天一專升本高數(shù)知識點(diǎn)

1、奇函數(shù):f( X)f(x)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱。偶函數(shù):f( X)f(x)，圖像關(guān)于y軸對稱3、無窮小量、無窮大量、階的比較設(shè)a,B是自變量同一變化過程中的兩個無窮小量，則. a _(1 )若lim 0，貝y a是比3B高階的無窮小量。a(2)若 lim c (不為 0),3則a與B是同階無窮小量特別地，若lim 1,則3a與B是等價無窮小量a(3)右 lim 3，貝y a與B是低階無窮小量記憶方法：看誰趨向于4、兩個重要極限0的速度快,誰就趨向于 0的本領(lǐng)高。(1)si nx limX 0 Xlim 亠 10sin X使用方法:limsin0lim丸00，一定保證拼湊sin后面和分母保持一致l

2、im 1X00(1 X)使用方法1后面一定是個無窮小量并且和指數(shù)互為倒數(shù)，不滿足條件得拼湊。5、limXPn XQm Xa。b ,nb0m0,nm,nm第一講函數(shù)、極限、連續(xù)1、基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像，尤其是圖像包含了函數(shù)的所有信息。有界性2、函數(shù)的性質(zhì)，奇偶性、Pn X的最高次幕是n,Qm X的最高次幕是 m.,只比較最高次幕，誰的次幕高，誰的頭大，趨向于無窮大的速度nm，分子以更快的速快。n m,以相同的比例趨向于無窮大；n m，分母以更快的速度趨向于無窮大;度趨向于無窮大。7、左右極限左極限：lim f (X) AX X0右極限：lim f (X) AX X0注：此條件主要應(yīng)用

3、在分段函數(shù)分段點(diǎn)處的極限求解。8連續(xù)、間斷連續(xù)的定義：lim y lim f (x。 x) f (X0)0X 0X 0或叩(劉f(X0)間斷：使得連續(xù)定義limX X0f (x)f (Xo)無法成立的三種情況記憶方法：1、右邊不存在9、間斷點(diǎn)類型2、左邊不存在3、左右都存在，但不相等(1 )、第二類間斷點(diǎn):limX X0f(x)、limX x。f ( X)至少有一個不存在(2)、第一類間斷點(diǎn):limX Xf (X)、limX X0f ( X)都存在，左右只要有一個不存在，就是“第二類”然后再判斷是不是第 ，左右不等是“跳躍”零點(diǎn)定理：如果f (X)在 a,b 上連續(xù)，且 f(a) f (b)0

4、，則 f (x)在 a,b內(nèi)至少存在一點(diǎn)注：在應(yīng)用時，先判斷是不是“第二類間斷點(diǎn)” 一類間斷點(diǎn)；左右相等是“可去”10、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(1)最值定理：如果 f (X)在 a,b 上連續(xù)，則 f(x) 在a, b上必有最大值最小值。，使得f ()第三講 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、羅爾定理如果函數(shù)y f(X滿足:記憶方法：腦海里記著一幅2、拉格朗日定理/在閉區(qū)間a,b ±連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；(3)使得f ( )0則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)f(a)f(b)，如果y f(X)滿足(1)在閉區(qū)間則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)腦海里記著一幅圖:在開區(qū)間a, b上連續(xù)(a,b)內(nèi)

5、可導(dǎo)；，使得f() f(b)扁(*)推論1 :如果函f (X)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f (X)0，那么在(a, b)內(nèi) f (x)=c 恒為常數(shù)。記憶方法：只有常量函數(shù)在每一點(diǎn)的切線斜率都為0。(a,b)，(*)推論2:如果f (x), g(x)在a, b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f (x) g (x), x那么 f(x) g(x) c記憶方法：兩條曲線在每一點(diǎn)切線斜率都相等3、駐點(diǎn)滿足f（X）0的點(diǎn)，稱為函數(shù)f（X）的駐點(diǎn)。幾何意義：切線斜率為 0的點(diǎn)，過此點(diǎn)切線為水平線4、極值的概念設(shè)f（X）在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)X,有f（

