮小10、100倍。分母是8的最簡分數(shù)，分子是1、3，小數(shù)的第一位也是1、3。分母是9的最簡分數(shù)，循環(huán)節(jié)的數(shù)字和分子的數(shù)字相同。例5 191×3.143.14 6×2×3.146.28 7×3×3.149.42 8×4×3.1412.56 9×5×熟記這些數(shù)值，可口算。&

22、#215;13=10+3×89=90-×變?yōu)檎麛?shù)，三位數(shù)前面補0改為四位數(shù)，這樣不會把數(shù)位搞錯，將結果左端的0去掉，點上小數(shù)點得4.9612。也可從高位算起。仔細審題，知第二個括號里的結果為0，此題得0。 所以可直接得0。×0.9)÷(3.82.8)除數(shù)為1，則商就是被除數(shù)。 變 式44.用 規(guī) 律例1 682702兩個連續(xù)奇(偶)數(shù)的平方和，等于這兩個數(shù)之積的2倍加4的和。原式68×70×24952049524。例2 5225125251103兩個連續(xù)自然數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和。例3 18×1920任意三個連續(xù)自然數(shù)

23、，最小數(shù)與中間數(shù)的乘積加上最大數(shù)的和，等于最大數(shù)與中間數(shù)的乘積減去最小數(shù)。原式20×1918362。例4 16×1715×18四個連續(xù)自然數(shù)，中間兩個的積比首尾兩個的積多2。原式2。證明：設任意四個連續(xù)自然數(shù)分別為a1、a、a1、a2，則a(a1)(a1)(a2)a2+a-a2-a22。例5 一個從第一位開始有規(guī)律循環(huán)的多位數(shù)(包括整數(shù)部分是0的純循環(huán)小數(shù))，乘以一個與其循環(huán)節(jié)位數(shù)相同的數(shù)，其規(guī)律適用于一些題的簡算。ABAB×CD(AB×100AB)×CDAB×100×CDAB×CD(CD×10

24、0CD)×ABCDCD×AB如：125×5×1616×78125×5×7878×16(125×8)×(5×2)×787878780000在基礎題上深化。例如，觀察(1)的解題過程，逆用各步的結構特點，46.巧 歸 納例如，121009911100的和為5050，再加一倍為10100，減去多加的100為10000。但速度太慢。有相同的行數(shù)和列數(shù)，用點或圈列成正方形的數(shù)，叫作正方形數(shù)。由圖知1232+132，1234+54+32152。不難發(fā)現(xiàn)，和為最大加數(shù)的平方。顯然，5629

25、30296530242-4900164880?！拘W數(shù)學解題思路大全】巧想妙算文字題（一）1.想 數(shù) 碼例如，1989年“從小愛數(shù)學”邀請賽試題6：兩個四位數(shù)相加，第一個四位數(shù)的每一個數(shù)碼都不小于5，第二個四位數(shù)僅僅是第一個四位數(shù)的數(shù)碼調(diào)換了位置。某同學的答數(shù)是16246。試問該同學的答數(shù)正確嗎？(如果正確，請你寫出這個四位數(shù)；如果不正確，請說明理由)。思路一：易知兩個四位數(shù)的四個數(shù)碼之和相等，奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)，偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)，這兩個四位數(shù)相加的和必為偶數(shù)。相應位數(shù)兩數(shù)碼之和，個、十、百、千位分別是17、13、11、15。所以該同學的加法做錯了。正確答案是思路二：每個數(shù)碼都不小于5，百位上兩數(shù)碼之和

26、的11只有一種拆法56，另一個5只可能與8組成13，6只可能與9組成15。這樣個位上的兩個數(shù)碼，8916是不可能的。不要把“數(shù)碼調(diào)換了位置”誤解為“數(shù)碼順序顛倒了位置?！崩? 比較 1222×1222和 1221×1223的大小。由兩式的尾數(shù)2×24，1×33，且43。知 1222×12221221×1223例2 二數(shù)和是382，甲數(shù)的末位數(shù)是8，若將8去掉，兩數(shù)相同。求這兩個數(shù)。由題意知兩數(shù)的尾數(shù)和是12，乙數(shù)的末位和甲數(shù)的十位數(shù)字都是4。由兩數(shù)十位數(shù)字之和是817，知乙數(shù)的十位和甲數(shù)的百位數(shù)字都是3。甲數(shù)是348，乙數(shù)是34。例3

