定積分的應(yīng)用b

1、4.6定積分的應(yīng)用課題：目的要求:重點：難點：教學(xué)方法: 教學(xué)時數(shù): 教學(xué)進(jìn)程:定積分的應(yīng)用掌握定積分的微元法，能用于列寫某些幾何量和物理量的定積分表達(dá)式 求平面圖形的面積及繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體的體積定積分的微元法講練結(jié)合4課時定積分有著廣泛的應(yīng)用， 特別是在幾何學(xué)和物理學(xué)上. 下面介紹一些典型的應(yīng)用實例.、微兀法應(yīng)用定積分理論解決實際問題的第一步是將實際問題化為定積分的計算問題， 關(guān)鍵，也較為困難.下面介紹將實際問題化為定積分的計算問題的方法.定積分的所有應(yīng)用問題都具有一個固定的模式：求與某個區(qū)間a,b上的變量f(X)有關(guān)的總量Q .這個量Q可以是面積，體積，弧長，功等.我們用如下的步驟

2、去確定這個量.(1) 分割.用分點a Xo wxi 吒 vxn =b將a,b分為n個子區(qū)間.(2)這一步是來近似,近似.找一個連續(xù)函數(shù)f(x)，使得在第i個子區(qū)間Xixi上,f (©i)(Xi Xiv) ,£ Xi亠Xi, (i 二1,2,n)這一步是問題的核心.求和.將所有這些近似量加起來，得總量nS f (匕疋Xi , 織=Xii =0取極限.當(dāng)分割無限細(xì)密時，得出bQ = fa f(x)dx.對上面的求積過程可作如下的較為簡捷的處理.即用和號2用積分號J代替，bJaf(x)dx代替-iQ的近似值-Xi.f心)用f(X)代替,Q可以用量也Xi用dx代替，n送 f Gi

3、)Axi .i Y是關(guān)鍵.我們在具有代表性的任一小區(qū)間我們已經(jīng)指出，第二步的上，以“勻代不勻”找出微分dQ = f (x)dx然后從a到b積分，就可求出量Q.這種在微小的局部上進(jìn)行數(shù)量分析的方法叫做微元法.例如，已知質(zhì)點運動的速度為 v(t)，計算在時間間隔a,b上質(zhì)點所走過的路程 s . 任取一小段時間間隔t,t +dt，在這一段時間dt內(nèi)，以勻速代變速，得到路程的微分ds = v(t)dt,有了這個微分式，只要從a到b積分，就得到質(zhì)點在a,b這段時間內(nèi)走過的路程bS = J v(t)dt.a“近似”X, X + dx在區(qū)間a,b上任取一小區(qū)間x,x+dx，并考慮它上面的圖形的面積，這塊 f

4、(x) g(x)為高，以dx為底的矩形面積近似，于是dS = f(x) -g(x)dx .在區(qū)間a,b上將dS無限求和，得到bS = Jaf(x) g(x)dx .第二步平面圖形的面積1. 計算直角坐標(biāo)系中平面圖形的面積(1 )設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)和g(x)滿足條件g(x) < f(x) , xja,b.求曲線y = f(x) , y = g(x)及直線x = a, x=b所圍成的平面圖形的面積 S (圖1). 用微元法求.第一步面積可用以x =yd廠1 X7/Xac0圖2類似微元法可得：(2 )由連續(xù)曲線 的平面圖形(圖2)的面積為：地，用x=cp(y)、X二屮(y)(y) 3 屮(y)

5、與直線y = C、y = d所圍成ds = Jc®(y)-屮(y)dy .例1計算兩條拋物線y = X2與X = y2所圍成的面積.解 求解面積問題，一般需要先畫一草圖(圖3),我們要求的是陰影部分的面積需f2y = X2 x= y2要先找出交點坐標(biāo)以便確定積分限，為此解方程組:得交點(0,0)和(1,1) 選取x為積分變量，則積分區(qū)間為 0,1，根據(jù)公式(1)，所求的面積為xx3求解面積一般地，問題的步驟為：(1)作草圖，求曲線的交點，確定積分變量和積分限.寫出積分公式. 計算定積分.求由曲線y2 =2x與直線y=x -4所圍成的平面圖形的面積. 作圖(圖4)，解方程組y2 = 2