6、X）f（X0），則稱f（x0）為函數(shù)f （x）的極大值，X0稱為極大值點(diǎn)。設(shè)f（X）在點(diǎn)Xo的某鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)X,有f (X)f (X0)，則稱f (X0)為函數(shù)f （ X）的極小值，X0稱為極小值點(diǎn)。（2）如果f（X0） 0,那么f（X）在X0處取得極小值f(X0)5、記憶方法：在圖像上，波峰的頂點(diǎn)為極大值，波谷的谷底為極小值。 拐點(diǎn)的概念連續(xù)曲線上，凸的曲線弧與凹的曲線弧的分界點(diǎn)，稱為曲線的拐點(diǎn)。6、單調(diào)性的判定定理設(shè)f（X）在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，如果f（X）0 ；7、在圖像上凡是和左手向上趨勢吻合的，是單調(diào)減少,取得極值的必要條件f（X）0 ；如果f（X）0,則f（

7、X）在（a,b）內(nèi)單調(diào)減少。記憶方法：在圖像上凡是和右手向上趨勢吻合的，是單調(diào)增加,可導(dǎo)函數(shù)f（x）在點(diǎn)X0處取得極值的必要條件是 f （x。）取得極值的充分條件 第一充分條件：設(shè)f（X）在點(diǎn)X0的某空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f（X）在X0處連續(xù)，則如果X X0時，f（X）0； XX0時，f（x） 0 ，那么f（X）在X0處取得極大值f（X0）；如果X X0時，f（X）X0 時，f（X）0， 那么f（X）在X0處取得極小值f（X0 ）；如果在點(diǎn)X0的兩側(cè)，f（X）同號，那么f（X）在X0處沒有取得極值;記憶方法：在腦海里只需記三副圖, 第二充分條件：波峰的頂點(diǎn)為極大值，波谷的谷底小值。設(shè)函數(shù)f （X）

8、在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有一階、二階導(dǎo)數(shù)，且f(X0)0， f(X0)0則 （1）如果f （x0）0，那么f （x）在x0處取得極大值f (X0)；9、凹凸性的判定設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，(1)如果f(X) 0,x (a,b)，那么曲線f(x)在(a,b)內(nèi)凹的;(2)如果 f(X)0, x (a,b)，那么 f(x)在(a,b)內(nèi)凸的。10、11、圖像表現(xiàn):：漸近線的概念凹的表現(xiàn)曲線f(x)在伸向無窮遠(yuǎn)處時，能夠逐步逼近的直線，稱為曲線的漸近線。(1)水平漸近線：若lim f (X) A,則yX(2)垂直漸近線：若存在點(diǎn) Xo， IXm f(x)X(2) 求斜漸近線：若lim

9、f (x)a,limX XX洛必達(dá)法則遇到如果遇到幕指函數(shù),f(X)有水平漸近線y A，則yf(x) ax”，就分子分母分別求導(dǎo)，直至求出極限。需用f(x)In f (X)0 ”e 把函數(shù)變成"一0f ( x)有垂直漸近線X x0b，則y ax b為其斜漸近線。第二講導(dǎo)數(shù)與微分1、導(dǎo)數(shù)的定義(1)、f (Xo)limX oy limX 0f (XoX) f (Xo)0(2)、f (Xo)limf (Xoh) f (Xo)(3)、f (Xo)limf(x)f(Xo)x XoXX注：使用時務(wù)必保證 Xo后面和分母保持一致，不一致就拼湊。2、導(dǎo)數(shù)幾何意義：f ( Xo )在X Xo處切線斜

10、率法線表示垂直于切線，法線斜率與f(Xo)乘積為一13、4、導(dǎo)數(shù)的公式，記憶的時候不僅要從左到右記憶，還要從右到左記憶。 求導(dǎo)方法總結(jié)(1 )、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則(2 )、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：y f X是由y f (u)與u(X)復(fù)合而成，則(3)、隱函數(shù)求導(dǎo)對于F (x, y) o，遇到y(tǒng)，把y當(dāng)成中間變量 u然后利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法。(4)、參數(shù)方程求導(dǎo)確定一可導(dǎo)函數(shù)y f (X)，則或dydtdx©(t)5、6、7、dt(5) 、對數(shù)求導(dǎo)法先對等號兩邊取對數(shù)，再對等號兩邊分別求導(dǎo)(6) 、幕指函數(shù)求導(dǎo),X v(x)Ina幕指函數(shù)y u(x)，利用公式a eIn u(x)v(X)y e

