整合知識成系統(tǒng),歸納方法悟道理

1、整合知識成系統(tǒng)，歸納方法悟道理宜豐中學(xué) 羅柳英每年一度的高考備考早已拉開了序幕，如何提高高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的效率是一個(gè)永恒的主題。許多學(xué)校、許多老師都有非常成功經(jīng)驗(yàn)，也取得了卓著的成效。下面就我個(gè)人的所見所聞，所思所想談一談我的一管之見，不正確之處，請多批評指正。下面我分三個(gè)方面說：一、現(xiàn)狀分析；二、平面向量第一課時(shí)設(shè)計(jì)意圖；三、提高復(fù)習(xí)效率的幾點(diǎn)建議一、現(xiàn)狀分析高中三年的新課絕大多數(shù)學(xué)校兩年全部學(xué)完，留下足足一年的時(shí)間進(jìn)行復(fù)習(xí)。三百多個(gè)日日夜夜，三百多節(jié)課。我們的老師、學(xué)生拼了老命地干，到最后還是憂多喜少。我常見到許多這樣的學(xué)生，一走出考場就會發(fā)出感嘆“唉！都是老師講過的，我怎么就是沒想起來？真可

2、惜！”是??！老師明明講得很清楚的問題，學(xué)生也練到了位，為什么考起來，還是不會呢？我認(rèn)為主要是三個(gè)方面沒處理得好，一是知識零散，沒形成系統(tǒng)，到要用的時(shí)候從大腦知識庫中提取不流暢。二是上課講的數(shù)學(xué)方法只是停留在一個(gè)一個(gè)的解題方法上，沒有悟出其中的道理，故遇到新的問題情境思維就斷電，思路不通暢。三是對老師的依賴性過強(qiáng)，離開老師就不知從何處入手。怎么辦呢？可以從兩方面入手。即：整合知識成系統(tǒng)，歸納方法悟道理。換句話說既要使學(xué)生的知識形成系統(tǒng)，又要使學(xué)生見到新情境能悟出問題的本質(zhì)，從而很快找準(zhǔn)解決問題的方向。二、平面向量第一課時(shí)設(shè)計(jì)意圖平面向量這一章高考主要是在兩個(gè)方面出題：一是考查向量的基本概念、基本

3、運(yùn)算的基礎(chǔ)題。一般難度不大，多以選擇題，填空題的形式出現(xiàn)。只要掌握了基礎(chǔ)的知識，基本方法就行。當(dāng)然也不排除向量本身的小綜合考能力。近年來，這種小綜合的問題多出在平面向量基本定理的靈活運(yùn)用上。二是以向量作為工具，考查其他的知識與方法。一般是個(gè)大題，經(jīng)過這幾年的打拼，向量的觸角已經(jīng)伸到數(shù)學(xué)的各個(gè)知識領(lǐng)域了。作為第一課時(shí)，我設(shè)計(jì)成六個(gè)步驟：第一步：以一道最新高考題為背景引入本課題，高考復(fù)習(xí)要關(guān)注高考題材。第二步，讓學(xué)生自己來架設(shè)知識的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。從而整理本章節(jié)知識，并形成知識系統(tǒng)。第三步，學(xué)生先做一組基礎(chǔ)練習(xí)，目的是自我復(fù)習(xí)，回顧向量的基礎(chǔ)知識。并進(jìn)一步檢測學(xué)生知識儲備狀態(tài)。第四步，經(jīng)歷與近幾年高考真

4、題親密接觸，一方面體驗(yàn)高考命題的方式、方法，深度與廣度。另一方面，通過變式掌握通性、通法，并深刻領(lǐng)悟其中的道理?？v觀近幾年高考中有關(guān)的平面向量題，向量的基本運(yùn)算及平面向量的基本定理是考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)。也是每年高考出新題的土壤。其實(shí)解決這種問題的基本方法就是在復(fù)雜問題中先找準(zhǔn)目標(biāo)，然后尋找與目標(biāo)有關(guān)的向量的閉合回路，一個(gè)閉合回路列一個(gè)向量等式，從而使問題得以解決。本節(jié)課的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)就是引導(dǎo)學(xué)生去領(lǐng)悟如何找準(zhǔn)目標(biāo)，如何找閉合回路并列出向量等式。第五步，初步體驗(yàn)向量作為工具與其它知識的整合、交匯的方式方法。第六層，精心設(shè)計(jì)課后針對性練習(xí)。通過六個(gè)層次環(huán)環(huán)緊扣，使知識的掌握，能力的提高都有望實(shí)現(xiàn)。

