2017-2018學年高中數學第三章數系的擴充與復數的引入3.1數系的擴充和復數的概念創(chuàng)新應

1、第1課時數系的擴充和復數的概念岸”中uyi理自主學習 敲理主干核心必知1.預習教材，問題導入根據以下提綱，預習教材P50F51的內容，回答下列問題.(1) 方程x2+ 1 = 0 在實數范圍內有解嗎？提示：沒有.(2) 為了解決x2+ 1 = 0 這樣的方程在實數系中無解的問題，教材中引入了一個什么樣的新數？提示：引入了新數 i，使 ii = 1.(3) 把實數a與引入的新數 i 相加，把實數b與 i 相乘，各得到什么結果？提示：分別得至U a+ i ,bi.(4) 把實數a與實數b和 i 相乘的結果相加，得到什么結果？提示：得到a+bi.2歸納總結，核心必記(1) 復數的概念及代數表示1定義

2、：形如a+bi(a,b R)的數叫做復數，其中 i 叫做虛數單位，滿足 i2= 1.全 體復數所成的集合 C 叫做復數集.2表示：復數通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b R)，這一表示形式叫做復數的代 數形式，a與b分別叫做復數z的實部與虛部.(2) 復數相等的充要條件在復數集 C= a+bi|a,b R中任取兩個數a+bi ,c+di(a,b,c,d R),規(guī)定a+bi 與c+di相等的充要條件是a=c且b=d.(3) 復數的分類實數b=U,I核心必知自讀教対找關饋1問題思考辨析問題解磁謝:課前反思趟定目標穩(wěn)啟程預習導引區(qū)21復數a+bi( a,bR)虛數b當a= 0 時為純虛數 I2

3、集合表示:問題思考(1) 復數 vm-ni 的實部、虛部一定是m n嗎？提示：不一定.只有當mER, n R 時，m n才是該復數的實部、虛部.(2) 對于復數z=a+bi(a,bER)，它的虛部是b還是bi?提示：虛部為b(3) 復數z=ambi 在什么情況下表示實數？提示：b= 0.(4) 復數集 C 與實數集 R 之間有什么關系？提示：R(5) 我們知道 0 是實數，也是復數，那么它的實部和虛部分別是什么？提示：它的實部和虛部都是0.(6)a= 0 是z=ambi 為純虛數的充要條件嗎？提示：不是因為 當a= 0 且b0時，z=a+bi 才是純虛數，所以a= 0 是復數z=a+bi 為純

4、虛數的必要不充分條件.1(7)zi= 3+ 2i ,Z2= - _3i ,zs=- 0.5i，貝Uzi,Z2,zs的實部和虛部各是什么？能否說ZiZ2?1提示：Z1的實部為 3,虛部為 2;Z2的實部為 2 虛部為一.3;Z3的實部為 0，虛部為一0.5.因為兩個虛數不能比較大小，所以不能說Z1Z2.(8) 若(a 2) +bi 0,貝Ua,b應滿足什么條件？b= 0,提示：要使(a 2) +bi0 成立，貝U(a 2) +bi 應為實數，且a 20,即*a 20,a2,故 0; (2)2i 1 的虛部是 2i ; (3)2i的實部是0.其中真命題的個數為()A. 0 B . 1 C . 2

5、D . 3嘗試解答對，當z R 時，z20成立，否則不成立，如z= i ,z2= 10,m- 1,*2即|m+ 3n 2 = 0,m=- 2 或 m=- 1解得n=- 2.當n=- 2 時，z為實數.帚+ 2m+ 10,若 Z 是虛數，則2m- 2 且 m- 1, 解得 m- 2 且 m- 1.當 m- 2 且 m- 1 時，z為虛數.lg m+2m1 =0,若z為純虛數，則 i2m+ 3m 2 工 0,m+2m1 = 1,m=0 或m=- 2,即*2即口|m+ 3m2 工 0,m- 1 且m- 2.解得 m= 0.當 m= 0 時，z為純虛數.復數相等的充要條件- If 重點知識講送練舍】|

