橢圓的幾何性質知識點歸納與典型例題與練習(付答案)

1、(一)橢圓的定義：1、橢圓的定義：平面內與兩個定點F1、F2的距離之和等于定長(大于 |F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點F1、F2叫做橢圓的 焦點，兩焦點的距離| F1F2|叫做橢圓的焦 距。對橢圓定義的幾點說明：(1) “在平面內”是前提，否則得不到平面圖形(去掉這個條件，我們將得到一個橢球 面)；(2) “兩個定點”的設定不同于圓的定義中的“一個定點”，學習時注意區(qū)分；(3)作為到這兩個定點的距離的和的 “常數”，必須滿足大于| F1F2I這個條件。若不然, 當這個“常數”等于| F1F2I時，我們得到的是線段 F1F2；當這個“常數”小于| F1F2I時，無 軌跡。這兩種特殊情

2、況，同學們必須注意。(4)下面我們對橢圓進行進一步觀察，發(fā)現它本身具備對稱性，有兩條對稱軸和一個 對稱中心，我們把它的兩條對稱軸與橢圓的交點記為A, A2, Bi, B2,于是我們易得| A1A2|的值就是那個“常數”,且|B2F2|+|B 2Fi|、|BiF2|+|B iFi|也等于那個“常數”。同學們想一想 其中的道理。.下載可編輯.(5)中心在原點、焦點分別在x軸上，y軸上的橢圓標準方程分別為:22222 1 (a b 0),y -y 1 (a b 0),a ba b相同點是：形狀相同、大小相同；都有a > b > 0, a2c2 b2。不同點是：兩種橢圓相對于坐標系的位置不

3、同，它們的焦點坐標也不同 (第一個橢圓的焦點坐標為(一c, 0)和(c, 0),第二個橢圓的焦點坐標為(0, c)和(0, c)。橢圓的 焦點在x軸上標準方程中x2項的分母較大；橢圓的焦點在y軸上標準方程中y2項的分母較大。(二)橢圓的幾何性質：橢圓的幾何性質可分為兩類：一類是與坐標系有關的性質，如頂點、焦點、中心坐標； 一類是與坐標系無關的本身固有性質，如長、短軸長、焦距、離心率.對于第一類性質，只22x y要 彳 1 (a b 0)的有關性質中橫坐標 x和縱坐標y互換，就可以得出 a b22y2 xr 1 (a b 0)的有關性質?？偨Y如下: a b時稱性 羌丁，軸,萬鼬坐標原點好關于r軸

4、.丁相，愛標用點時稱iAj (-u j-0) t u ,0)-A (0口 ct ),.% E0* 理Tf片*2in-捫鳥 H)仙i；丹iCEG. 他3(n感心率幾點說明:(1)長軸：線段 AlA，長為2a；短軸：線段B1B2，長為2b ；焦點在長軸上。(2)對于離心率e,因為a>c>0,所以0<e<1,離心率反映了橢圓的扁平程度。ca2 b2b b2由于e Ji 2 ,所以e越趨近于1, b越趨近于0,橢圓越扁平；ea a 1a越趨近于0, b越趨近于a,橢圓越圓。(3)觀察下圖，|OB2| b,|OF2| c,所以|B2F2| a,所以橢圓的離心率e = cos/OF

5、2及Bl(三)直線與橢圓：直線l ： Ax By C 0 ( A、B不同日寸為0)22橢圓 C ： yy 1 (a b 0) a b那么如何來判斷直線和橢圓的位置關系呢？將兩方程聯立得方程組, 個數來判斷直線和橢圓交點的情況。方法如下：通過方程組的解的Ax By C 022人上12. 2a b消去y得到關于x的一元二次方程，化簡后形式如下22,mx nx p 0(m 0) , n 4mp(1)當 0時，方程組有兩組解，故直線與橢圓有兩個交點；(2)當0時，方程組有一解，直線與橢圓有一個公共點(相切)；(3)當0時，方程組無解，直線和橢圓沒有公共點。注：當直線與橢圓有兩個公共點時，設其坐標為A(

6、x1,y1),B(x2,y2),那么線段AB的長度(即弦長)為|AB| Ja x2)2 (% y2)2 ,設直線的斜率為k,可得：| AB |J(x1x2)2k(xx2)2也k2|xix? |,然后我們可通過求出方程的根或用韋達定理求出。典型例題一例1橢圓的一個頂點為 A 2,0 ,其長軸長是短軸長的 2倍，求橢圓的標準方程.分析：題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置.解：(1)當A 2,0為長軸端點時，a 2, b 1,22橢圓的標準方程為：L L 1 ；41(2)當A 2,0為短軸端點時，b 2, a 4,22橢圓的標準方程為：L L 1 ；416說明：橢圓的標準方程有兩個， 給出一個頂