11、第二種方法可使用對數(shù)求導(dǎo)法, 注：優(yōu)選選擇第二種方法。高階導(dǎo)數(shù)對函數(shù)f(X)多次求導(dǎo)，直至求出。v(x) ln u (x)e然后利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法對指數(shù)單獨(dú)求導(dǎo)即可。先對等號兩邊取對數(shù)，再對等號兩邊分別求導(dǎo)微分記憶方法：微分公式本質(zhì)上就是求導(dǎo)公式，后面加 可微、可導(dǎo)、連續(xù)之間的關(guān)系可微 可導(dǎo)可導(dǎo)連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)可導(dǎo)與連續(xù)的區(qū)別。腦海里記憶兩幅圖(1)dx，不需要單獨(dú)記憶。y X在x=0既連續(xù)又可導(dǎo)。X 在 x=0只連續(xù)但不可導(dǎo)。(t)dx所以可導(dǎo)比連續(xù)的要求更高。第四講不定積分一、原函數(shù)與不定積分1、原函數(shù)：若F(X) f(X)，則F(x)為f(X)的一個原函數(shù);2、不定積分：f (X

12、)的所有原函數(shù)F(x)+c叫做f(x)的不定積分，記作f(x)dx F(x) C二、不定積分公式記憶方法：求導(dǎo)公式反著記就是不定積分公式三、不定積分的重要性質(zhì)1、f(x)dx f(X)或d f (x)dx f (x)dx2、 f (x)dx f (x) c四、注：求導(dǎo)與求不定積分互為逆運(yùn)算。積分方法基本積分公式第一換元積分法(湊微分法)把求導(dǎo)公式反著看就是湊微分的方法，所以不需要單獨(dú)記憶。第二換元積分法1、2、3、Ja22 X令Xa si nt三角代換Jx22 a令Xa sectJx22 a令Xata nt三角代換主要使用兩個三角公式：Sin t4、分部積分法udvuvvdu定積分定義第五講定

13、積分ba f(x)dxnlimX0 i 1f( i)Xi1、cos2t 1,1 tan2t sec t如果f(x)在a,b上連續(xù)，則f(X)在a,b上一定可積。理解：既然在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在閉區(qū)間上形成的就是一個封閉的曲邊梯形，面積存在所以一定可積，因?yàn)?面積是常數(shù)，所以定積分如果可積也是常數(shù)。2、定積分的幾何意義(1) 如果f (x)在a,b上連續(xù)，且f(x)f (x)dx表示由f(X), X a,x b,x軸所圍成的b曲邊梯形的面積。s= a f (x)dx。(2) 如果f (x)在a,b上連續(xù)，且f(x)S=f (x)dx。3、定積分的性質(zhì)：bbakf (x)dx k a f (x)d

14、x(1)bba f (X) g(x)dx= a f(x)dxba f(x)dxbag(x)dxcba f (x)dx c g(x)dxb1dx ba如果f (x)aa a f (x)dx 0bg(x)，則 a f(x)dxab f(x)dxbag(x)dxba f (x)dx設(shè)m,M分別是f(X)在 a,b的min, max,則記憶：小長方形面積冷邊梯形面積大長方形面積(7)積分中值定理如果f(X)在a,b上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)a,b，b使得 a f(x)dx f ( )(b a)記憶：總可以找到一個適當(dāng)?shù)奈恢?，把凸出來的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲邊梯形?成一個長方形。稱一

15、b f (x)dx為f(X)在a,b上的平均值。 b a a4、積分的計算（1）、變上限的定積分注：由此可看出來（X）Xa f （t）dt是f（X）的一個原函數(shù)。而且變上限的定積分的自變量只有一個是X而不是t（2）、牛頓一萊布尼茲公式設(shè)f（X）在a,b上連續(xù)，F(xiàn)（X）是f（X）的一個原函數(shù),b則 a f(x)dxF(x)a F(b) F(a)5、由牛頓公式可以看出，求定積分，本質(zhì)上就是求不定積分， 只不過又多出一步代入積分上下限，所以求定積分也有四種方法。 奇函數(shù)、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分6、（1）、若f（X）在 a,a上為奇函數(shù)，則（2）、若f（x）在 a,a上為偶函數(shù)，則aa f(x)a