6、思考 若復數 乙=a+bi ,Z2=c+di(其中a,b,c,d R)，貝UZ1=Z2的充要條件是什么?名師指津：乙=Z2?a=c且b=d.講一講3.根據下列條件，分別求實數x,y的值.m+ 3m+ 2 工 0,82 2xy+ 2xyi = 2i ;(2x 1) + i =y (3 y)i.嘗試解答 x2y2+ 2xyi = 2i，且x,y R,-2 2xy= 0,2xy= 2,x= 1,x= 1,解得彳或什y= 1y= 1.(2) (2x 1) + i =y (3 y)i ,且x,y R,奏題*通空復數相等的充要條件是復數問題實數化的主要依據，多用來求參數，其步驟是:定兩個復數的實部與虛部，

7、利用實部與實部、虛部與虛部分別相等，列方程組求解.練一練3.已知復數z=x+yi(x,y R)，且x,y滿足 2x+y+xi = 8 + (1 +y)i ,求復數 解：2x+y+xi = 8+ (1 +y)i ,且x,y R,2x+y= 8,x= 1 +y,x+y= 3,xy= 1,解得=2,y= 1.z= 2+ i.課堂歸納感悟提 升升-1. 本節(jié)課的重點是復數的分類及復數相等的充要條件，難點是復數的概念.2. 本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法(1)由復數的分類求參數，見講2;2x 1 =y,1= 3 y5x=-.解得 s2分別確z.9（2）復數相等的充要條件的應用，見講3.3.若z=a+bi，只

8、有當a,b R 時，a才是z的實部，b才是z的虛部，且注意虛部不是bi，而是b.不要將復數與虛數的概念混淆，實數也是復數，實數和虛數是復數的兩大構成部分.這是本節(jié)課的易錯點.課下能力提升（七）學業(yè)水平達標練題組 1 復數的概念1設全集I=復數, R=實數 ,M=純虛數，則（）A. MUR=IB.（?IM UR=IC. （?IM）nR=RD.Mn（?iR）=?解析：選 C 根據復數、純虛數的定義以及它們之間的關系進行判斷依題意，I,R,M三個集合之間的關系如圖所示.所以應有：MUR I, （?IM）UR= ?IMMn（?iF）工?，故 A, B, D 三項均錯，只有 C 項正 確.2.以一，5+

9、 2i 的虛部為實部，以.5i + 2i2的實部為虛部的復數是（）A. 2-2i B . 2+ 2iC.5+ 5i D. 5 + 5i解析：選 A 5 + 2i 的虛部為 2, 5i + 2i2= 2+ . 5i，其實部為2，故所求復數 為 2 2i.3.若復數 2 bi（b R）的實部與虛部互為相反數，則b的值為（）22達標練I學業(yè)水早小測.讓學 生趙熱打佚消化所學+ 亂竦連度又蛭準度能力練I課下能力規(guī)Jh提速 提能.每課一拾亂歩 步為營步步五Utfpsjf艸畀 4 層殊習固本提能訓練提能區(qū)10A. 2 B. 3 C . 3 D . 233解析：選 D 復數 2bi 的實部為 2,虛部為b,

10、由題意知 2= （ b），即b= 2.=3.114.下列四個命題：1兩個復數不能比較大??；2若x,yC,貝 Ux+yi = 1+ i 的充要條件是x=y= 1 ；3若實數a與ai 對應，則實數集與純虛數集一一對應；4實數集相對復數集的補集是虛數集.其中是真命題的有 _ （填序號）.解析：中當這兩個復數都是實數時，可以比較大小.故不正確；2由于x,y都是復數，故x+yi 不一定是復數的代數形式，不符合復數相等的充要條 件.故不正確；3若a= 0,則ai 不是純虛數，即實數集中的 0 在純虛數集中沒有對應元素，故不正 確；4由實數集、虛數集、復數集之間的關系知正確.答案：題組 2 復數的分類25.

11、在 2+ 7 , 7 卩,8 + 5i , （1 3）i,0.618這幾個數中，純虛數的個數為（）A. 0 B . 1 C . 2 D . 32解析：選 C 7i，（1 3）i 是純虛數，2 +7, 0,0.618 是實數，8+ 5i 是虛數.6.若復數z=m 1+ （mim 2）i 為實數，則實數m的值為（）A. 1 B . 2 C . 1 D . 1 或 2解析：選 D復數z=吊一 1 + （吊一 m- 2）i 為實數，吊一 m- 2= 0,解得m= 1 或m=2.27.若復數（a 3a+ 2） +（a 1）i 是純虛數，則實數a的值為（）A. 1 B . 2C. 1 或 2 D . 1a