27、 請將下式中的字母換成適當?shù)臄?shù)字，使算式成立。由3和a5乘積的尾數(shù)是1，知a5只能是7；由3和a4乘積的尾數(shù)是725，知a4是5；不難推出原式為142857×3428571。例如，從110的十個數(shù)中，每次取兩個數(shù)，要使其和大于10，有多少種取法？思路一：較大數(shù)不可能取5或比5小的數(shù)。取6有65；取7有74，75，76；取10有九種 101，102，109。共為 1357925(種)。思路二：兩數(shù)不能相同。較小數(shù)為1的只有一種取法110；為2的有29，210；較小數(shù)為9的有910。共有取法12345432125(種)這是從較小數(shù)想起，當然也可從9或8、7、開始。思路三：兩數(shù)和最大的是1

28、9。兩數(shù)和大于10的是11、12、19。和是11的有五種110，29，38，47，56；和是1119的取法54433221125(種)。用最大與最小數(shù)之積作內(nèi)項(或外項)的積，剩的相乘為外項(或內(nèi)項)的積，由比例基本性質(zhì)知交換所得比例式各項的位置，可很快列出全部的八個比例式。例如，思考題：在五個0.5中間加上怎樣的運算符號和括號，等式就成立？其結果是0，0.5，1，1.5，2。從得數(shù)出發(fā)，想：兩個相同數(shù)的差，等于0；一個數(shù)加上或減去0，仍等于這個數(shù)；一個因數(shù)是0，積就等于0；0除以一個數(shù)(不是0)，商等于0；兩個相同數(shù)的商為1；1除以0.5，商等于2；解法很多，只舉幾種：(0.50.5)

29、15;××0.500.50.5(0.50.5)×0.50(0.50.50.5)×(0.50.5)0(0.50.50.50.5)×0.50(0.50.5)××(0.50.5)×(0.50.5)×(0.50.5)×0.50.50.51÷0.5(0.50.5)×0.51(0.50.5)÷0.50.50.51(0.50.5)÷0.5(0.50.5)1÷(0.50.5)×÷÷÷÷0.50.50.52(0.5

30、0.5)÷0.50.50.52(0.50.50.50.5)÷0.52(0.50.5)×0.50.5÷0.526.想平均數(shù) 思路一：由“任意三個連續(xù)自然數(shù)的平均數(shù)是中間的數(shù)”。設第一個數(shù)為“1”，則中間數(shù)占知這三個數(shù)是14、15、16。二、一個數(shù)分別為16115，15114 或 16214。若先求第一個數(shù)，則思路三：設第三個數(shù)為“1”，則第二、三個數(shù)，知是15、16。思路四：第一、三個數(shù)的比是78，第一個數(shù)是2÷(87)×714。若先求第三個數(shù)，則2÷(87)×816。 例1 思考題：在1、2、3、4、5、6、7、8

31、、9九個數(shù)字中，不改變它們的順序、在它們中間添上加、減兩種符號，使所得的結果都等于100。例如123456789100123456789100你還能想出不同的添法嗎？12345678945。若去掉7和8間的“”，式左為123456789，比原式和增大了78(78)63，即1234567894563108。為使其和等于100，式左必須減去8。加4改為減4，即可123456789100?！皽p去4”可變?yōu)椤皽p1、減3”，即123456789100二年級小學生沒學過負“1”，不能介紹。如果式左變?yōu)?23456789。12(12)89(89)81。即 123456789458110026。要將“”變?yōu)椤?/p>

32、”的數(shù)和為13，在3、4、5、6、7中有67，346，因而有123456789100，123456789100，同理得123456789100，123456789100，123456789100，123456789100，123456789100，123456789100。為了減少計算。應注意：(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中間添上加、減(不再去掉某兩數(shù)間的加號)，結果為100呢？1、23、5、7、89的和或差是奇數(shù)，4、6的和或差是偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)奇數(shù)，結果不會是100。(2)有一個是四位數(shù)，結果也不可能為100。因為1234減去余下數(shù)字組成(按順序)的最大數(shù)789，再