6、x y =x 4得兩條曲線的交點坐標(biāo)為所求的面積為例2解(2,-2), (8,4).選取y為積分變量,積分區(qū)間為-2,4.根據(jù)公式(2),41 2f2(y+ 4y )dy '224C y2 + 4y 一 y3! =18L2yy 6y/例3求橢圓d +1 = 1所圍成的面積.a2 b2解 如(圖5)這橢圓關(guān)于兩坐標(biāo)軸都對稱，所以, 所求的面積S為X2a2aS = 4 J0 ydx.應(yīng)用定積分的換元積分法，令x = acost，貝U y=bs in t,dx = as in tdt .當(dāng)x = 0時兀t=-，當(dāng)X = a時t = 0，所以20 0 2S = 4 Jpsint(-asint)

7、dt = -4ab /sin tdt= 4ab r 1cosdt =2ab(t-sin 2t)0 2 2即橢圓的面積等于nab .這可以作為公式使用.一般地，當(dāng)曲邊梯形的曲邊 y = f(x)(f(X)>0,x a,b)由參數(shù)方程x =x(t)ly = y(t)給出時，且x(a) =a,x(P) =b,x(t)在a,P (或 P,a)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則由曲邊梯形的面積公式及定積分的換元公式可知，曲邊梯形的面積為bPS = f f (x)dx = f y(t)x'(t)dt.aa一兀0 二 ab 兀.y = y(t)連續(xù),2計算極坐標(biāo)系中平面圖形的面積某些平面圖形，用極坐標(biāo)來計算它

8、們的面積比較方 便.設(shè)由曲線P = P(B)及射線9 = 0.8(簡稱為曲邊扇形)，現(xiàn)在要計算它的面積 p(£)在0P上連續(xù)，且P(日)二0 .用微元法推導(dǎo)計算面積的公式.取極角9為積分變量，它的變化區(qū)間為S P.相應(yīng)圖6=P圍成一圖形 (圖 6).這里于任一小區(qū)間日,日+d6的窄曲邊扇形的面積可以用半 徑為P = P(T)、中心角為d8的圓扇形的面積來近似代 替，從而得到這窄曲邊扇形面積的近似值，即曲邊扇形的面積微元dS = -P（8）2d0 .從而得所求曲邊扇形的面積為P12S = f P（日）2d9 .a 2例4 求心形線P = a（1+cos日）所圍圖形的面積（a>0）

9、.解 用公式（3）計算.由于圖形關(guān)于極軸對稱（圖7）,所以所求面積為1 兀222a圖7S = 2 2 4 a2（1 +cose）2d0=a2 r（1+2cos8 +cos28）d8兀31=a2(- +2COS0 +-cos20)d0 o 22= a2?9 + 2sin日 +-sin21=-兀a2.24Jo2三、旋轉(zhuǎn)體的體積由平面圖形D繞定直線I旋轉(zhuǎn)一周生成的立體稱為旋轉(zhuǎn)體，定直線 I稱為旋轉(zhuǎn)軸.下面 我們只討論旋轉(zhuǎn)軸是坐標(biāo)軸的情形.1.連續(xù)曲線y = f （x）（ f（X）>0）與直線x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)體（圖8 ）體積可用微元法求得：將該子區(qū)間上

10、的旋轉(zhuǎn)體視作底面積為在區(qū)間a,b上任取一子區(qū)間x,x +dx（圖8）,dx的薄圓柱，得體積微元2 2dV =兀f （x）2dx = %y2dx ,兀f（X）2、高為則旋轉(zhuǎn)體的體積為類似地可得：1.連續(xù)曲線X =W（y）（W（y） >0）與直線y=c,y=d及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)體（圖9）體積為d 2V =兀 J x2dy .c2 2例5求由橢圓 篤+與=1所圍成的圖形分別 a2 b2繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體(圖10)的體積.解由于橢圓關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，所以所求的體積 V是橢圓在第一象限內(nèi)形成的曲邊梯形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn) 所生成的旋轉(zhuǎn)體體積的二倍，即繞X軸旋轉(zhuǎn)時，由公式(4)得V =2y2dx=2（b（a2_x2）dx a-lab231_a13X - X3繞y軸旋轉(zhuǎn)時，由公式V