12、2 3a+ 2= 0,解析：選 B 根據復數的分類知，需滿足 ja1.0,a= 2.一一，m m+ 22, ,8.已知m R,復數z= + （m+ 2m-3）i，當m為何值時，（1）z為實數；（2）z為虛數；（3）z為純虛數.2m m+ -解：（1）要使z為實數，需滿足m+ 2m-3= 0，且有意義即m-1 工 0,解得ma= 1 或a=2,解得北 1,即12m m)(2) 要使z為虛數，需滿足吊+ 2m-3 工 0,且 一mp1有意義即 m-1 0,解得m1且 3.m m |少(3) 要使z為純虛數，需滿足=0,且m+ 2m-3 工 0,解得 m= 0 或 mr- 2.n 1題組 3 復數相

13、等的充要條件2 29. 若 4 3a-ai =a+ 4ai，則實數a的值為()A. 1 B . 1 或一 4C. 4 D . 0 或44 一 3a= a ,解析：選 C 易知乜2解得a=- 4.a= 4a,10._已知(3x+y) + (2x-y)i= (7x 5y) + 3i，則實數x=_,y=_.解析：Tx,y是實數， 根據兩個復數相等的充要條件，答案：9能力提升綜合練1若復數z= (m+ 2) + (吊一 9)i( m R)是正實數，則實數m的值為()A.2 B.3 C. 3 D. 3fm 9 = 0, 解析：選 B 依題意應有解得m= 3.時20,2.若(7 3x) + 3yi= 2y

14、+ 2(x+ 2)i(x,y R)，則x,y的值分別為()A. 1,2 B . 2,1C. 1,2 D . 2,17 3x= 2y,x=1 ,解析：選 A (7 3x) + 3yi = 2y+ 2(x+ 2)i ?彳即x,y|3y=Ax+厶|y= 2.的值分別為 1,2.3.已知M= 1,2 ,吊一 3m- 1 + (吊5mr 6)i ,N= 1,3 , MAN= 3，則實數m的 值為()3x+y= 7x 5y,可得2xy= 3,解得x=4,32.13A. 1 或 6 B . 1 或 4C. 114解析：選 C 由MnN=3，知2 2m 3m-1 + (m 5m- 6)i = 3,rm-3m

15、1 = 3,2解得 m= 1.m 5m- 6= 0,224.已知zi= 4a+1 + (2a+ 3a)i ,Z2= 2a+ (a+a)i ,其中a R,ziZ2，貝Ua的值為( )31A. 0 B . 1 C . - D.-26解析：選 A 由Z1Z2,_22a+ 3a= 0,一2得a+a= 0,4a+ 12a,解得a= 0.5._ 若 log2(ni 3m-3) +ilog2( m- 2)為純虛數，則實數 m=_ .解析：因為 log2(吊3m 3) + ilog2(m 2)為純虛數，所以 log2卅-3m- = 0,*log2m2 HQ,所以 m= 4.20,答案：42 26.若 log2

16、(x 3x 2) + ilog2(x+ 2x+ 1)1 ,則實數x的值(或取值范圍)是=0,解得x= 2.答案：2即a= 0 或a= 1,a0,提示：a滿足 v即1a1.a 10,若復數z的實部為一 1,虛部為 2,則|z|為何值?提示：|a| = 12+ 22= ,5.課前反思(1) 復平面的定義是什么？什么是實軸、虛軸？;(2) 復數的幾何意義是什么？復數z=a+bi(a,b R)對應的向量為，則 的模叫做復數z的模，記作|z|或|a19(3)復數模的定義是什么?思考如何判斷復數z=a+bi(a,b R)在復平面內所對應的點的位置？名師指津：復數z=a+bi(a,b R)與復平面內的點(a

17、,b)對應，根據a,b的符號判 斷點(a,b)所在象限或坐標軸即可.講一講1實數x取什么值時，復平面內表示復數z=X2+x 6+ (x2 2x 15)i 的點Z(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直線xy 3 = 0 上. 嘗試解答因為x是實數，所以x2+x 6,x2 2x 15 也是實數.r 2處x+x 60,(1) 當實數x滿足/2lx 2x 150,即一 3x0,(2) 當實數x滿足2|x2 2x 150,即 2x0，得m5,此時z在復平面內對應的點位于x軸上方.(2)由m+ 5m+ 6=m 2m- 15,得 m=- 3,此時z在復平面內對應的點位于直線y=x上.思考 與復