33、減去余下的56，差大于100。例2 求59199的奇數(shù)和。由從1開始的連續(xù)n個奇數(shù)和、等于奇數(shù)個數(shù)n的平方1357(2n1)n2奇數(shù)比它對應的序數(shù)2倍少1。用n表示任意一個自然數(shù)，它對應的奇數(shù)為2n1。例如，32對應奇數(shù)2×32163。奇數(shù)199，從1起的連續(xù)奇數(shù)中排列在100(2n1199，n100)的位置上。知1199的奇數(shù)和是100210000。此和包括59，2n157、n29、157的奇數(shù)和為292841。所求為 100008419159?；蛘?5930×21，302900，10000900599159。例1 思考題：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數(shù)字中，

34、不改變它們的順序、在它們中間添上加、減兩種符號，使所得的結果都等于100。例如123456789100123456789100你還能想出不同的添法嗎？12345678945。若去掉7和8間的“”，式左為123456789，比原式和增大了78(78)63，即 1234567894563108。為使其和等于100，式左必須減去8。加4改為減4，即可123456789100?！皽p去4”可變?yōu)椤皽p1、減3”，即123456789100二年級小學生沒學過負數(shù)“1”，不能介紹。如果式左變?yōu)?23456789。12(12)89(89)81。即 123456789458110026。要將“”變?yōu)椤啊钡臄?shù)和為1

35、3，在3、4、5、6、7中有67，346，因而有123456789100，123456789100，同理得123456789100，123456789100，123456789100，123456789100，123456789100，123456789100。為了減少計算。應注意：(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中間添上加、減(不再去掉某兩數(shù)間的加號)，結果為100呢？1、23、5、7、89的和或差是奇數(shù)，4、6的和或差是偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)奇數(shù)，結果不會是100。(2)有一個是四位數(shù)，結果也不可能為100。因為1234減去余下數(shù)字組成(按順序)的最大數(shù)789，再減去余下的5

36、6，差大于100。例2 求59199的奇數(shù)和。由從1開始的連續(xù)n個奇數(shù)和、等于奇數(shù)個數(shù)n的平方1357(2n1)n2奇數(shù)比它對應的序數(shù)2倍少1。用n表示任意一個自然數(shù)，它對應的奇數(shù)為2n1。例如，32對應奇數(shù)2×32163。奇數(shù)199，從1起的連續(xù)奇數(shù)中排列在100(2n1199，n100)的位置上。知1199的奇數(shù)和是100210000。此和包括59，2n157、n29、157的奇數(shù)和為292841。所求為 100008419159?；蛘?5930×21，302900，10000900599159。任意兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積，等于這兩個自然數(shù)的積。證明：設

37、M、N(都是自然數(shù))的最大公約數(shù)為P，最小公倍數(shù)為Q、且M、N不公有的因數(shù)各為a、b。那么 M×NP×a×P×b。而 QP×a×b，所以 M×NP×Q。例1 甲乙兩數(shù)的最大公約數(shù)是7，最小公倍數(shù)是105。甲數(shù)是21，乙數(shù)是多少？例2 已知兩個互質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)是155，求這兩個數(shù)。這兩個互質(zhì)數(shù)的積為1×155155，還可分解為5×31。所求是1和155，5和31。例3 兩數(shù)的最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是40，大數(shù)是數(shù)的2.5倍，求各數(shù)。由上述定理和題意知兩數(shù)的積，是小數(shù)平方的2.5倍。小數(shù)的平方

38、為4×40÷2.564。小數(shù)是8。大數(shù)是8×2.520。算理：4×408×208×(8×2.5)82×2.5。9.想 份 數(shù) 例1 四個比1大的整數(shù)的積是144，寫出由這四個數(shù)組成的比例式。14424×32(22×3)×(2×3)×2(4×3)×(6×2)可組成4623等八個比例式。例2 三個連續(xù)自然數(shù)的積是4896，求這三個數(shù)。489625×32×1724×17×(2×32)16

