16極限存在準(zhǔn)則、兩個(gè)重要極限

1、第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限、極限存在準(zhǔn)則1 夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則I如果數(shù)列?！?，兒及S滿足下列條件:兒 <5 = 1,2,3 . )(2)limyn =a, limzn =a,n->oon>oo那末數(shù)列?！暗臉O限存在，且lim心=a.例 1求 lim“l(fā) + 2"+3"moo1 1解.(1 + 2”+3” >(0 + 0 + 3”)匚=31 1(1 + 2" +3"” <(3" +3" +3"” =33而 lim 33 = 3n>oo由夾逼定理得原式=3例求lim(n>coH1,n2

2、+ n).解n2 +n=+ +n +1n2 +n又limn->oo。 lim2n +n “too1+-nlim =1，由夾逼定理得n->oo iI1+-lim( f ；+28 切2 +1 p滬 +2nlim”ns<n2n2 + 2兀n2 + n7r 丿=1注意:利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵是構(gòu)造出兒與5, 并且兒與S的極限是容易求的.準(zhǔn)則lz如果當(dāng)xgC7；(x0)(x|>M)時(shí)，有(1) g(x)<f(x)<h(x),(2) limg(x) = A, limJz(x) = A,X->X0X>XQ(XT8)(X->00)那末lim于(工)存在，且

3、等于A.x->x0(兀 Too)準(zhǔn)則啓和準(zhǔn)則較稱為夾逼準(zhǔn)則.2 單調(diào)有界準(zhǔn)貝!|如果數(shù)列七滿足條件單調(diào)數(shù)列xx > x2 xn > Xn+1>-,單調(diào)減少準(zhǔn)則11單調(diào)有界數(shù)列必有極限.xx <x2 -< xn < xn+1 < > 單調(diào)增力口例2設(shè)可=y2,xn+i = J2 +?！?(n = 1,2,)，證明輒兀 存在并求此極限；1 I當(dāng)斤=1 時(shí) x =v 2，設(shè) X* <2 ,貝 ijxk+i = yl2 +xk v J2 + 2 = 2又 J2 + Xj = J2 + V2 > V2 = xx設(shè) ®+i >

4、; ®，貝 iJ "+2 z二2 + xk+ >2 + xk = xk+.單增有上界，從而必有極限。設(shè) lim x/7 =A ,則 A> V2 >0由 lim x“+i 二 lim J2 + xfl得 A = J2 + 4畀 Toe“TooA = 2c、首頁(yè)廠上頁(yè)、下頁(yè)二、兩個(gè)重要極限(1)li宀“x->0 Vjr設(shè)單位圓O,圓心角ZAOB = x, (0<x<?)作單位圓的切線，得A4CO.111扇形Q4B的圓心角為兀，AOAB的高為于是有sin 兀=BD， x =弧 AB tanx = ACHnsin x t/. sinx <

5、x < tanx?艮卩 cos x << 1，X上式對(duì)于專X20也成立.當(dāng)0 vg|vf時(shí),0< cosx-1 =l-cosx =2sin2 <2()2 =2 2嗎寧0,:.lim(l-cosx) = 05x->0. sinx 一 lim= 1.20 Xx->0lim cos x = ly 又/ lim 1 = 1， 兀tOzms 七“ 1 - cos X例3 求lim7兀TOX2sin2- 解原式=limJ 2° x x 簾 sm = -lim(苗2 兀0x2-lim2兀0Sin 2=r12例4L 求 limtan%.兀TOX解limtan

6、xX=limx->0'sin 兀 1'< X cos兀丿=limx-0sinx v 1limx 5 cosxlim(l + -)x :X>ooJQ=e(2)定義 lim(l + )"=0 = 2.71828)n>oo令心一， Xlim(l + x)x = lim(l + )'=匕x0tootlim(l + x)x =ex>0例4 求 lim(l-i)x兀T8兀解原式=Km(l +丄尸I" = Um兀(1 +Yx例5 求 lim(|)2x.兀一82 + x解原式七(1 +二2嚴(yán)(1 +丄宀幾首頁(yè)V丿廠上頁(yè)、下頁(yè)二、小結(jié)1

7、兩個(gè)準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則；單調(diào)有界準(zhǔn)則2 兩個(gè)重要極限12° lim (1 + a)" 某過程設(shè)。為某過程中的無(wú)窮小,1° lim 獨(dú)=1;某過程 a首頁(yè)廠上頁(yè)、下頁(yè)思考題求極限lim(3X + 9AX +8思考題解答lim(3x+9x) =x->+oo'lim(9X>X +8'=9 limX +8y)=9e° = 9、填空題：1、sin 亦 lim=兀一0X2、一 sin2x lim=x>° sin 3 兀3、arc cot x lim30X4、lim x cot 3x =x->05、sinx lim=38 2x16、JLlim(l + x)xx->0=z1、2、3、lim(tanx)tan2x 1 + x.xlim()=XT8 Xlim(l-i)x =XT8X二、求下列各極限:,1 - cos 2xlimxsinxxtoo * _a丫y首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)5、lim(l + 2"+3")n>oo三、利用極限遠(yuǎn)在準(zhǔn)則