16、a f(x)f (x)dx7、注：此方法只適用于對稱區(qū)間上的定積分。廣義積分（1） 無窮積分定積分關(guān)于面積計算a,b上的定積分。yyVx:Vx2f(X) dxX g2(x) dx(y)2dy2(y)2(y)dy（二八 直線與平面的相關(guān)考試內(nèi)容、二元函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)z f （X, y）在點(diǎn)（X0,y0）某鄰域有定義（但（X0,y0）點(diǎn)可以除外），如果當(dāng)點(diǎn)（x,y）無論沿著任何途徑趨向于（xoy。）時，z f （x, y）都無限接近于唯一確定的常數(shù)A，則稱當(dāng)點(diǎn)（X, y）趨向于（x。）時，z f （x, y）以A為極限，記為二、二元函數(shù)的連續(xù)性若（xyFm,y。）f （x,y）f （x。，y

17、。），則稱 z f （x,y）在點(diǎn)（x。，y。）連續(xù)。注：z f（x,y）的不連續(xù)點(diǎn)叫函數(shù)的間斷點(diǎn)，二元函數(shù)的間斷點(diǎn)可能是一些離散點(diǎn)，也可能是一條或多條曲線。三、二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)四、偏導(dǎo)數(shù)求法由偏導(dǎo)數(shù)定義可看出，對哪個變量求偏導(dǎo)就只把哪個變量當(dāng)成自變量，其它的變量都當(dāng)成常數(shù)看待。五、全微分：dz dx dyX y六、二元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)、可微之間的關(guān)系二元函數(shù)可微，則必連續(xù)，可偏導(dǎo)，但反之不一定成立。若偏導(dǎo)存在且連續(xù)，則一定可微。函數(shù)z f（x,y）的偏導(dǎo)存在與否，與函數(shù)是否連續(xù)毫無關(guān)系。七、二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)設(shè) z f (u,v),u(X, y),v(X, y)，Dzzu則XuX注：有幾個中

18、間變量就處理幾次，按照復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)處理。 八、隱函數(shù)求偏導(dǎo)方程F（x,y,z） 0確定的隱函數(shù)為 zf（X, y），則對等號兩邊同時對 X求導(dǎo)，遇到z的函數(shù)，把z當(dāng)成中間變量。第八講多元函數(shù)積分學(xué)知識點(diǎn)重積分的概念、性質(zhì)1、Df(x,y)dxdy Ijmf( i, i)i ，幾何意義：代表由 f （x, y），D圍成的曲頂柱體體積。2、性質(zhì):(1)kf (x, y)dxdy kDf (x, y)dxdyDf (x,y) g(x, y) dxdy= f (x, y)dxdy+ g(x, y)dxdyDD(3 )、dxdy D(4)D DiD2 , f (x, y)dxdy= f (x, y)dx

19、dy + f (x, y)dxdyDD1D2若 f (X, y) g(x,y)，則 f (x,y)dxdy g(x,y)dxdyMDDD(6)若 m f (x, y) M ,則 mD f (x,y)dxdyD設(shè)f (x, y)在區(qū)域D上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)(，)D，使 f(X, y)dxdy f ( , )DD二、計算D: a x b, 1(x) y 2(x)(2)D: c y d, 1(y) x 2(y)技巧：“誰”的范圍最容易確定就先確定“誰”的范圍，然后通過劃水平線和 垂直線的方法確定另一個變量的范圍極坐標(biāo)下：x r cos,y rsin ,dxdy rdrd三、曲線積分1、第一型曲線積分的計算(1)若積分路徑為L: y(x),a x b，則b:2-Lf(x,y)ds= a f(x,(X)(X) dx(2)若積分路徑為 L :(y),c y d,則L f(x,y)ds=f(y), y)Ji( (