39、15;17×18172826×33(22×3)31233855×7×11例4 1992年小學數(shù)學奧林匹克試題初賽(C)卷題3：找出1992的所有不同的質(zhì)因數(shù)，它們的和是多少？19922×2×2×3×83238388例5 甲數(shù)比乙數(shù)大9，兩數(shù)的積是1620，求這兩個數(shù)。162022×34×5(32×22)×(32×5)甲數(shù)是45，乙數(shù)是36。例6 把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成兩組，每組四個數(shù)且積相等，求這兩組數(shù)。八個數(shù)的積

40、等于2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。每組數(shù)的積為2×32×52×7×11×132×127。兩組為例7 600有多少個約數(shù)？6006×1002×3×2×2×5×523×3×52只含因數(shù)2、3、5、2

41、15;3、2×5、3×5、2×3×5的約數(shù)分別為：2、22、23；3；5、52；2×3、22×3、23×3；2×5、22×5、23×5、2×52、22×52、23×52；3×5、3×52；2×3×5、22×3×5、23×3×5、2×3×52、22×3×52、23×3×52。不含2×3×5的因數(shù)的數(shù)只有1。這八

42、種情況約數(shù)的個數(shù)為；3123626124。不難發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律：把給定數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，寫成冪指數(shù)形式，各指數(shù)分別加1后相乘，其積就是所求約數(shù)的個數(shù)。(31)×(11)×(21)24。 17.想 法 則用來說明運算規(guī)律(或方法)的文字，叫做法則。 子比分母少16。求這個分數(shù)？由“一個分數(shù)乘以5，是分子乘以5分母不變”，結果是分子的5倍比 3倍比分母少16。知分子的532(倍)是21618，分子為18÷29，分母為9×5243或9×31643。18.想 公 式證明方法：以分母a，要加(或減)的數(shù)為(2)設分子加上(或減去)的數(shù)為x，分母應加上(或減去)的

43、數(shù)為y。19.想 性 質(zhì)例1 1992年小學數(shù)學奧林匹克試題初賽(C)卷題6：有甲、乙兩個 多少倍？200÷1612.5(倍)。例2 思考題：三個最簡真分數(shù)，它們的分子是連續(xù)自然數(shù)，分母大于10，且它們最小公分母是60；其中一個分數(shù)的值，等于另兩個分數(shù)的和。寫出這三個分數(shù)。由“分母都大于10，且最小公分母是60”，知其分母只能是12、15、20；12、15、30；12、15、60。由“分子是連續(xù)自然數(shù)”，知分子只能是小于12的自然數(shù)。滿足題意的三個分數(shù)是(二)第400個分數(shù)是幾分之幾？此題特點：(2)每組分子的排列：假設某一組分數(shù)的分母是自然數(shù)n，則分子從1遞增到n，再遞減到1。分數(shù)

44、的個數(shù)為nn12n1，即任何一組分數(shù)的個數(shù)總是奇數(shù)。(3)分母數(shù)與分數(shù)個數(shù)的對應關系，正是自然數(shù)與奇數(shù)的對應關系分母：1、2、3、4、5、分數(shù)個數(shù)：1、3、5、7、9、(4)每組分數(shù)之前(包括這組本身)所有分數(shù)個數(shù)的和，等于這組的組號(這一組的分母)的平方。例如，第3組分數(shù)前(包括第3組)所有分數(shù)個數(shù)的和是32=9。 10×216=13(個)位置上。 分別排在81788(個)，8113=94(個)的位置上?；蛘?02=100， 10012=88。100694， 88694。問題(二)：由上述一串分數(shù)個數(shù)的和與組號的關系，將400分成某數(shù)的平方，這個數(shù)就是第400個分數(shù)所在的組數(shù)400