5、三、提高復(fù)習(xí)效率的幾點(diǎn)建議（一）、整合基礎(chǔ)知識成系統(tǒng)是提高效率的前提高考復(fù)習(xí)千頭萬絮，講什么，講多少，怎么講，當(dāng)然看高考考什么，考多少，怎么考?？荚嚧缶V明確提出：按照“考查基礎(chǔ)知識的同時(shí)，注重考查能力”的原則，測試中學(xué)生數(shù)學(xué)三基和五大能力。再看近幾年各高考試卷。分析發(fā)現(xiàn)高考的試題來源主要是從以下幾個(gè)方面產(chǎn)生：課本是試題的基本來源，是高考命題的主要依據(jù)，大多數(shù)試題的產(chǎn)生都是在課本的基礎(chǔ)上組合、加工和發(fā)展的結(jié)果。歷屆高考題成為新高考題的借鑒，特別是全國題，它的發(fā)展變化在各省市命題中起引領(lǐng)作用。課本與課程標(biāo)準(zhǔn)的交集成為高考題的創(chuàng)生地帶，不能忽視課程改革背景下的新理念，新內(nèi)容，對命題者的影響。高等數(shù)學(xué)

6、的基本思想，基本問題為高考題的命制提供背景，這既是高考考查潛能的需要，也是命題者學(xué)術(shù)背景使然。競賽題的背景改編等。 也就是說 命題者是站在一個(gè)比較高的位置俯視高中知識。也許他的一個(gè)靈感就是一個(gè)好題。我們也常會去猜測命題者的意圖，比如07年江西高考理科16題，那個(gè)動圓的填空題。我跟學(xué)生講，可能是命題者苦思閩想，然后，走到一個(gè)水壇邊，很隨意地丟一個(gè)石頭過去，看到不斷泛起的水波，一個(gè)一個(gè)擴(kuò)大的圓，從而產(chǎn)生了靈感。于是創(chuàng)設(shè)了一個(gè)動圓問題。又比如今年的鐘表概率題，也許是命題者久久不得入題，無意間拔弄自己的手表而產(chǎn)生靈機(jī)一動，用鐘表作為背景來考查學(xué)生的概率問題。當(dāng)然這是我瞎猜的，我只是想說明一個(gè)問題，現(xiàn)在

7、高考題的觸角已伸展到學(xué)生的生活中，只有打下扎實(shí)的的基礎(chǔ)，才能以不變應(yīng)萬變。想靠猜題押題或大量練習(xí)是無法成功的，最多會很偶然地碰上一個(gè)，也與事無補(bǔ)。因此要考出好成績沒有捷徑，必須踏踏實(shí)實(shí)地從基礎(chǔ)抓起。首先是每一章使知識成串成塊，成為清清楚楚的幾條線，而不是模模糊糊一大片。在高考中才能使知識運(yùn)用自如。眾所周知，在高考中任何知識點(diǎn)的失缺或模糊都帶來巨大的損失。比如，08年江西卷第一道選擇題，就有部分學(xué)生認(rèn)為“2”應(yīng)該是比較小的角度，故在第一象限，導(dǎo)致錯(cuò)誤。又比如17題中，有的學(xué)生記不清還是而導(dǎo)致錯(cuò)誤。故復(fù)習(xí)中使基礎(chǔ)知識成系統(tǒng)是提高效率的前提。也就是說教師在講知識同時(shí)更要講聯(lián)系（橫向、縱向、內(nèi)部、外部

8、）。即高三第一輪復(fù)習(xí)要建立網(wǎng)絡(luò)化的知識結(jié)構(gòu)，把局部知識組織整合成整體。這種綜合至少包括四個(gè)方面：一是各章節(jié)內(nèi)部知識以圖、表等形式，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)理清知識脈絡(luò)，形成良好的知識結(jié)構(gòu)與經(jīng)驗(yàn)體系知識一旦形成網(wǎng)絡(luò)，相互支撐，利于理解、記憶與掌握，便于遷移與運(yùn)用如“函數(shù)單調(diào)性”，要明確：（1）“函數(shù)單調(diào)性”是函數(shù)在定義區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)（2）“函數(shù)單調(diào)性”特別強(qiáng)調(diào)“區(qū)間”這一形式（3）如何判斷函數(shù)單調(diào)性？求函數(shù)單調(diào)區(qū)間有哪些方法？定義法、復(fù)合函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法等（4）如何證明一個(gè)函數(shù)是增函數(shù)或者減函數(shù)？定義法、導(dǎo)數(shù)法（5）單調(diào)性有哪些應(yīng)用？如比較兩個(gè)數(shù)的大??；求函數(shù)的最大、最小值；證明不等式，等等以

