材料科學研究中的數(shù)學模型

1、常用的數(shù)學建模方法有哪些？ （1）理論分析法 （2）模擬方法 （3）類比分析法 （4）數(shù)據(jù)分析法答題重點：各種方法的定義，條件有限差分法解題示例 例：利用差分法解Laplace方程第一邊值問題 (要求畫出差分網(wǎng)格及寫出差分方程組)。 數(shù)值微分：用差商作為導數(shù)近似值數(shù)值微分：用差商作為導數(shù)近似值第二章材料科學研究中常用的數(shù)值分析方法第二章材料科學研究中常用的數(shù)值分析方法解 采用正方形網(wǎng)格剖分，內(nèi)結(jié)點按如圖2-3所示編號。設內(nèi)結(jié)點總數(shù)為N，對于每一個 (xi，yj)D0，利用數(shù)值微分公式 第二章材料科學研究中常用的數(shù)值分析方法第二章材料科學研究中常用的數(shù)值分析方法本題采用正方形網(wǎng)格，因此h1=h2

2、 ,可推出差分方程為4uij-u(i+1)j+u(i-1)j+ui(j+1)+ui(j-1)=-h2fij (xi, yj)D0本例中取本例中取h1=h2=0.125，采用正方形網(wǎng)格剖分，內(nèi)結(jié)點按圖采用正方形網(wǎng)格剖分，內(nèi)結(jié)點按圖2-3所示編號，所示編號，按上式得按上式得 其中，其中，u11對應對應u1，u21對應對應u2，u01為為0，u12對應對應u4，u10為為0，于是得，于是得4u1-u2-u4=0。其他，其他，u31對應對應u3，u22對應對應u5，u32對應對應u6，u13對應對應u7，u23對應對應u8，u33對應對應u9。其余類推得差分方程：其余類推得差分方程： 第二章材料科學研

3、究中常用的數(shù)值分析方法第二章材料科學研究中常用的數(shù)值分析方法u1=6.25u=12.5u3=18.75u4=12.50u5=25.00u6=37.50u7=18.75u8=37.50u9=56.25第二章材料科學研究中常用的數(shù)值分析方法第二章材料科學研究中常用的數(shù)值分析方法（2-54）（2-53）用Seidel迭代法求得n有限元法與有限差分法的比較有限元法與有限差分法的比較n1. 1. 有限元法處理物理問題，不需要建立微分方程這一步驟，有限元法處理物理問題，不需要建立微分方程這一步驟，并且其物理問題在離散化的整個過程中就始終具有明確的物理并且其物理問題在離散化的整個過程中就始終具有明確的物理意

4、義。而有限差分法則不然。兩種方法處理問題的數(shù)學方法有意義。而有限差分法則不然。兩種方法處理問題的數(shù)學方法有較大差別。較大差別。n2. 2. 有限差分法和有限元法在對區(qū)域的離散化方法上也有明顯有限差分法和有限元法在對區(qū)域的離散化方法上也有明顯的差別。有限元法的三角形劃分區(qū)域配置比較任意，其對邊界的差別。有限元法的三角形劃分區(qū)域配置比較任意，其對邊界和界面的逼近良好，有較好的計算精度。計算格式復雜，但其和界面的逼近良好，有較好的計算精度。計算格式復雜，但其可以計算機化，程序也易標準化，故不影響其實際應用。可以計算機化，程序也易標準化，故不影響其實際應用。n3. 3. 有限元法用統(tǒng)一的觀點對區(qū)域內(nèi)的

5、節(jié)點和邊界節(jié)點列出計有限元法用統(tǒng)一的觀點對區(qū)域內(nèi)的節(jié)點和邊界節(jié)點列出計算格式。這樣各節(jié)點的計算精度總體比較協(xié)調(diào)。而有限差分法算格式。這樣各節(jié)點的計算精度總體比較協(xié)調(diào)。而有限差分法各節(jié)點精度總體上不夠一致。各節(jié)點精度總體上不夠一致。n4. 4. 有限元法要求計算機內(nèi)存量較大，需要準備輸入的數(shù)據(jù)量有限元法要求計算機內(nèi)存量較大，需要準備輸入的數(shù)據(jù)量也比較大，這是它的缺點之一。也比較大，這是它的缺點之一。事實上，有限差分法比有限元事實上，有限差分法比有限元法使用的更廣法，有很多物理問題目前不能用有限元法處理，法使用的更廣法，有很多物理問題目前不能用有限元法處理，但總能可以用有限差分法處理。但總能可以用

6、有限差分法處理。特別是在邊界形狀比較規(guī)則時特別是在邊界形狀比較規(guī)則時，采用有限差分法是最合適的。，采用有限差分法是最合適的。寫出導熱微分方程的一般形式及其三類邊界條件0QzTzyTyxTxtTczyxp )()()(（A）第一類邊界條件第一類邊界條件 指指物體邊界上的物體邊界上的溫度分布函數(shù)已知溫度分布函數(shù)已知 ，用公式表示為，用公式表示為 wsTT=),(=tzyxTTws或或(3-8)（B）第二類邊界條件第二類邊界條件 指指物體邊界上的物體邊界上的熱流密度已知熱流密度已知 ，用公式表示為，用公式表示為 )( t , z , y,xqnTqwss=或或(3-9)wssqnTq= （C）第三類