7、點的坐標和對稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況.典型例題二例2 一個橢圓的焦點將其準線間的距離三等分，求橢圓的離心率.初a2122解： 2c 2 一 . 3c a ,c 3.1. 3e .33說明：求橢圓的離心率問題，通常有兩種處理方法，一是求 a,求c,再求比.二是列 含a和c的齊次方程，再化含 e的方程，解方程即可.典型例題三例3已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓與直線 x y 1 0交于A、B兩點，M為AB中點，OM的斜率為0.25,橢圓的短軸長為 2,求橢圓的方程.解：由題意，設橢圓方程為y2 1，x由X2a2a2X0, XmXi2X22 a-2 a1XMkOMyM

8、XM2，.二 a4,說明:y2 1為所求.（1）此題求橢圓方程采用的是待定系數法；（2）直線與曲線的綜合問題，經常要借用根與系數的關系，來解決弦長、弦中點、弦斜率問題.典型例題四例4橢圓259. . .1上不同二點 A x1, y1 , B 4,一 , C x2, y2與焦點F 4,0的距離5成等差數列.(1)求證X1X28;(2)證明：（1）由橢圓方程知3, c 4.由圓錐曲線的統一定義知:AF2 a Xi c同理AFa ex1 5CFAFCF2BF即Xi4一 X154一 X2518一,5(2)因為線段 AC的中點為4,y1一y2 ,所以它的垂直平分線方程為2yiy22XiX2yiy2又.點

9、T在x軸上，設其坐標為 x0,0，代入上式，得Xo 422yiy22 xi x2又,一點A Xi, yi , B X2, y 都在橢圓上,2yi925252Xi2y2925252X22yi2y29Xi X2 Xi25X2將此式代入，并利用xi x2 8的結論得Xo 4362554 Xo典型例題五22例5已知橢圓 y i , Fi、F2為兩焦點，問能否在橢圓上找一點M ,使M到左準43線l的距離MN|是MFi與|MF2的等比中項？若存在，則求出點M的坐標；若不存在,請說明理由.解：假設M存在，設M玉，yi ,由已知條件得Lia 2, b <3 , . c i , e .2左準線l的方程是x

10、 4,MN 4 x .又由焦半徑公式知：MF1a ex12 -x1 ,21 MF2a ex2 - x1.2 MN MF1MF2 ,2 八1 八1, , x42 x12 Xi22整理得 5x12 32x1 48 0 .“ 、m.12解之得x14或x1.5另一方面 2 x12.則與矛盾，所以滿足條件的點 M不存在.說明：(1)利用焦半徑公式解?？珊喕忸}過程.(2)本例是存在性問題，解決存在性問題，一般用分析法，即假設存在，根據已知條 件進行推理和運算.進而根據推理得到的結果，再作判斷.(3)本例也可設M 2 cos ,v,3sin 存在，推出矛盾結論(讀者自己完成)典型例題六2 x例6已知橢圓2

11、2, , , _ 1 1y2 1 ,求過點P 1,1且被2 2P平分的弦所在的直線方程.分析一：已知一點求直線，關鍵是求斜率，故設斜率為1，、一k x 一 .代入橢圓方程，并21解法設所求直線的斜率為k,則直線方程為y 12整理得_22_2_1 23_1 2k2 x22k22kx-k2k -0.22由韋達定理得x1x22k2 2k 1 2k2P是弦中點，x1 x2 1.故得k所以所求直線方程為 2x 4y 3 0.分析二：設弦兩端坐標為 x1, y1x2, y2 ,列關于 x1、x2、y1、y2的方程組，從而求斜率：yy2XiX21 1 ,解法一：設過P的直線與橢圓父于 Ax1, y1、Bx2

12、, y2 ,則由題意得2 22 y21,X2y21,x1x21,yy21.22得 K-x2 y12 y2 0 .2將、代入得 y-y2x1 x2所求直線方程為2x 4y 3 0 .說明：(1)有關弦中點的問題，主要有三種類型：過定點且被定點平分的弦；平行弦的中點 軌跡；過定點的弦中點軌跡.(2)解法二是“點差法”，解決有關弦中點問題的題較方便，要點是巧代斜率.(3)有關弦及弦中點問題常用的方法是：“韋達定理應用”及“點差法”.有關二次曲線問題也適用.典型例題七例7求適合條件的橢圓的標準方程.(1)長軸長是短軸長的 2倍，且過點 2, 6 ；(2)在x軸上的一個焦點與短軸兩端點的聯機互相垂直，且