45、202，分母也是它。第400個分數(shù)在第20組分數(shù)中，400是這20組分數(shù)的和且正好是20的平方無剩余，故可斷定是最后一個，即 若分解為某數(shù)的平方有剩余，例如，第415個和385個分數(shù)各是多少。逆向思考，上述的一串分數(shù)中，分母是35的排在第幾到第幾個？352(35×21)112256911157。排在11571225個的位置上。例如，1989年從小愛數(shù)學邀請賽試題：接著1989后面寫一串數(shù)字，寫下的每一個數(shù)字都是它前面兩個數(shù)字的乘積的個位數(shù)字。例如，8×972，在9后面寫2，9×218，在2后面寫8，得到一串數(shù)：1989286這串數(shù)字從1開始往右數(shù)，第1989個數(shù)字

46、是什么？顯然，1989后面的數(shù)總是不斷重復出現(xiàn)286884，每6個一組。(19894)÷63305最后一組數(shù)接著的五個數(shù)字是28688，即第1989個數(shù)字是8。21.用 規(guī) 律例1 第六冊P62第14題：選擇“、×、÷”中的符號，把下面各題連成算式，使它們的得數(shù)分別等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。(1)2 2 2 2 20(2)2 2 2 2 21(10)2 2 2 2 29解這類題的規(guī)律是：先想用兩、三個2列出，結果為0、1、2的基本算式：220，2÷21；再聯(lián)想22÷21，2×2÷22，2÷223，

47、每題都有幾種選填方法，這里各介紹一種：2÷22÷2202÷2×22÷21222÷2×222×22÷2232×2×222422÷22×252222×262×2×22÷272÷2×2×2×282÷22×2×29例2 第六冊P63題4：寫出奇妙的得數(shù)21×9312×94123×951234×9612345×9得數(shù)依

48、次為11、111、1111、11111、111111。此組算式的特點：第一個加數(shù)由2開始，每式依次增加1。第二個加數(shù)由乘式組成，被乘數(shù)的位數(shù)依次為1、12、123、繼續(xù)寫下去7123456×9=111111181234567×9=11111111912345678×911111111110123456789×91111111111111234567900××很自然地想到，可推廣為(1)當n=1、2時，等式顯然成立。(2)設n=k時，上式正確。當n=k1時k1123k×9=k1123(k1)×10k×9=k

49、1123(k1)×9×109k=k123(k1)×9×101根據(jù)數(shù)學歸納法原理，由(1)、(2)可斷定對于任意的自然數(shù)n，此等式都成立。例3 牢記下面兩個規(guī)律，可隨口說出任意一個自然數(shù)作分母的，所有真分數(shù)的和。(1)奇數(shù)(除1外)作分母的所有真分數(shù)的和、是(分母1)÷2。=(211)÷2=10。 比5小，分母是13的最簡分數(shù)有多少個。 764為64(71)58(個)，去掉13的倍數(shù)13、26、39、52，余下的作分子得54個最簡分數(shù)。例2 一個整數(shù)與1、2、3，通過加減乘除(可添加括號)組成算式，若結果為24這個整數(shù)就是可用的。4、5

50、、6、7、8、9、10中，有幾個是可用的?？唇Y果，想條件，知都是可用的。4×(123)24(512)×3246×(321)247×312248×3÷(21)249×3122410×21324無論某數(shù)是多少，原分數(shù)的分子與分母的和711=18是不變的。而新分數(shù)的分子與分母的和為12=3，要保持原和不變，必同時擴大18÷36(倍)。某數(shù)為761或12111。算理，原式相當于 求這個分數(shù)。分子與分母的差41356是不變的。新分數(shù)的此差是871，要保持原差不變，新分數(shù)的分子和分母需同時擴大6÷16(倍)

51、。某數(shù)為42357，或48417。與上例同理。231112，312，12÷26，某數(shù)為1165或23185。分子加上3變成1，說明原分數(shù)的分子比分母小3。當分母加上2后，分子比分母應小32=5。對于任意分母大于2的同分母最簡真分數(shù)來說，其元素的個數(shù)一定是偶數(shù)，和為這個偶數(shù)的一半。分母減去所有非最簡真分數(shù)(包括分子和分母相同的這個假分數(shù))的個數(shù)，差就是這個偶數(shù)。例1 求分母是12的所有最簡真分數(shù)的和。由12中2的倍數(shù)有6個，3的倍數(shù)有4個，(2×3)的倍數(shù)2個，知所求數(shù)是例2 分母是105的，最簡真分數(shù)的和是多少？ 倍數(shù)15個，(3×5)、(5×7)、(3