9、簡單的例子為載體，加深理解；比如函數(shù)f（x）是理解單調(diào)性的好例子 二是按主題的整合。將不同單元、不同學(xué)科、不同年級所學(xué)的數(shù)學(xué)知識提煉加工，建立知識之間的縱橫聯(lián)系，使知識系統(tǒng)化、條理化、網(wǎng)絡(luò)化；便于記憶、儲存、提取和應(yīng)用。三是以問題為中心的跨學(xué)科分支聯(lián)通。比如函數(shù)的最值，涉及到代數(shù)、平面三角與幾何的有關(guān)知識，產(chǎn)生最值的背景又可能與代數(shù)、三角、平面幾何、立體幾何及解析幾何相聯(lián)系； 四是各知識塊之間的交匯與融合。比如以向量為工具研究函數(shù)、數(shù)列、不等式等。 當(dāng)然，第一輪復(fù)習(xí)應(yīng)以第一點(diǎn)為主，后幾點(diǎn)主要在第二輪。也可以在第一輪復(fù)習(xí)的后時(shí)段，同時(shí)進(jìn)行小范圍的整合、聯(lián)通、交匯與融合。（二）、歸納方法悟道理是提

10、高效率的根本數(shù)學(xué)思想方法必須以知識為載體。必須在問題情境中，在解決實(shí)際問題的過程中逐步形成。而最后也必須還原到實(shí)際問題中去。因此，各章各節(jié)，各種問題都有其特有的通性、通法。只有掌握了通性、通法才能以不變應(yīng)萬變。我認(rèn)為我們的課堂教學(xué)必須處理好以下兩個(gè)關(guān)系：講方法更要講思想（講通性、通法，講規(guī)律、講原理）講結(jié)果更要講過程（思維過程，如何想到的）。但通性、通法的掌握不能光靠模仿，必須悟出其中的道理。所謂“學(xué)之道在于悟”，即是指理解要靠學(xué)生自己的領(lǐng)悟才能獲得，而領(lǐng)悟又要靠對思維過程的反思才能達(dá)到。否則還是沒有效率。比如08年江西高考17題，得分率并不高，而且有許多學(xué)生就是栽在這道題上。一是花了時(shí)間沒得

11、分，二是嚴(yán)重影響考試情緒。這道題真的很難嗎？認(rèn)真地想一想，造成失分有三個(gè)方面的原因，一方面是近幾年來考查三角的力度不斷下降，一般的參考書中少見如此復(fù)雜的角度變換的三角形問題。其二是三角函數(shù)中知識雜、公式多，沒有形成系統(tǒng)。第三，求值化簡的通性通法掌握僅停留在表面上，沒有悟出其中的真諦。從而使學(xué)習(xí)陷入混亂狀態(tài)。其實(shí)講三角函數(shù)的求值化簡問題時(shí)，老師一直強(qiáng)調(diào)的規(guī)律是：一看角度，使角度統(tǒng)一，二看名稱使名稱統(tǒng)一，三看結(jié)構(gòu)，使結(jié)構(gòu)完整。如果這個(gè)“三看”的解題規(guī)律能真正悟透，落到實(shí)處，對付高考的三角題是卓卓有余的。我們先看第一句話：“一看角度，使角度統(tǒng)一”對條件，其中有三個(gè)角，如何統(tǒng)一成一個(gè)角呢？自然想到中從