13、焦距為6.分析：當方程有兩種形式時，應分別求解，如1 求出 a2 148,22xb 37 ,在得方程1482L 1后，不能依此寫出另一方程37148 37解：(1)設橢圓的標準方程為由已知a 2b.b2b2又過點2, 6 ,因此有226 26 222/ 才 h b22例8橢圓16為最小值時，求點M的坐標.由、，得a2 148, b2 37或a2 52, b2 13 .故所求的方程為 2222xy/ f yxd1或 1.148 3752 1322(2)設方程為 3 與 1.由已知，c 3, b c 3,所以a2 18.故所求方程 a b22為二匕1.189說明：根據條件求橢圓的標準方程的思路是“

14、選標準，定參數”.關鍵在于焦點的位置2222是否確定，若不能確定，應設方程與 之 1或多當 1.a b a b典型例題八2y- 1的右焦點為F ,過點A1"3，點M在橢圓上，當AM 2MF1分析：本題的關鍵是求出離心率 e萬，把2MF|轉化為M到右準線的距離，從而得1 最小值.一般地，求 AM -|MF|均可用此法. e1.解：由已知：a 4, c 2 .所以e 一 ,右準線2l: x 8 .過A作AQ 1,垂足為Q,交橢圓于M,故MQ 2MF .顯然AM 2MF的最小值為|AQ,即M為所求點，因此yM 、與，且M在橢圓上.故xM 2，3 .所 1說明：本題關鍵在于未知式 AM 2M

15、F中的“2”的處理.事實上，如圖， e 1 , 即|MF|是M到右準線的距離的一半， 即圖中的MQ，問題轉化為求橢圓上一點 M ,使M 到A的距離與到右準線距離之和取最小值.典型例題九2例9求橢圓上 y2 1上的點到直線x y 6 0的距離的最小值.3分析：先寫出橢圓的參數方程， 由點到直線的距離建立三角函數關系式，求出距離的最 小值.解：橢圓的參數方程為x " 3 cos '設橢圓上的點的坐標為j3 cos ,sin ,則點到y sin .直線的距離為J3 cossin 6d2sin 一32當sin 1時，d最小值2V2 .3說明：當直接設點的坐標不易解決問題時，可建立曲線

16、的參數方程.典型例題十例10 .3設橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率e 已知點P23 10,一到2這個橢圓上的點的最遠距離是 J7 ,求這個橢圓的方程，并求橢圓上的點P的距離等于 J7的點的坐標.分析：本題考查橢圓的性質、距離公式、最大值以及分析問題的能力，在求d的最大值時，要注意討論b的取值范圍.此題可以用橢圓的標準方程，也可用橢圓的參數方程，要 善于應用不等式、平面幾何、三角等知識解決一些綜合性問題，從而加強等價轉換、形數結 合的思想，提高邏輯推理能力.2解法一：設所求橢圓的直角坐標方程是 三a2yy1,其中a b 0待定.b2由e222a b2aa仃/4 1，即a 2b-設橢圓

17、上的點 x, y到點P的距離是d ,則d22y其中4b23y23y4b2 3b時,d2（從而d ）有最大值.2由題設得.7-1-，與b 矛盾.2、一 .1因此必有b /成立,d）有最大值.一 一,1 一， , 2 一 一于是當y 2時，d （從而2由題設得,74b23,可得 b 1, a 2.2.所求橢圓方程是匕1.11一到點21，、一 ，一 一及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點 23P 0,一的距離是77 .2解法二：根據題設條件,可取橢圓的參數方程是acosbsin為參數.由e22 c2 a2.2a b2a1 e22b.設橢圓上的點x,到點P的距離為a cosbsin4b23b2sin23b

18、sin3b2 sin4b2 32b1 1.如果1,即b，則當sin1時,2b222 .3 一由題設得77 b ,由此得b 77 2.2d （從而d）有最大值.31-1 、一 1,與b 矛盾，因此必有2 222b成立.一一 1于當sin時d （從而d）有最大值.2b22由題設知 J74b2 3, b 1, a 2.所求橢圓的參數方程是x 2cos y sin由sin可得橢圓上的是,3,典型例題旺例 11 設 x , y R , 2x2 3y2226x ,求x y 2x的最大值和最小值.2 一 2 一分析：本題的關鍵是利用形數結合，觀祭萬程2x 3y6x與橢圓方程的結構一致.設x2 y2 2x m

