小學數(shù)學奧數(shù)基礎(chǔ)教程五年級05

1、小學數(shù)學奧數(shù)基礎(chǔ)教程(五年級)本教程共30講數(shù)的整除性（一）三、四年級已經(jīng)學習了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的數(shù)的特征，也學習了一些整除的性質(zhì)。這兩講我們系統(tǒng)地復習一下數(shù)的整除性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)解答一些問題。數(shù)的整除性質(zhì)主要有：（1）如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。（2）如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差都能被這個自然數(shù)整除。（3）如果一個數(shù)能分別被幾個兩兩互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個數(shù)能被這幾個兩兩互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。（4）如果一個質(zhì)數(shù)能整除兩個自然數(shù)的乘積，那么這個質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個自然數(shù)中的一個。（5）幾個數(shù)相乘，如果其

2、中一個因數(shù)能被某數(shù)整除，那么乘積也能被這個數(shù)整除。靈活運用以上整除性質(zhì)，能解決許多有關(guān)整除的問題。例1 在里填上適當?shù)臄?shù)字，使得七位數(shù)7358能分別被9，25和8整除。分析與解：分別由能被9，25和8整除的數(shù)的特征，很難推斷出這個七位數(shù)。因為9，25，8兩兩互質(zhì)，由整除的性質(zhì)（3）知，七位數(shù)能被 9×25×8=1800整除，所以七位數(shù)的個位，十位都是0；再由能被9整除的數(shù)的特征，推知首位數(shù)應填4。這個七位數(shù)是4735800。例2 由2000個1組成的數(shù)11111能否被41和271這兩個質(zhì)數(shù)整除？分析與解：因為41×271=11111，所以由每5個1組成的數(shù)1111

3、1能被41和271整除。按“11111”把2000個1每五位分成一節(jié)， 2000÷5=400，就有400節(jié)，因為2000個1組成的數(shù)1111能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)（1）可知，由2000個1組成的數(shù)11111能被41和271整除。例3 現(xiàn)有四個數(shù)：76550，76551，76552，76554。能不能從中找出兩個數(shù)，使它們的乘積能被12整除？分析與解：根據(jù)有關(guān)整除的性質(zhì)，先把12分成兩數(shù)之積：12=12×1=6×2=3×4。要從已知的四個數(shù)中找出兩個，使其積能被12整除，有以下三種情況：（1）找出一個數(shù)能被

4、12整除，這個數(shù)與其它三個數(shù)中的任何一個的乘積都能被12整除；（2）找出一個數(shù)能被6整除，另一個數(shù)能被2整除，那么它們的積就能被12整除；（3）找出一個數(shù)能被4整除，另一個數(shù)能被3整除，那么它們的積能被12整除。容易判斷，這四個數(shù)都不能被12整除，所以第（1）種情況不存在。對于第（2）種情況，四個數(shù)中能被6整除的只有76554，而76550，76552是偶數(shù)，所以可以選76554和76550，76554和76552。對于第（3）種情況，四個數(shù)中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以選76552和76551，76552和76554。綜合以上分析，去掉相同的，可知兩

5、個數(shù)的乘積能被12整除的有以下三組數(shù)：76550和76554， 76552和76554， 76551和 76552。例4 在所有五位數(shù)中，各位數(shù)字之和等于43且能夠被11整除的數(shù)有哪些？分析與解：從題設(shè)的條件分析，對所求五位數(shù)有兩個要求：各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43；能被11整除。因為能被11整除的五位數(shù)很多，而各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43的五位數(shù)較少，所以應選擇為突破口。有兩種情況：（1）五位數(shù)由一個7和四個9組成；（2）五位數(shù)由兩個8和三個9組成。上面兩種情況中的五位數(shù)能不能被11整除？9，8，7如何擺放呢？根據(jù)被11整除的數(shù)的特征，如果奇數(shù)位數(shù)字之和是27，偶數(shù)位數(shù)字之和是16，那么差是11

6、，就能被11整除。滿足這些要求的五位數(shù)是： 97999，99979， 98989。例5 能不能將從1到10的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個數(shù)之和都能被3整除？分析與解：10個數(shù)排成一行的方法很多，逐一試驗顯然行不通。我們采用反證法。假設(shè)題目的要求能實現(xiàn)。那么由題意，從前到后每兩個數(shù)一組共有5組，每組的兩數(shù)之和都能被3整除，推知110的和也應能被3整除。實際上，110的和等于55，不能被3整除。這個矛盾說明假設(shè)不成立，所以題目的要求不能實現(xiàn)。練習51.已知4205和2813都是29的倍數(shù)，1392和7018是不是29的倍數(shù)？2.如果兩個數(shù)的和是64，這兩個數(shù)的積可以整除4875，那么這兩個數(shù)的

7、差是多少？是個四位數(shù)。數(shù)學老師說：“我在這個中先后填入3個數(shù)字，所得到的 3個四位數(shù)，依次可以被9，11，6整除。”問：數(shù)學老師先后填入的3個數(shù)字之和是多少？班有多少名學生？6.能不能將從1到9的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個數(shù)之和都能被3整除？練習51.是。提示：7018和1392分別是4205與2813的和與差。提示：已知這兩個數(shù)的積可以整除4875，說明這兩個數(shù)都是4875的因數(shù)。4875= 3×5×5×5×13，用這些因子湊成兩個數(shù)，使它們的和是64，顯然這兩個數(shù)是3×13=39和5×5=25。它們的差是39-25=14。提示：先后填入的三個數(shù)依次是7，8，4。和321654。提示：由題意知，b，d，f是偶數(shù)，e= 5，所以a，c只能是1和3。6，進而知f=4，所求數(shù)為123654和321654。人。提示：總分等于平均分乘以學生人數(shù)，因為平均分90=9×10，所以總（人）。6.不能。提示：假設(shè)能。