18、數z=a+bi(a,b R)對應的平面向量是什么?名師指津：與復數z=a+bi(a,b R)對應的平面向量二迂=(a, b).講一講2.(1)已知平面直角坐標系中0是原點，向量，對應的復數分別為2 3i , 3+ 2i，那么向量 對應的復數是()A. 5+ 5i B . 5 5iC. 5 + 5i D . 5 5i(2)在復平面內，A,B,C三點對應的復數分別為1,2 + i , 1 + 2i.若ABC為平行四邊形，求D對應的復數.嘗試解答(1)向量 ，對應的復數分別為 2 3i , 3+ 2i，根據復數的幾何意義，可得向量=(2 , 3) , = ( 3,2)由向量減法的坐標運算可得向量=

19、一1= (2 + 3, 3 2) = (5 , 5)，根據復數與復平面內的點- 對應，可得向量對應的復數是 5 5i.(2)設O為坐標原點，由復數的幾何意義知:=(1,0) , = (2,1) , = ( 1,2),所以 =(1,1) ,= ( 2,2) ,= = ( 3,1),所以 ，對應的復數分別為 1 + i , 2+ 2i , 3+ i.(組)或不等式(組)求解.知識點 2宣數與平面向的對應關系K 重點如識+講送練金】I求向量 ，,對應的復數;21因為ABCD平行四邊形,=(3,1)=+= (1,0) + ( 3,1) = ( 2,1).所以D對應的復數為一 2+ i.22答案(1)B

20、奏趨通連(1) 根據復數與平面向量的對應關系，可知當平面向量的起點在原點時，向量的終點對應的復數即為向量對應的復數.反之復數對應的點確定后，從原點引出的指向該點的有向線段，即為復數對應的向量.(2) 解決復數與平面向量-對應的題目時，一般以復數與復平面內的點- 對應為工具，實現復數、復平面內的點、向量之間的轉化.0是原點，若向量對應的復數z的實部為 3,且| = 3,如果點A關于原點的對稱點為點B,求向量，對應的復數.解：根據題意設復數z= 3+bi(b R),由復數與復平面內的點、向量的對應關系得=(3 ,b),已知 I I = 3,即，32+b2= 3,解得b= 0,故z= 3,點A的坐標

21、為(3,0). 因此，點A關于原點的對稱點為B( 3,0), 所以向量對應的復數為z= 3.思考復數z=a+bi(a,b R)的模是什么？其模的幾何意義是什么？名師指津：復數z=a+bi 的模|z| =a2+b2,其幾何意義是點(a,b)到坐標原點的距 離.講一講3.已知復數乙=, 3 + i ,Z2=寸寸+ +孑孑. .(1)求|乙|及|Z2|并比較大小;設z C,滿足條件|z| = |zi|的復數z對應的點Z的軌跡是什么圖形?以 | | 乙乙 |Z2|.|.2.在復平面內,知識點3復數模的計算及應用ic 重點知識*講透練會】i嘗試解答(1)|zi| =3+ i| = .32+ 12= 2,

22、 ZI2= 1,所-汁23(2)法一：設z=x+yi(x,y R),則點Z的坐標為(x,y).由 |z| = |zi| = 2 得 _x2+y2= 2，即x2+y2= 4.所以點Z的軌跡是以原點為圓心，2 為半徑的圓.法二：由|z| = |zi| = 2 知|OZ-| = 2(0為坐標原點)，所以Z到原點的距離為 2.所以Z的軌跡是以原點為圓心，2 為半徑的圓.案題通空(1) 復數的模是非負實數，因此復數的?？梢员容^大小.(2) 根據復數模的計算公式|a+bi| =a2+b2可把復數模的問題轉化為實數問題解決.(3) 根據復數模的定義|z| = |0Z-| ,可把復數模的問題轉化為向量模(即兩