19、,顯然它表示一個圓，由此可以畫出圖形，考慮橢圓及圓的位置關系求得最值.解：由 2x2 3y2 6x,得3 x - _293可見它表木一個橢圓，其中心在一,0點，焦點在x軸上，且過（0, 0）點和（3, 0）2點.設 x2 y2 2x m,則x 1 2 y2 m 1它表示一個圓，其圓心為（一 1,0）半徑為Jm 1 m 1 .0, 0）點時，半徑在同一坐標系中作出橢圓及圓，如圖所示.觀察圖形可知，當圓過（最小，即J不一1 1,此時m 0；當圓過（3, 0）點時，半徑最大，即jm1 4, m 15.22x y 2x的最小值為0,最大值為15.典型例題十二2 x 例12已知橢圓C： a2 y_ b2

20、1 a b 0 , A、B是其長軸的兩個端點.（1）過一個焦點F作垂直于長軸的弦 PP，求證：不論a、b如何變化,APB 120 .（2）如果橢圓上存在一個點Q ,使 AQB 120 ,求C的離心率e的取值范圍.分析：本題從已知條件出發(fā)，兩問都應從APB和 AQB的正切值出發(fā)做出估計，因此要從點的坐標、斜率入手.本題的第（ 2）問中，其關鍵是根據什么去列出離心率 e滿足的不等式，只能是橢圓的固有性質：x a , y b,根據 AQB 120得到2ay-222x y a222 a 2“'3 ,將x a y代入，消去x ,用a、b、c表小y ,以便利用y b b列出不等式.這里要求思路清楚

21、，計算準確，一氣呵成.解：（1）設 F c,0 , Aa,0 , B a,0x c,2 22 22, 2b x a y a bb2c,一 a于是kAP，kBPa c ab2a c aAPB是AP至iJ BP的角.tanAPBtanAPB故tanAPBb2b2、,3b42 T a c2a2-2""cAPB(2)設 Q x,由于對稱性，不妨設 y 0,AQB是QA到QB的角.ytan AQB ayx a222y x y2a2ayAQB2ay22x y a整理得,32ay 0,32ay0, y2ab2一 3c2b,2ab2, 3c22ab. 3c22 24a a3c24c44a2

22、c2 4a40,c 4,23e 4e3 或 e222（舍），.6- e典型例題十三22例I3已知橢圓-x- -y-k 89i .i的離心率e ,求k的值.2解：當橢圓的焦點在x軸上時，a分析：分兩種情況進行討論.,22i,b 9 ,得 c k i .由 e ，得 k 4 . 2當橢圓的焦點在 y軸上時,9, b2.滿足條件的k 4或k說明：本題易出現漏解.排除錯誤的辦法是:因為 k 8與9的大小關系不定，所以橢圓的焦點可能在x軸上，也可能在y軸上.故必須進行討論.典型例題十四例142已知橢圓34b2 y b21上一點P到右焦點F2的距離為b (b 1),求P到左準線的距離.分析:利用橢圓的兩個

23、定義,或利用第二定義和橢圓兩準線的距離求解.解法一：由2x4b23得 a 2b, c V,3b , e 2由橢圓定義,PFi 4bPFiPF2由橢圓第二定義,PF24bPFidi2a 4b,得3b.e,d1為P到左準線的距離,PFi即P到左準線的距離為 2 J3b.解法二:PF2d2e, d2為P到右準線的距離,d2PF2又橢圓兩準線的距離為8-b3.P到左準線的距離為 呢3b 2i3b 273b33說明：運用橢圓的第二定義時，要注意焦點和準線的同側性.否則就會產生誤解.橢圓有兩個定義，是從不同的角度反映橢圓的特征， 解題時要靈活選擇，運用自如.一般地， 如遇到動點到兩個定點的問題， 用橢圓第

24、一定義；如果遇到動點到定直線的距離問題， 則用 橢圓的第二定義.典型例題十五x 4 cos ,例15設橢圓_( 為參數)上一點P與x軸正向所成角 POx ,求y 2,3sin .3,P點坐標.分析：利用參數 與 POx之間的關系求解.解：設P(4cos , 2j3sin ),由P與x軸正向所成角為 一，3,2 3 sin- tan -,即 tan 2 .34 cos而sin0,由此得到cos、 5,sin2.55上點到焦點的距離轉化分析：本題考查橢圓的兩個定義， 為點到相應準線距離.解：P點到橢圓的左準線l： xPF1由橢圓第二定義，一7 e, PQ利用橢圓第二定義，可索2a-的距離，|PQ