7、邊界條件第三類邊界條件 又稱為又稱為對流邊界條件對流邊界條件，是指物體與其周圍環(huán)境介質(zhì)間的對，是指物體與其周圍環(huán)境介質(zhì)間的對流傳熱系數(shù)流傳熱系數(shù) k 和介質(zhì)的溫度和介質(zhì)的溫度Tf 已知，用公式表示為已知，用公式表示為(3-10)TT(knTfs= 19例題：例題： 如下圖所示，有一個長寬比為如下圖所示，有一個長寬比為2:1的矩形區(qū)域，已經(jīng)劃分為矩形的矩形區(qū)域，已經(jīng)劃分為矩形網(wǎng)格，且其長度方向和寬度方向的步長相等。其中內(nèi)部網(wǎng)格，且其長度方向和寬度方向的步長相等。其中內(nèi)部3個節(jié)點記為個節(jié)點記為1、2、3，這些節(jié)點的溫度未知。假設所有邊界點的溫度已知，而且，這些節(jié)點的溫度未知。假設所有邊界點的溫度已

8、知，而且區(qū)域內(nèi)無內(nèi)熱源。請利用有限差分法來計算節(jié)點區(qū)域內(nèi)無內(nèi)熱源。請利用有限差分法來計算節(jié)點1、2、3的溫度。的溫度。 4. 平面溫度場的有限差分求解平面溫度場的有限差分求解 20解：解： 由于矩形區(qū)域內(nèi)無內(nèi)熱源，因此可以利用二維穩(wěn)態(tài)導熱方程的由于矩形區(qū)域內(nèi)無內(nèi)熱源，因此可以利用二維穩(wěn)態(tài)導熱方程的有限差分方程求解，即利用方程有限差分方程求解，即利用方程 (3-18) ：4. 平面溫度場的有限差分求解平面溫度場的有限差分求解 實際上每個未知溫度的節(jié)點的溫度是實際上每個未知溫度的節(jié)點的溫度是其周圍四個節(jié)點溫度的平其周圍四個節(jié)點溫度的平均值均值。對每個未知溫度的節(jié)點有：。對每個未知溫度的節(jié)點有：節(jié)點

9、節(jié)點1：0=4+12TTTTTHBA節(jié)點節(jié)點2：0=4+231TTTTTGC節(jié)點節(jié)點3：0=4+32TTTTTFED21將邊界條件帶入上式，可以得出以下方程組將邊界條件帶入上式，可以得出以下方程組 ：4. 平面溫度場的有限差分求解平面溫度場的有限差分求解 求解上述方程組，可得到結(jié)果為：求解上述方程組，可得到結(jié)果為： T1 = 160，T2 = 240，T3 = 400400=421TT400=4+321TTT1360=+32TT在固體中，擴散是物質(zhì)傳輸?shù)奈ㄒ环绞?。擴散與材料在生產(chǎn)和使用過程中的許多重要的物理化學過程密切相關，因此對擴散的濃度場的計算具有重要的意義。試簡單表述Fick第一定律和F

10、ick 第二定律。1. 擴散控制方程擴散控制方程 在固體中的擴散主要用Fick擴散定律來描述。Fick在1855年提出內(nèi)容：在穩(wěn)態(tài)擴散 (dC/dt=0)的條件下，單位時間內(nèi)通過垂直于擴散方向的單位截面積的擴散物質(zhì)的通量 J (單位是gcm-2s-1)與濃度梯度成正比。其數(shù)學表達式如下：（1）Fick第一定律 式中的負號表示式中的負號表示擴散方向擴散方向與與 x 方向方向相反；相反；C是是溶質(zhì)原子溶質(zhì)原子的濃度，的濃度，單位為單位為gcm-3或原子數(shù)或原子數(shù)cm-3， D是是擴散系數(shù)擴散系數(shù)，單位為，單位為cm-2s-1。 1. 擴散控制方程擴散控制方程 （2）Fick第二定律n Fick第一定律規(guī)定dC/dt=0，即在擴散過程中擴散物質(zhì)的濃度不隨時間變化。實際上，在多數(shù)情況下，擴散物質(zhì)的濃度是與時間相關的，即dC/dt0。因此就必須采用Fick第二定律來描述非穩(wěn)態(tài)擴散現(xiàn)象，即n 如在如在三維空間三維空間中擴散，且在中擴散，且在x，y，z，三個方向上的擴散系數(shù)分別為三個方向上的擴散系數(shù)分別為Dx，Dy，Dz，則有則有n 若若Dx=Dy=Dz=D，即在三維空間中的擴散具有各向同性，則有即在三維空