52、×7)的倍數(shù)分別是7、3、5個，(3×5×7)的倍數(shù)1個。知105(352115)(357)148，48÷224。 個數(shù)。若從中找出和為1的9個分數(shù)，將上式兩邊同乘以2，得這九個分數(shù)是例如，九冊思考題：1÷11、2÷11、3÷1110÷11。想一想，得數(shù)有什么規(guī)律？可見，除數(shù)是11，被除數(shù)是1的幾倍(倍數(shù)不得大于或等于11)，商 17÷11(116)÷1111÷116÷11凡商是純循環(huán)小數(shù)的除式，都有此規(guī)律；不是純循環(huán)小數(shù)的，得數(shù)不存在這一規(guī)律。不難發(fā)現(xiàn)，它們循環(huán)節(jié)的位數(shù)比除

53、數(shù)少1，循環(huán)數(shù)字和順序相同，只是起點不同。只要記住1÷7的循環(huán)節(jié)數(shù)字“142857”和順序，計算時以最大商的數(shù)字為起點，順序寫出全部循環(huán)節(jié)數(shù)字，即可。例如，思考題：計算1212÷101，3939÷303，你能從計算中得到啟發(fā)，很快說出下面各題的得數(shù)？4848÷202，7575÷505，3939÷303(3030909)÷3033030÷303909÷30310313備課用書這種由“除法的分配律”解，要使三年級學生接受，比較困難。若從“除法的驗算”推導由3939÷303( )，商百位上的3和13相

54、乘才可得39，商個位上的3也必須與13相乘得39，除數(shù)是13確定無疑。顯然，在被除數(shù)上面寫上除數(shù)，使位數(shù)對齊，口算很快會得出結果。 所以商是12。30.想 倍 比31.擴 縮 法例如，兩數(shù)和是42，如果其中一個數(shù)擴大5倍，另一個數(shù)擴大4倍，則和是181。求這兩個數(shù)。若把和，即這兩個數(shù)都擴大4倍，則得數(shù)比181小，因為原來擴大5倍的那個數(shù)少擴大了1倍。差就是那個數(shù)。18142×413421329若把兩數(shù)都擴大5倍，結果比181多了原來擴大4倍的那個數(shù)。42×518129，422913。若把181縮小4倍，則得數(shù)比42大。因為其中的一個數(shù)先擴大5倍，又 若把181縮小5倍，得數(shù)

55、比42小。因為先擴大4倍的那個數(shù)，又縮小5 最佳想法：兩數(shù)擴大的倍數(shù)不同，181不會是42的整倍數(shù)。相除就把多擴大1倍的那個數(shù)以余數(shù)形式分離出來。181÷424余13。另個數(shù)可這樣求例如，1992年中學數(shù)學奧林匹克試題初賽(C)卷題5：把一個正方形的一邊減少20，另一邊增加2米，得到一個長方形，它與原來的正方形面積相等。那么，正方形的面積是多少平方米。設正方形的邊長為1，另一邊增加的百分數(shù)為x，則(11×20)×(1x)1，正方形邊長 2÷258(米)，面積 8×864(平方米)。33.變數(shù)為式例如，(12399)(4812396)(12399

56、)4(1+2+399)5(12+399)有的學生通分時用短除法，找了許多數(shù)試除都不行，而斷定57和76為互質(zhì)數(shù)。判斷兩個數(shù)是否互質(zhì)，不必用2、3、5、逐個試除。把其中一個分解質(zhì)因數(shù)，看另一個數(shù)能否被這里的某個質(zhì)因數(shù)整除即可。573×19，如果57和76有公有的質(zhì)因數(shù)，只可能是3或19。用3、19試除，57，7619×3×4228。262×13，65和91是13的倍數(shù)。最小公分母為13×2×5×7910。教材中講分解質(zhì)因數(shù)，主要是為了求幾個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，給通分和約分打基礎。其實，分解質(zhì)因數(shù)在解題中很有用處。提供新解法，啟迪創(chuàng)造思維。例2 184×75原式2×2×46×3×5&