25、Xo c，1 ePQ a exo,由橢圓第一定義,r2 2a r1說明：本題求證的是橢圓的焦半徑公式, 題時，有著廣泛的應用.請寫出橢圓焦點在在解決與橢圓的焦半徑(或焦點弦)的有關問 y軸上的焦半徑公式.典型例題十七標.分析：本題考查橢圓中的最值問題， 通常探求變量的最值有兩種方法：一是目標函數當,即代數方法.二是數形結合，即幾何方法.本題若按先建立目標函數，再求最值，則不易解 決；若抓住橢圓的定義，轉化目標，運用數形結合，就能簡捷求解.解：如上圖，2a 6, F2(2,0), AF2四，設P是橢圓上任一點，由PF1 PF2 2a 6,PA PF2 AF2,PAPF1PF1PF2AF22aAF

26、26 22 ,等號僅當 PAPF2AF2時成立，此時P、A、F2共線.由 PA PF2AF2, PAPF1PF1PF2AF22aAF26 行，等號僅當PA PF2 AF2時成立，此時P、A、F2共線. 、一,x y 2 0,建立A、F2的直線方程x y 2 0,解方程組22得兩父點5x2 9y2 45Pi(9 15425 ”揚、P2(9 15五,5 ”兩.7 147 147 147 14綜上所述，P點與P,重合時， PA PF1取最小值6 J2 , P點與P2重合時，PA | PF2取最大值6 Q .(2)如下圖，設P是橢圓上任一點,作PQ垂直橢圓右準線,Q為垂足，由a 3, c 2,由橢圓第

27、二定義知PF2PQPQ 3 PF223 一 .一 一PA _|PF2 PA PQ ,要使其和最小需有 A、P、Q共線，即求 A到右準線距離.右準線方程為x -.2A到右準線距離為7 .此時P點縱坐標與A點縱坐標2相同為1，代入橢圓得滿足條件的點P坐標(至5,1).5、，、_1說明：求pa -PF2的最小值，就是用第二定義轉化后，過A向相應準線作垂線段.巧e用焦點半徑PF2與點準距PQ互化是解決有關問題的重要手段.典型例題十八例182X(1)寫出橢圓92y- 1的參數方程;4分析:的參數方程表示曲線上一點坐標,所求問題便化歸為三角問題.(2)求橢圓內接矩形的最大面積.本題考查橢圓的參數方程及其應

28、用.為簡化運算和減少未知數的個數，常用橢圓 x 3cos解：(1)(y 2sinx軸和y軸，設(2)設橢圓內接矩形面積為S,由對稱性知，矩形的鄰邊分別平行于(3cos ,2sin )為矩形在第一象限的頂點，(0-),貝US 4 3cos 2sin 12sin2 12故橢圓內接矩形的最大面積為12.說明：通過橢圓參數方程，轉化為三角函數的最值問題，一般地，與圓錐曲線有關的最值問題，用參數方程形式較簡便.典型例題十九例19已知F-F2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，且F1PF2 60 .(1)求橢圓離心率的取值范圍；(2)求證 PF1F2的面積與橢圓短軸長有關.分析：不失一般性，可以設橢圓方程為

29、2y2T 1 ( a b 0), P(x1 , y1) ( y1 0). b思路一：根據題設容易想到兩條直線的夾角公式，即 tan60 -KPF2一K,設1 KpF2 KpF1P(X,yi), Fi( c,0) , F2(c,0),化簡可得 M&12 V3y； 2c% V3c2 0.又22x2 冬 1,兩方程聯立消去x；得J3c2y； 2b2cyi J3b4 0 ,由y1 (0 , b,可以 a b確定離心率的取值范圍；解出y1可以求出 PF1F2的面積，但這一過程很繁.思路二：利用焦半徑公式 PF1 a ex, PF2 a ex,在PF1F2中運用余弦定理，求xi,再利用xi a,

30、a,可以確定離心率e的取值范圍，將x1代入橢圓方程中求 y1，便可求出 PF1F2的面積.思路三：利用正弦定理、余弦定理，結合PF1PF22a求解.22解：(法1)設橢圓方程為0-yy 1 a ba b 0), P(x,，yj, E( c ,0) , F2 (c, 0),貝U PFiPF2 a ex.在 PF1F2中，由余弦定理得cos60(a ex1)2 (a ex1)22(aexj(a exi)至, 一 2解得x14c2 a23e2(0,a2,故橢圓離心率的取范圍是e g，1).代入b23c2 /2 4c a(2)將 x123e2 by1，即y13cc Ill .1 b2S PF1F2 F