12、而化簡為。再用第二句話“二看名稱使名稱統(tǒng)一”可以統(tǒng)一成，求得,進(jìn)一步求得，也可以用切割化弦直接統(tǒng)一成正余弦，得到 。同樣的道理對第二個(gè)條件從統(tǒng)一角度看，沒有特殊方法，名稱更不用統(tǒng)一，當(dāng)然去看特定結(jié)構(gòu)。其中平方降次是一種很常見的結(jié)構(gòu)特征，由也可聯(lián)想到，從而再聯(lián)想到，于是問題得到圓滿解決。因此說，這也是一道通性通法，且沒有懸念的問題，卻成了欄路虎。因此，復(fù)習(xí)三角時(shí)要注意總結(jié)常用結(jié)構(gòu)，比如，升次、降次，齊次式，與互化，結(jié)構(gòu)等等，并讓學(xué)生在練習(xí)中不斷地悟出如何“三看”的道理，只有真正悟出了其中含義就一通百通了。再比如08年江西高考21題是解析幾何，也是學(xué)生最怕的問題之一同時(shí)也是每年的壓軸題，當(dāng)然是難題

13、。但憑心而論，此題比前兩年的解幾都要易些，特別是入手較易，求重心G的軌跡，一般學(xué)生都能寫出，但為什么得分比較低呢？我認(rèn)為主要是兩個(gè)方面的原因：題目位置靠后，學(xué)生普遍沒有時(shí)間去細(xì)想。題目中字母較多不知從何處入手。據(jù)我了解，大部分學(xué)生都能設(shè)出動點(diǎn)G（，）及點(diǎn)A（），并求出，并得到參數(shù)方程到此卻不知道如何消去參數(shù)，求出方程。因?yàn)樵S多學(xué)生被這個(gè)方程組中的5個(gè)字母x、y、x1、y1、m嚇暈了，不知消誰，留誰。這也許就是老師平時(shí)上課時(shí)不注重講過程.特別是這種運(yùn)算型問題，往往老師為了多講幾個(gè)題會說消去參數(shù)得到到底怎樣消？消參數(shù)有何規(guī)律？沒有讓學(xué)生悟出其中的道理。其實(shí)此題可用最常見的代換消元法先解出x1,y1

14、再代入中，從而得出結(jié)論。由此可見，學(xué)數(shù)學(xué)的過程實(shí)際上就是學(xué)會悟道理的過程。世界上的題目無窮盡，只有掌握了其中的道理，就游刃有余了。（三）、科學(xué)有效的解題指導(dǎo)是提高效率的制勝法寶我們經(jīng)常遇到這樣的學(xué)生，特別是女生，基本概念基本公式，定理都很熟習(xí)，一般通性通法的問題也能很好地解答。平時(shí)小打不鬧的測試也偶爾拿個(gè)高分，但一旦遇到比較綜合的考試他就沒戲了。這又是什么原因呢？我認(rèn)為就好比一件寶貝被灰塵覆蓋了，很多人會視而不見，只要你輕輕吹拂，馬上就會有驚喜的發(fā)現(xiàn)。同樣的道理，數(shù)學(xué)的綜合考試，特別是高考，直接告訴學(xué)生已知什么求什么的問題很少，絕大多數(shù)的題總是會人為地設(shè)置一些障礙，讓學(xué)生拐個(gè)彎才能找到解題通道

15、。我常跟學(xué)生講日本動畫片神偵探柯南中的主人翁柯南，柯南最大的特點(diǎn)就是先細(xì)致入微的觀察，收集所有的信息，不放過任何蛛絲馬跡；常常是在別人不起眼的地方發(fā)現(xiàn)問題，然后進(jìn)行合情邏輯推理，使真相大白。我們學(xué)數(shù)學(xué)與柯南破案的方法是一樣的，也要學(xué)會從問題的各個(gè)側(cè)面去尋找發(fā)現(xiàn)各種信息，有時(shí)是一句話，一個(gè)數(shù)字的特征等中找到問題的突破口。那么如何去幫助學(xué)生培養(yǎng)具有這種洞察力是我們老師的職責(zé)所在。我自己在認(rèn)真研讀玻利亞的怎樣解題及拜讀羅增儒發(fā)表在各雜志上的有關(guān)解題分析的文章之后，也有一些想法。在我校實(shí)施的五問教學(xué)法，很受學(xué)生的的歡迎，即，一問已知是什么，二問未知是什么，三問還差什么，四問如何補(bǔ)，五問有何收獲。簡單明了，一學(xué)就會，通過這五問讓學(xué)生自己形成自覺地不斷地反問自己。學(xué)生的解題分析能力有比較大的提高。也就是說，在平時(shí)教學(xué)中，要多花時(shí)間、精力放在講老師如