23、點的距離)的問題解決.練一練3.已知復數z= 3+ai，且|z|4，求實數a的取值范圍.解：因為z= 3+ai(a R),所以 |z| =32+a2,由已知得 32+a242,所以a27,所以a ( - 7,7).- 課堂歸納感悟提升-1本節(jié)課的重點是復數的幾何意義及復數模的計算，難點是復數幾何意義的應用.2.本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法(1) 復數與復平面內點的對應關系，見講1 ;(2) 復數與平面向量的對應關系，見講2;(3) 復數模的計算及應用，見講3.24課下能力提升（八）學業(yè)水平達標練題組 1 復數與復平面內點的對應關系1.在復平面內，復數6+ 5i , - 2+ 3i 對應的點分別為

24、 A, B.若C為線段AB的中點，則點C對應的復數是（）A. 4 + 8i B . 8+ 2iC. 2 + 4i D . 4+ i解析：選 C 復數 6+ 5i 對應A點坐標為（6,5） , - 2 + 3i 對應B點坐標為（一 2,3）.由 中點坐標公式知C點坐標為（2,4），所以點C對應的復數為 2+ 4i，故選 C.2.在復平面內，復數z= sin 2 + icos 2 對應的點位于（）A.第一象限 B .第二象限C.第三象限 D .第四象限n解析：選 D / 20 , cos 20, f解得x3.3x0,3-m0,1m0,n2,即解得1n- 1,n0，且 3 m0,. m= 1 2.題

25、組 2 復數與平面向量的對應關系5.向量對應的復數為 乙=3+ 2i , 對應的復數Z2= 1 i，則|+|為()A. 5 B. 3 C . 2 D. 10解析：選 A 因為向量對應的復數為Z1= 3+ 2i ,1對應的復數為Z2= 1 i ,所以 =(3,2) , = (1 , 1),則 += ( 2,1),所以 |+| = ,5.6.向量=(.3, 1)按逆時針方向旋轉60所對應的復數為()A. ,3+ i B . 2iC. 1+ 3i D . 1 + 3i解析：選 B 向量 =(.3, 1),設其方向與x軸正方向夾角為0, tan0=log21 +m . i,J,解：(1)由已知，得lo

26、g 227則0= 30,按逆時針旋轉 60后與x軸正方向夾角為 90,又| = 2，故旋轉后對應的復數為 2i，故選 B.7.在復平面內，O是原點，已知復數Z1= 1 + 2i ,Z2= 1 i ,Z3= 3 2i，它們所對應28的點分別是A,B,C若 =x+y(x,y R)，求x+y的值.解：由已知，得 =(1,2) , = (1 , - 1) ,= (3 , - 2),所以x+y=x( 1,2) +y(1 , 1) = ( x+y,2xy).由 =x+y,x+y= 3,可得*2xy= 2 ,解得:J 所以x+y= 5.y=4 ,題組 3 復數模的計算及應用&已知復數z=2 3i ,

27、則復數的模|z|是()A. 5 B . 8 C . 6 D. 11解析：選 D |z| =.22+2= 11.9.已知 0a2 ,復數z的實部為a,虛部為 1,則|z|的取值范圍是 _解析： |z| =a2+ 1, 而 0a2 ,1a+ 15 ,二 1|z| 晴 5 答案：(1 ,.5)10. 已知復數z滿足z+ |z| = 2+ 8i ,求復數z.解：設z=a+bi(a,b R),則 |z| =a2+b2,代入方程得，a+bi + ,/a +b= 2 + 8i ,-z = 15 + 8i.能力提升綜合練31.若 2m2 ,則復數z= (2m 2) + (3m 7)i 在復平面上對應的點位于(

28、)A.第一象限 B .第二象限C.第三象限 D .第四象限3解析：選 D / 2m0,3m 70.復數z= (2 m- 2) + (3 m- 7)i 在復平面上對應的點位于第四象限.a= 15 ,b= 8 ,292.復數Z1=a+ 2i ,Z2= 2 + i ,如果|Z11|Z2| ,則實數a的取值范圍是()A. (1,1) B.(1, +s)30C. (0,+s) D.( g, 1)U(1,+s)解析：選 A / |zi| =a2+ 4, |Z2| = 5, ,a2+ 4y5,. lal.3.已知復數z對應的點在第二象限，它的模是3，實部是一.5,則z為()A5+ 2i B . 5 2iC. 5+ 2iD.5 2i解析：選 A 設z=x+yi(x,y R)，則x=5,由 |z| = 3,得(一 5)2+/= 9,2即y