31、1F2 y - 2c1 2 2243c3b2.3即PF1F2的面積只與橢圓的短軸長有關.(法 2)設 PF1 m, PF2 n, PF2F1,PF1F2則 120 .(1)在 PF1F2中，由正弦定理得m n 2c . sin sin sin 60m n 2csin sin sin 60m n 2a,2a2c, sin sin sin 60c sin60sin 60 e a sin sin2sincos221 1 -.2cos 22當且僅當時等號成立.1故橢圓離心率的取值范圍是e - ,1).2(2)在 PF1F2中，由余弦定理得:/c 、222 c“(2c) m n 2mncos6022m

32、n mn2(m n) 3mnm n 2a,二.4c224, 2 2、 4. 24a 3mn，即 mn (a c ) - b .33PF1F21. “.3,2mnsin 60b .23.下載可編輯.即PFi F2的面積與橢圓短軸長有關.說明：橢圓上的一點P與兩個焦點Fi, F2構成的三角形為橢圓的焦點三角形，涉及有關焦點三角形問題，通常運用三角形的邊角關系定理.解題中通過變形，使之出現PFi PF2的結構，這樣就可以應用橢圓的定義，從而可得到有關a, c的關系式，使問題找到解決思路.典型例題二十22x y例20橢圓-2r 1 (a b 0)與x軸正向交于點 A,若這個橢圓上總存在點 P, a b

33、使OP AP (O為坐標原點)，求其離心率e的取值范圍.分析：:。、A為定點，P為動點，可以P點坐標作為參數，把OP AP,轉化為P 點坐標的一個等量關系，再利用坐標的范圍建立關于a、b、c的一個不等式，轉化為關于e的不等式.為減少參數，易考慮運用橢圓參數方程.-,x acos解：設橢圓的參數方程是(a b 0),y bsin則橢圓上的點 P(acos , bsin ), A(a , 0),. OPAP,bsina cosbsinacos a1,即（a2 b2） cos22. 2a cos b 0 ,解得 cos 1 或 cosb2b21 cos 1 cos1 (舍去)，12b 2 1 ,又

34、b2a2 c2a b2a2c2,.下載可編輯.返e 1.2P使OP AP .如何說明：若已知橢圓離心率范圍,2 八.一.(-2- J),求證在橢圓上總存在點證明？例1求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)兩個焦點的坐標分別是(一 4, 0), (4, 0),橢圓上一點P到兩焦點的距離的和等 于10;(2)兩個焦點的坐標分別是(0, 2), (0, 2),并且橢圓經過點(一 3,5)；22(3)焦點在坐標軸上，且經過點 A( J3, 2)和B(2值, 1)分析：根據題意，先判斷橢圓的焦點位置，后設橢圓的標準方程，求出橢圓中的a、b即可。若判斷不出焦點在哪個軸上，可采用標準方程的統一形式。22解析

35、：(1)因為橢圓的焦點在X軸上，所以設它的標準方程為 二 y = i (a>b>0)22a b,-2a=10, 2c = 8,a=5, c=4b2 = a2 c2 = 52 - 42 = 92所以所求的橢圓的標準方程為y_ 2 = 125 92(2)因為橢圓的焦點在y軸上，所以設它白標準方程為 L ± = 1 (a>b>0)22a b由橢圓的定義知，2a=3(1)(I2)2J(3)2(5 2)2。產0而2vTc22,2222又c=2,b2= a2c2= 10 4= 622所以所求的橢圓的標準方程為_y_ 2 = 11062(3)解法一：若焦點在x軸上，設所求橢

36、圓方程為 _y_ x_ = 1 (a>b>0)22a b由八(J3， 2)和B (2 J3 , 1)兩點在橢圓上可得:(3)2( 2)2121552.21a2a b 解之得a 22,2(2 3)l 1b2. 21a2 5b2 15a b2若焦點在y軸上，設所求橢圓方程為y_ ±=1 (a>b>0),同上可解得22a b不合題意，舍去。22故所求的橢圓方程為二1- = 155解法二：設所求橢圓方程為 mX+ny2= 1 (m>0, n>0且m5 n)。由八(73， 2)和B (-273 ,1)兩點在橢圓上可得m ( .3)2 n ( 2)2 1 22

37、m ( 2 .3) n 111Rn 3m 4n 1 曰m行即，解得 1512m n 11n -522故所求的橢圓方程為x_ y_=1155點評：(1)求橢圓的標準方程時， 首先應明確橢圓的焦點位置，再用待定系數法求a、b。(2)第(3)小題中的橢圓是存在且惟一的，為計算簡便，可設其方程為mX+ny2=1(m>0, n> 0),不必考慮焦點位置，直接可求得方程.想一想，為什么？例2已知B、C是兩個定點，| BC = 6,且ABC勺周長等于16,求頂點 A的軌跡方程。,二力_分析：在解析幾何里，求符合某種條件的點的軌跡方程，刁勺要建立適當的坐標系.為選擇適當的坐標系，常常需要畫出草圖。

38、如圖所示，由ABC勺周長等于16, | Bq = 6可知，點Ai URC兩點的距離的和是常數，即 |AB + |AC=166=10,因此，點 A勺軌跡是以R 孰焦點的 橢圓，據此可建立坐標系并畫出草圖。解析：如圖所示，建立坐標系，使 x軸經過點 B C,原點O與BC的中點重合。由已知 |AB + |AC + |BC=16, |BC=6,有 |AB + |AC=10,即點 A 的軌跡是以 B、C 為焦點的橢圓，且 2c=6, 2a=10,c= 3, a=5, b?= 5232= 16。由于點 埼直線BCh時，即y=0時，A B、CE點不能構成三角形，所以點 A的軌跡方程22是乙 L = 1 (y

39、 W0)。25 16點評：橢圓的定義在解題中有著廣泛的應用，另外，求出曲線的方程后，要檢查一下方程的曲線上的點是否都符合題意， 如果有不符合題意的點，應在方程后注明，常用限制條件 來注明。例3 一動圓與已知圓 O: (x+3) 2+y2= 1外切，與圓 Q: (x 3) 2+y2= 81內切，試求 動圓圓心的軌跡方程。分析：兩圓相切時，圓心之間的距離與兩圓的半徑有關，可以找到動圓圓心滿足的條件。解析：兩定圓的圓心和半徑分別為 O (3, 0),1=1; O (3, 0),2=9設動圓圓心為M(x, y),半徑為R則由題設條件可得|MO = 1 + R, |MQ = 9 R.|MO+|MO =

40、10由橢圓的定義知：M在以O、O為焦點的橢圓上，且 a=5, c=3o .b = a c =259=1622故動圓圓心的軌跡方程為 二y_ = 1o25 16點評：正確地利用兩圓內切、外切的條件，合理地消去變量R運用橢圓定義是解決本題的關鍵，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。22例4已知P是橢圓 土 L = 1上的一點，Fl、F2是兩個焦點，且/ FiPF2=30。，求25 16 PF1F2的面積。分析：如圖所示，已知/ P= 30。，要求PFFz的面積，如用1 | FF2| |yP| ,因為求P點坐標較繁，所以用Sa =21| PF| | PE| sin30 °較好，為此必須先求出|

41、 PF| PF| , 2從結構形式可看出用余弦定理可得出夾30°角的兩邊的乘積。22解析：由方程土 _y_ = 1,得a=5, b=4,25 16c= 3,| FiF2| =2c=6| PF| +|PE| =2a=10 . / RPF=30在EPF 中，由余弦定理得 |FF2|2 = |PF1|2+|PE|22|PF| |P同 cos30即 62= | PF| 2+ 2| PF| | PF>| +| PE| 22| PF| | PF| 如 | PF| | PF>|一 . 一一一一一一一一 . 2（2+ 五）| PF| | PE| = （ | PF| + | P同）-36=

42、 100-36= 64,. | PF| - | PR| =64廣=64 （2內）S 9=1| PF| | PF| sin30F1PF22231 , 64 （2 ；3 ） 1 = 16 （2石）22例5橢圓ax2+ by2= 1與直線x + y= 1相交于P、C兩點，若| PQ = 2冊，且PQ勺中點C與橢圓中心連線的斜率為區(qū)求橢圓方程。2a、b之值即可2解析：由ax x設P （xi , y。,Xi+X2= 2b a b分析：該題是求橢圓方程，即利用題設中的兩個獨立條件，求出by 1得（a+b） x22bx+b1 = 0y 1Q Q2, y2）,則,XiX2=旦a b|PQ= 1 12）2，（x

43、1 x2）2 4x1x2J21：（2b；a b=2 2a b aba b-a b ab=a+b 又PQ勺中點 C ( b , 1 b ),即 C ( b , a ) a b a bababako= a b a 由得a= 1 , b=。5b b 233a b.所求橢圓方程為xi篤5y2 =133例6中心在原點的橢圓 C勺一個焦點是F (0, 我)，又這個橢圓被直線l ： y=3x 2截得的弦的中點的橫坐標是 1,求該橢圓方程。2分析：本題中涉及到弦的中點及弦所在直線的斜率，故可采用“平方差法”。22解析：據題意，此橢圓為焦點在 y軸上的標準形式的橢圓，設其方程為y_ ± = 1(a&g

44、t;b22a b>0)設直線l與橢圓C勺交點分別為A (xi, yi), B(X2, y2),則有：2222yiXi = i yX2-2-. 2, -2-. 2 Iab ab兩式相減得：(yi y2)(yi 幻 (為 X2)(xi X2)=。 2,2ab.yi ya2(xi X2)Xi X2b2(yi y)2.即 3= a a2= 3b之2-'c= v5Qb ( i)又因為橢圓焦點為f(o, J50)則 a2b2 = 50由解得：a2=75, b2=2522該橢圓方程為匕± = i75 252例7設P是橢圓三 a求證：橢圓的離心率e>2y- i (a>b&g

45、t;Q)上的一點，Fi、F2是橢圓的焦點，且/FiPF=9Q° , b222.證明：:口是橢圓上的點，Fi、F2是焦點，由橢圓的定義,得 |PF|+|PE|=2a在 RtFiPE 中,22_2_2|PFi|PF2| | FiF2 |(2c)4c2由2,得 |PFi|2 2| PFi | PF2 | | PF2 |2 4a2| PF| - | PF>|=2 (a2c2)由和，據韋達定理逆定理，知|PF| . |PE|是方程z2 3az+2 (a2c2) =0 的兩根,2則 =4a 8(a2-c2) > 0,c、2_) a1 .如果方程x2 + ky2= 2表布焦點在A.(0

46、, +00)C.(i, +°°)22 .已知橢圓X_25B.D.y軸上的橢圓，那么實數 k的取值范圍是(0, 2)(0, i)a < it =,則4A. i023 .橢圓人2y = i,9F2CD勺周長為B. i22Fi、F2分別為它的兩焦點，過 Fi的焦點弦CD!x軸成a角(0VC. 20D.不能確定i2點M勺縱坐標是A. 土 J3匕=i的一個焦點為Fi,3B.點P在橢圓上，如果線段PF的中點MBy軸上，那么424.設橢圓工45一| PE|等于C. 土 ,'24A. 6 .52 r=i20的兩焦點分別是B. 2 .55 .直線y = x與橢圓+ y-=A.

47、2B.26 .點P是橢圓_x_47 .552積為i000Fi和F2,吶橢圓上一點，并且 PFXPR,則| PF|1相交于AD. 2V53B兩點,C. 4 i05則| AB等于D. 8d05.y_ =i上一點，Fi、F2是其焦點，且/ FiPF2=60 ,則 FiPE的面647. 4ABC勺兩頂點B(8, 0), C (8, 0), A上的中線BMfAEfe上的中線CN勺長度之和為30,則頂點A的軌跡方程為8. Fi、F2為定點，|FiF2| =6,動點M蔭足|MF|十|MF| =6,則 訓的軌跡是9.以兩坐標軸為對稱軸的橢圓過點P ( 35,4)和Q ( 3 , 3),則此橢圓的方程是5o2i

48、0.在橢圓x-i6i)且被這點平分的弦所在的直線方程是ii. ABC勺兩個頂點坐標分別是 B (0, 6)和C(0, 6),另兩邊AB AC勺斜率的乘積是4 ,求頂點A勺軌跡方程。912.在面積為1的4PM即,tan M= 1 , tan N= 2,建立適當的坐標系，求出以 M 曲2 焦點并且過點P的橢圓方程。參考答案22x y1 .解析：將方程x2+ky2= 2化為橢圓的標準方程為 "2一 5 = 1，又焦點在y軸上，k2>2,解之得 0<k<1。k2 .解析：由橢圓方程知 a=5, | CF| +| CE| =2a=10, | DF| + | DE| = 2a= 10,則 F2CD 的周長 | F2q +| F2D| 十 | CD= | CF| + | CE| + | DF| + | D向=10+ 10 = 20。3 .解析：由橢圓的標準方程易知 c=3,不妨設Fi (3, 0)、F2 (3, 0),因為線段PF的中點在y軸上，由中點坐標公式知 xp=3,由橢圓方程x y = 1解得yp=± " 3 ,故M縱1232J-坐標為土蟲_。44 .解析：從方程中可得 a=3J5